9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

MH

N,

F

x M

Пример:

F

x M

F x t

y t

z t

L

F

F

F

F

x

t

y

t

z t

t

x

y

z

H

H

F

F

F

r

t

N

x

y

z

x

Ì

x y

F

F

x

x

y

y

z

z

y

z

M

M

Ì

x

x

y

y

z

z

F

F

F

x

M

y

M

z

M

x

y

z

Ì

M

F

M

F

x

y

y

z M

M

x

y

z

x

y

z

L

Fx y z

Fx y z

%

Ì

H H H

S N N

Литература: 3.

10.16.

LÌ

H

S

H				H		H
i				j		k
F			F			F
x		M	y		M	z		M
F			F			F
x		M	y		M	z		M

4.5.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ

Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С

Кудрявцев В.А., Демидович В.П

Пискунов Н.С

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И.

Виноградов И.М.

Беклемишев Д.В

Курош А.Г

Бугров Я.С., Никольский С.М

Бугров Я.С., Никольский С.М

Фихтенгольц Г.М

Данилов Ю.М., Журбенко Л.И., Никонова Г.А

Баврин И.И.

Гусак А.А.

Кудрявцев Л.Д.

Щипачев В.С

Часть 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассматриваются интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, элементы теории функций и функционального анализа, обыкновенные дифференциальные уравнения. Содержатся сведения о комплексных числах (к.ч.)

Глава 5

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

13. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Опорный конспект ¹ 13

13.1. Алгебраическая форма к.ч.

z x iy, x, y R, i

1, (i2

1) — мнимая единица,

õRe z, y Im z — действительная и мнимая части

Равенство к.ч.: z1		z2	Rez1	Rez2 è Imz1		Imz2
			z	x	iy — комплексно-со-
Y			пряженное к z
			На комплексной				плоскости:
								KKKKKH
y	Ì		z	точка М(х, y) или OM
			OX — действительная ось,
			OY — мнимая ось
Î	x		X

%"

13.2. Действия над к.ч. в алгебраической форме

z1 x1 iy1, z2

1) z1 z2 (x1

2) z1 z2 z

Yz1 +z 2

z2

z1

O

z1 – z 2

x2

iy2

x2)

i(y1

y2)

z

z2

z1

3) z1z2

(x1x2

y1y2)

i(x1y2 x2 y1) (ïî

правилу умножения многочленов, i2

1)

4)

z1

z

zz2

z1

z

2

Правило:

z1

z1

z2

,

x2

y2

X

z

2

z

2

z2

z2 z2

2

2

13.3. Тригонометрическая и показательная форма к.ч.

KKKKKH

·KKKKKH

r

OM

z

,

(OX ,OM )

Arg z

Y

M(r,j )

Главное значение:

arg z

[0, 2

) èëè arg z

(

,

]

Arg z

arg z

2k

, k

0, ± 1, ±2, ...

x

r cos , y

r sin

z = r (cos

i sin ),

j

ños

i sin

ei

— формула Эйлера

z r ei

z

z

|z

|

|z |,

O

X

Arg z1

1

2

1

2

Arg z2

2k .

13.4. Умножение и деление в тригонометрической

и показательной формах

z

r

ei

1

r (cos

1

i sin

1

), z

2

r

ei

2 ,

1

1

1

2

1) z

z

2

r r (cos(

1

2

)

i sin(

1

))

r r

ei(

1

2)

1

1

2

2

1

2

2)

z1

r1

cos 1

2

i sin

r1

ei(

1

2 )

z

1

2

2

r

r

2

2

13.5. Возведение в степень n (n

N ) и извлечение корня

степени n из к.ч.

1) zn

z

z

... z

r nein

rn(cos n

i sin n

)

n

%#

2) n z w	wn	z, w n z		n rei
n rei( /n	2k /n)	n r cos	2k		i sin	2k
			n			n

k0, n 1

13.1. Алгебраическая форма к.ч., его изображение на комплексной плоскости

К понятию комплексного числа приходят при рассмотрении уравнения z2 1 0. Отсутствие действительных чисел, ему удовлетворяющих, приводит к необходимости введения нового условного числа — мнимой единицы i, определяемой равенством i 2 1. Тогда

z±i решения уравнения.

О: Комплексным числом называют выражение x iy, где x, y R, i2 1, i — мнимая единица.

Такая форма называется алгебраической формой записи к.ч., х — действительной (Re), y — мнимой (Im) частями к.ч. