13. Понятие дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного.
Определение:
Дифференциалом
dy функции y
= f(x)
в точке x называют главную, линейную
относительно ∆x, часть ее приращения
∆y, которая равна произведению производной
функции в этой точке на приращение
аргумента: dy
= f''(x)*∆
х.
Для производной существует запись:
f''(x0)=
Геометрически дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в рассматриваемой точке, когда переменная x получает приращение ∆x. Основные формулы, которые связаны с дифференциалами, можно получить, используя связь между дифференциалом функции и ее производной, то есть тот факт, что dy=y'(x)dx, а также соответствующие формулы для производных. Рассмотрим две дифференцируемые функции u(x) и v(x). Тогда имеют место следующие равенства:
1. d(u + v) = du + dv ; 2. d(uv) = u*dv + v*du ;
|
3.
d
4. d(cy(x)) = cd(y(x)). |
;
14. Производные постоянной, тригонометрических и логарифмической функций.
При
выводе самой первой формулы таблицы
будем исходить из определения производной
функции в точке. Возьмем x0=x,
где x
– любое действительное число, то есть,
x
– любое число из области определения
функции f(x)=C.
Запишем предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при
∆x→0:
Таким образом, производная постоянной функции f(x)=C равна нулю на всей области определения.
Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:
В
частности, при а=е
имеем у=ln
x,
(ln x)'=
По
определению производной для функции
синуса имеем
Воспользуемся формулой разности синусов:
Осталось обратиться к первому замечательному пределу:
Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.
Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования
tg'x=
ctg'x=
15. Производные обратной и сложной функций.
Теорема
о производной обратной функции:
Если функция у=f(x)
имеет производную в т. Х0,
где f''(x0)≠0,
то функция х=f-1(y)
имеет также производную в этой точке,
причем (f-1(y0))'=
Теорема о производной сложной функции. Пусть функция u=u(x) имеет производную в точке х0 , а функция y=f(u) имеет производную в точке uo=u(xo) . Тогда сложная функция y=f(u(x)) имеет производную в точке х0, причем y’=f ’(uo)•u’(xo)
Данная формула может быть распространена на конечное число суперпозиций.
16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.
Производная показательной функции: у=ах, у'=ахlna
Производные
обратных тригонометрических ф-ций:
(arcsinx)’=
x(y)=sin
y ; x'(y)=cos y=
;
y'=
(arccosx)’=
(arctgx)’=
x'(y)=tg
y,
x'(y)=
; y'=
(arcctgx)’=
17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.
Логарифмическая производная.
y=ln
U;
y'=(ln
U)'=
Для примера найдем производную показательно степенной функции x в степени x.
Логарифмирование дает ln y=ln xx. По свойствам логарифма ln y=x*ln x. Дифференцирование обеих частей равенства приводит к результату:
ln y=x*ln x
(ln y)'=(x*ln x)'
*y'=x'*ln
x+
x*(ln
x)'
y'=y*(1*ln
x+x*
=y*(ln
x+1)=xx*(ln
x+1).
Формула производной степенной функции имеет вид (x)' = n * xn-1, где показатель степени p – любое действительное число.
ln
y=ln
xn=n*
ln
x;
; y'=ny