9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

18.1.3. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

¶D: r = r (j), a £ j £ b					H j	b
			b
		1
SD	=		ò[r(j)]2 dj
					a
		2 a		O			l

18.2. Вычисление объемов тел

18.2.1. Объем тела 9 по известным площадям поперечных сечений

Известны площади сечений S(x) тела W плоскостями

b

^ OX , a £ x £ b ÞVD = òS (x ) dx

a

		=	N			:
				>

18.2.2. Объем тела вращения

Криволинейная трапеция D,

¶D: y = y(x), x = a, x = b (a<b), y = 0, вращается вокруг оси ОХ Ю

b
Þ S(x) = p[y(x)]2, Vx = pò[ y(x)]2 dx	Y	y = y x
a
	a	b	X

Криволинейная трапеция D,

¶D: x = x(y), y = c, y = d (c < d), x = 0

вращается вокруг оси ОY Ю	Y
d
S(y) = p[x(y)]2, Vy = pò[ x(y)]2 dy		d
c
	c

X

18.3. Вычисление длины дуги кривой L

18.3.1. Длина дуги в прямоугольной системе координат

b

L: y = y(x), x Î[a,b], y¢(x) ÎC[a,b] Þ l = ò 1 + ( y¢( x) ) 2 dx

	a
18.3.2. Длина дуги при параметрическом задании L
L: x = x(t), y = y(t),	t Î[a,b], x¢(t), y¢(t) ÎC	Þ
	[a,b]
b
Þ l = ò ( x¢( t ) ) 2 + ( y¢( t ) ) 2 dt
a
18.3.2. Длина дуги	в полярных координатах
	b

L: r = r(j), j Î[a,b], r¢(j) ÎC[a,b] Þ l = ò r 2 ( j) + ( r¢( j) ) 2 dj

a

18.1.Вычисление площади плоской фигуры

18.1.1.Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

а) Пусть фигура D имеет границу ¶D : y = f (x), x = a, x = b (a < b), f (x) О C[a,b].

Если f (x)>0 на [a, b], то D — криволинейная трапеция и

b

SD = ò f (x) dx.

a

При f (x)<0 на [a,b] D расположена ниже оси ОХ и

bb

SD = ò(- f (x)) dx = - ò f (x) dx. Отсюда следует, что если f (x) конеч-

aa

b

ное число раз меняет знак на [a,b] (рис. 18.1), то SD = ò f (x) dx.

a

Y

Y

y = f ( x )

y = sin x

p

3p/2

O a

b X

O

X

a)

á)

Ðèñ. 18.1

Пример: ¶D: y = sin x, x = 0, x = 3p/2, y = 0 (рис. 18.1, б). SD = ?

3p / 2	p				3p/2
SD = ò	|sin x| dx = òsin x dx -				ò sin x dx = - cos x		0p +
0	0				p
	+ cos x		3p / 2	= 3 (êâ. åä.).
			p

б) Пусть фигура D имеет границу ¶D: y = f1(x), y = f2(x)

(f1(x) £ f2(x)), x = a, x = b (a<b). Площадь SD = SaCDb - SaABb (ðèñ. 18.2, à),

Y

y = f2(x)

C

A

y = f1(x)

Oa

a)

Y

	D
				y = 2x
		1
	B			y = 2x - x2
	X					X
	b	O		1		2

á)

Ðèñ. 18.2

b

поэтому имеем формулу SD = ò( f2 (x) - f1(x)) dx.

a

В общем случае площадь вычисляется по формуле

b

SD = ò| f2(x) - f1(x)| dx.

a

!

Пример: ¶D: y = 2x, y = 2x - x2, x = 0, x = 2, SD = ? (ðèñ. 18.2, á).

2	2	x			2		2		x	3			2		3		4
SD = ò(2x - 2x + x2 ) dx =						- x2		+						=		-
	ln 2				0								0
0							0	3							ln 2 3

18.1.2. Площадь криволинейной трапеции при параметрическом задании кривой

Пусть криволинейная трапеция D имеет границу ¶D : x = j(t),

y = y(t), x = a, x = b, y = 0 (y > 0, a < b); j¢(t) Î C[a, b], j(t) Î C[a, b]. Тогда методом подстановки получаем формулу

b

ìy = y(t), x

= j(t)

ü

b

SD = ò y dx =

ï

¢

x

a

ï

¢

í

b ý

= òy(t)j (t) dt.

