9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

24.1. Понятия тройного и n-кратного интеграла

			W Ì R3
		r = r x y z
					W
	m	W				m = rV
V	W		W n	DWi DWi Ç DWj = Æ i ¹ j
			Dvi
Mi xi hi Vi	Î DWi			DWi
		n
r Ìi		m » år( Mi ) Dvi				m
		i =
			n
		m »	år( xi hi	zi ) Dvi
		l®	i=
l =	li			DWi

Z	DWi
	Mi
	·
	W
O	Y

X

Ðèñ. 24.1

W
u = f x y z u = f M	W n

n

å f xi hi zi Dvi

i =

f x y z

W

'

Î:

u = f x y z

W

l ®

W DWi

i = n

Mi Î DWi

n

òòò f x

y

z

v =

å f

xi

hi

zi

Dvi

W

l®

i=

W

m = òòòr x y z

v.

W

f x y z

V

W

W

DWi

i = n

x =

y =

z =

òòò f

x

y z

v =òòò f

x y

z

x

y

z.

WW

n		n
		W Ì Rn
	D	W
		W
	Î:

z = f	x y x y Î D
z = f x y	D
	L
L y = y x x Î a b	y x
a b

'

G Ì Rn

G Ì Rn

Î:

M x

x

xn

xj = j x x

xj

xj +

xn

j Î í

ný

j

n -

G

P x x

xj

xj +

xn

n

ž Ì Rn

Î:

M x

x

xn

aj £ xj £ bj

j = n aj

bj

m

= b - a b - a

bn - an

W Ì Rn

W Ì Rn

m W

Î:

W

m W

W Í W

m W

£ m W

W

W

W

W = W + W

m W = m W + m W

n

f x x

xn

W

¶W

W m

DWi

i = m

Wi Ç W j = Æ i ¹ j

M

i

xi

xi

xi

ÎDW

i

n

m

å f xi xi

xin m 8Wi

i=

f

x x

xn

W.

Î: n

f

x

x

xn

W Ì Rn

n

$%&

òò...ò

f x

x

xn

x ...

xn =

W

'!

					n
=		DWi ®			å f xi xi	xin m DWi
					i=
W	DWi i = m
Ìi Î DWi
						n
					f x x	xn
					W Ì Rn

24.2.Свойства тройного интеграла

24.3.Вычисление тройного интеграла

24.3.1.ТИ в декартовых координатах

			W
		¶W
		OZ
		¶W	W
	¶W
	W	XOY
	D
		W
		XOY XOZ YOZ
Î:	W Ì R3

z = z x y	z = z x y
	XOY

D ¶D y = j x y = j x j x £ j x x = a x = b a b

'"

Z

z = z2(x,y)

N

z = z1(x,y)

O

M

Y

a

b

y =

P

1

(x)

y =

2(x)

X

Ðèñ. 24.2

ведем через т. Р(х,у,0) D прямую, параллельную OZ. Эта прямая пересечет z z1(x,y) в т. М (точка входа), а z z2(x,y) â ò. N

(точка выхода). Тогда, если f (x,y,z) — непрерывная функция в об-

ласти , то можно доказать, что значение ТИ вычисляется по фор-

ìóëå [3á. Ñ.201]

	z2 (x,y)
f (x, y, z) dv	dx dy	f (x, y, z) dz.
D	z1(x,y)
Используя формулу (23.5), имеем
b	2 (x)	z2 (x,y)
f (x, y, z) dv dx	dy	f (x, y, z) dz.	(24.6)
a	1(x)	z1(x,y)

Если область более сложная, чем рассмотренная, то ее разбивают на конечное число областей указанного вида и к каждой

из них применяют формулу (24.6).

Пример:

z dv ? : x 0, y 0, z 0, x y z 1

(ñì. ðèñ. 23.11).
— пирамида,	D: x		0, y		0, x		y				1, 0 z 1 x y,
a 0, b 1, 1(x) 0 è 2(x) 1 x:
1	1 x		1 x y		1		1 x				(1 x y)2
z dv	dx dy				z dz		dx							dy
												2
0	0		0		0		0
	1 (1 x)3				(1		x)4			4		1
				dx
	6						24					24
	0									0

'#

				n
	W Ì Rn x £ x £ x			x x £ x £ x	x
xn x x	xn £ xn £ xn	x x	xn

24.3.2. ТИ в цилиндрических координатах

òòò f x y z	v =òòò f* u v w |J|	v*
W	W
f u v w = f x u v w y u v w z u v w		x = x u v w
y = y u v w z = z u v w		W

