1. Матрицы и действия над ними

Матрица – это прямоугольная таблица размера m*n(строки на столбцы), заполненная числами или математическими объектами.

Виды матриц:

а11 а12 а13 … а22 а23 ….. …… а 33

1. ортогональная – результат умножения A на А^Т , А*А^Т =Е(сохраняет длину вектора, скалярное произведение и углы) 2. единичная – на главное диагонали единицы 3. квадратная – количество строк = количеству столбцов 4. диагональная – элементы стоят на диагонали 5. матрица – строка (вектор – строка) 6. матрица – столбец 7. Симметричная матрица – квадратная матрица, элемент которой симметричны, относительно главной диагонали 8. Ступенчатая матрица –

Действия над матрицами:

Сумма матриц: - суммой матриц Аmn и Вmn является матрица Сmn, элементы которой определяются путем складывания элементов матриц А и В (нельзя складывать матрицы разной размерности) 2. Умножение матрицы на число: каждый элемент матрицы умножается на число Эти 2 действия подчиняются определенным законам или обладают свойствами Ассоциативностью – сочитательность (а+в)+с=а+(в+с) Дистрибутивностью – распределительность а(в+с)=ав+ас Коммуникативностью – перестановочность а+в=в+а Вычитание: А-В=А+(-В) Умножение матриц(чтобы матрицы были перемножаемы, они должны быть согласованы, i=j) - произведением А*В называется такая матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-той строки А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В Аm*n Bc*b = Cm*b а – эл сроки, в – элемент столбца

Берем

Чтобы матрицы были перемножаемы они должны быть согласованы (т.е. количество строк одной = количеству столбцов другой), тогда они называются согласованными В этом случае матрицы не обладают свойством коммуникативности А*В В*А Транспонированные матрицы – это такая матрица, в которой столбцы и строки меняются местами

2. Определители 2 ого и 3го порядка

у квадратной матрице А порядка n можно составить число detA (или |A|, или ∆), наз. ее определители след. образом:

1. n=1; A=(a1); detA=a1 2. n=2; A= ; |A|=a11*a22 − a12*a21

3. n=3; A= ;

Определитель также наз. детерминантом

Свойства:

1. Определитель не изменится, если строки матрицы заменить столбцами и наоборот (т.е. определитель транспонированной матрицы = определителю исходной) пример:		2. При перестановке двух парал. рядов определитель меняет знак: пример:
3. Определитель, в матрице, имеющей два одинаковых ряда равен нулю пример:	4. Если в матрице две строки пропорц., то определитель равен нулю. пример:
5. Если в определителе сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме всех определителей пример:
	6. Если какая-либо строка в опред. содержит общий множитель, то его можно вынести за знак определителя пример: в 4 свойстве

7. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умнож. на любое число пример:

Теория Лапласа – определитель квадратной матрицы разен сумме элементов какой-либо строки на соответствующие алгебраические дополнения