ïdx

= j (t) dt

ï

a

a

t

a

b

î

þ

Пример: ¶D: y = b sin t, x = a cos t (рис. 18.3), SD = ?

a

0

p/2

1 - cos 2t

SD = 4ò y dx = 4 ò b sin t -a sin t dt = 4ab ò

dt =

0

p/2

0

2

p / 2 -2ab

1

p / 2

=

2abt

sin 2t

= pab

0

2

0

Y

b

O a X

Ðèñ. 18.3

"

18.1.3. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

О: Полярной системой координат называется совокупность т.О (полюса) и выходящей из этой точки направленной полу-

прямой l (полярной оси). Полярными координатами т.М

KKKKH

KKKK·H

называются числа r = OM (полярный радиус) и j = (OM,l) (полярный угол) (рис. 18.4, а).

					Y
			M				r			M
	r									y
			j					j			l
O
				l			x				X
					O
	a)								á)
	Ðèñ. 18.4

Если считать, что r ³ 0, 0 £ j < 2p (-p < j £ p), то между точками плоскости и парами чисел (r, j) устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Пусть начало прямоугольной системы координат XOY совпадает с полюсом, а положительная часть оси ОХ — с полярной осью. Тогда зависимость между координатами т.М в декартовой и полярной системах определяется формулами (рис. 18.4, б).

ìx = r cos j,	ì	x	2	+ y	2	,
	ïr =
í	í		y			(18.1)
îy = r sin j,	ïtg j =			.
	î		x

При нахождении j необходимо учитывать, в какой четверти находится т.М, так как формулы (18.1) дают два значения полярного угла от 0 до 2p.

Линия в полярной системе координат определяется уравнением r = r (j). Например, r = a, a = const — уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом а (рис.18.5, а); r = a cos 3j — уравнение так называемой трехлепестковой розы (рис. 18.5, б).

#

		r = a cos 3j
r = a
r=a
			p/6
O
a	l	a	l

a)	á)
	Ðèñ. 18.5

О: Криволинейным сектором в полярной системе координат называется фигура D с границей ¶D : r = r (j), j = a, j = b (a < b) (рис. 18.6, а).

Для вычисления площади криволинейного сектора разобьем

его на n частей лучами j0 = a, j1, j2, ..., ji, ..., jn = b. Пусть Dji = ji - ji-1, i = 1,n , ri* = r (hi) — длина некоторого радиус-век-

тора, расположенного в [ji-1, ji] (ðèñ. 18.6, á).

		r = r (j)								Dji
								r	*
								h i
	a			b				i	r = r (j)
O
					l O						l
	a)								á)
					Ðèñ. 18.6

Площадь «ступенчатого» сектора, состоящего из n круговых секторов с центральными углами Dji и радиусами ri* = r (hi),

			n	1
	i =	1,n	, равна å		[r(hi )]2 Dji .
				2
			i =1

За площадь криволинейного сектора естественно принять

		n	1
	SD = lim	å		[r(j)]2 Dji .
			2
	max Dji ®0	i =1

$

Так как в правой части этого уравнения стоит интегральная

сумма для функции [r (j)]2/2 на отрезке [a, b], то окончательно

= 1

b

имеем SD

ò[r(j)]2 dj.

2

a

Пример: Вычислить площадь, ограниченную трехлепестко-

вой розой r = a cos 3j (см. рис. 18.5, б).

Достаточно вычислить площадь половины одного лепест-

ка при 0 £ j £ p/6, тогда

1 SD = 1

p

/ 6

2 p / 6

ò a2cos2 3j dj = a

ò

(1 + cos 6j) dj =

6

2

0

4

0

a2

1

p / 6

a2p

a2p

=

(j +

sin 6j)

=

Þ S

=

4

6

24

D

4

0

18.2. Вычисление объемов тел

18.2.1. Объем тела по известным площадям

поперечных сечений

Пусть известны площади S(x) сечений тела W плоскостями,

перпендикулярными оси ОХ, a £ x £ b

(рис. 18.7, а). Требуется

найти его объем VW.

W

X

X

O

a

xi

b

O

xi-1

xi

xi

a)

á)

Ðèñ. 18.7

Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками {x0 = a, x1, ..., xi, ..., xn = b}, выберем произвольные точки xi Î [xi-1, xi], i = 1,n и построим цилиндры с площадями оснований S(xi) и высотами Dxi = xi - xi-1 (ðèñ. 18.7, á).

%

Объем ступенчатого тела, состоящего из этих цилиндров,

n
равен åS(xi )Dxi , поэтому за объем тела W принимается
i=1
		n
VD = lim	®0	åS(xi )Dxi .
max Dx		i =1
i

В правой части стоит интегральная сумма для функции S(x),

b

поэтому VD = òS(x) dx.

a

Пример: Найти объем V тела W, ограниченного эллипсои-

x2

y2

z2

äîì

+

+

= 1.

a2

b2

c2

В сечении тела W плоскостью x = const получим эллипс

y2

+

z2

= 1,

æ

x2 ö

поэтому площадь S(x) = pbc ç1

-

÷

2

æ

-

x2

ö

2

æ

-

x2

ö

è

a2 ø

b

ç1

÷

c

ç1

÷

a2

a2

è

ø

è

ø

a æ		x2		ö	4
(ñì. ï. 18.1.2) è V = pbc ò ç1	-			÷ dx =		pabc
			2		3
-a è		a		ø

18.2.2. Объем тела вращения

Пусть криволинейная трапеция D с границей ¶D: y = y(x), x = a, x = b (a < b), y = 0 вращается вокруг оси ОХ. Поперечными сече- ниями являются круги с радиусами y (x), поэтому S(x) = p[y(x)]2

b

è Vx = pò[ y(x)]2 dx.

a

Пусть криволинейная трапеция D с границей ¶D: x = x(y), y = c, y = d (c < d), x = 0 вращается вокруг оси ОY, тогда S(y) = p[x(y)]2,

d

Vy = pò[ x(y)]2 dy.

c

Пример: Определить объем тела, образованного вращением фигуры D c границей ¶D: y2 = 4 - x, x = 0: а) вокруг оси ОХ;

&

б) вокруг оси OY.
При вращении фигуры D вокруг оси OX получим парабо-
лоид (рис. 18.8, а), объем которого
	4	æ		x2	ö	4
	Vx = pò( 4 - x) dx = pç		4x -	2	÷	= 8p.
	0	è			ø	0
	Y				Y
2	y2 = 4 - x	y2 = 4 - x				2
		-4				4
		X			O	X
	O
-2
	a)				-2
						á)
		Ðèñ. 18.8

При вращении фигуры D вокруг оси OY получаем тело, изображенное на рис. 18.8, б. Его объем

2	2	2	æ	y3		y5 ö			2
Vy = 2pò(4 - y2 )		dy =2pò(16 - 8y2	+ y4 ) dy = 2pç16y - 8		+		÷		=
				3		5
0		0	è				ø		0

æ		64		32 ö			896p
= 2pç32	-		+		÷	=
è		3		5 ø			15

18.3. Вычисление длины дуги кривой

18.3.1. Длина дуги в прямоугольной системе координат

О: Длиной дуги l кривой L называется предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной, когда длина наибольшего ее звена стремится к нулю.

Пусть кривая L задана уравнением y = y(x), a £ x £ b, причем y(x) — непрерывно дифференцируемая функция на [a, b]. Разобьем ее на n частей точками с абсциссами {a0 = x0, x1, ..., xn = b} è ïðî-

'

ведем хорды через эти точки (рис. 18.9, а). Получим вписанную

ломаную, причем длина Dli ее i-го звена равна

Dl

= Dx2

+ Dy2 = 1 +

æ Dyi

ö2 Dx ,

i

i

i

ç

÷

i

è Dxi

ø

ãäå Dxi = xi - xi-1, Dyi = y(õi) - y(õi-1). По теореме Лагранжа

Dyi = f ¢( xi ) ,

xi Î (xi-1, xi), а длина всей ломаной, вписанной в кри-

Dxi

n

å

¢

2

вую L, равна

1 + [y

(

x

] Dx . Из определения длины дуги име-

i )

i

i =1

n

åì l =

lim

å 1 + [y¢ xi ]2 Dxi . Так как правая часть есть интег-

maxDx ®0

i =1

i

ральная сумма для функции

1 + [y¢( x)]2 , òî

b

l = ò

1 + [y¢( x)]2 dx.

(18.1)

a

Dyi

Y

Y

Y

Dxi

O

X

2

X

O

O

X

a

xi - 1

xi

b

a)

á)

Ðèñ. 18.9

Пример: Определить длину дуги окружности x2 + y2 = 4 ïðè

0 £ x £ 2 (ðèñ. 18.9, á).

2

æ

¢ ö

2

2

æ

-x

ö

2

ç

(

) ÷

ç

2

÷

ò

- x2

ò

l =

1 +

è

4

ø

dx =

1

+

ç

÷ dx =

0

0

è

4 - x

ø

2

2dx

x

2

p

= ò

= 2arcsin

=

0

4 - x2

2

0

2

!