WW

	¶x		¶x		¶x
	¶u ¶v ¶w
J=	¶y		¶y		¶y		¹
	¶u		¶v		¶w
	¶z		¶z		¶z
	¶u		¶v		¶w

n
						Ì x y z
	Î:
		z				M ¢ =		XOYM
			XOY			l		OX
					KKKKKH	KKKKH·
					r =|OM ¢	j = OM OX
r Î +¥ j Î			p
	ìx = r		j		j -r	j
ï
	í y = r		j Þ J =		j r	j	= r
ï		z = z
î

'$

								Z
	Z							a
			M
			z
							O			Y
O					Y		W
			r						D
		j				2
X			M ¢
						X
	Ðèñ. 24.3						Ðèñ.Ðèñ24..424.4
v = r		r	j z
	ì		r = r	j
	ï		r = r	j
¶D	ï
	í		r < r
	ï
		ïj = a		j = b
	î

òòò f

x y

z

v = òòò f

r

j

r

j z

r

r

j z =

W

W

b

r

j

z

r

j

= ò j ò r r ò

f

r j z

z

a

r

j

z

r

j

Пример: òòòz

x + y x

y

z =

W

¶W y =

y = x - x

z = z = a

y =

x - x

r =

j j Î

p

p

j

a

òòò z x

+ y

x y

z =òòòr

z

z

r

j = ò j

ò

r

r ò z z =

a

W

W

'%

24.3.3. ТИ в сферических координатах

Î:

KKKKKH r =|OM

r Î

Z

M

q

rz

O				Y
		r
	j

XM¢

Ðèñ. 24.5

Ðèñ. 24.5

				Ì x y z
	KKKKKH·			KKKKKH·
q = OM OZ			j =	OM ¢	OX	M¢ =	XOYM
+¥	j =		p q Î		p
			DOMÌ ¢
x = OÌ ¢		j y = OÌ ¢			j OÌ ¢ = r q
z = r	q
								x =
= r	j q y = r			j q z = r		q J = r		q
	v = r		q	r j	q
òòò f	x y z	v =òòò f		r q j r		q r	j	q =

WW

		b	q j		r	j q
	= ò j ò				q q ò f		r q j r		r
		a	q j		r	j q
f r q j	f r		j q r			j q r		q
Пример: òòò		x	+ y	x	y z =
	W
W		x	+ y	+ z	£ R	z ³
		W
£ j £ p £ q £ p					£ r £ R
òòò	x	+ y		x y	z = òòòr		q r	q	r j q =
W						W
			p	p		R		pR
			= ò	j ò		q qòr	r =

'&

24.4.Приложения тройных интегралов

24.4.1.Вычисление объемов тел

f x y z º

V = òòò

v.

W

x

y

z

Пример:

+

+

=

a

b

c

z

x

y

= -c

x

y

z

x,y)

= c

x

y

-

-

a

b

a

b

j x = -b

x2

j x = b

x2

-

-

a

a

a

j

x

x y

-a £ x £ a,

V = ò x ò

y ò z =

a

j

x

z x y

a

j

x

x

y

=

c ò

x ò

y =

-

-

a

b

-a

j

x

ì

x

x

ü

ï y = b

t y = -b

t = -p

ï

-

-

=

ï

a

a

ï

=

í

ý

ï

x

x

ï

ï y = b

-

t t y = b

-

t = p ï

î

a

a

þ

a æ

x

ö p

cbp a

pabc

= cb ò ç -

÷ x ò

t t =

ò a - x

x

=

a

a

a è

ø

p

-a

a

b

c = R

V =

pR

''

24.4.2. Физические приложения ТИ

	Î:		m
		XOY
		mxy = mz	myz = mx
	mxz = my	m
		mxy = z m = zr x y z v myz = xr x y z v
	mxz = yr x y z v	W	r = r x y z
		W

mxy = òòòr x y z z v	myz = òòòr x y z x v
W	W
mxz = òòòr x	y z y v.
W

myz

òòò xr x

y z

v

òòò yr x y z

v

x

=

=

W

y

=

W

c

m

òòòr

x

y z

v

c

òòòr x

y z

v

W

W

òòòzr x

y z

v

z

=

W

c

òòòr x

y z

v

W

r x y z

= r

=

òòò x

v

òòò y

v

òòòz

v

x

=

W

y

=

W

z

=

W

c

c

V

c

V

V

!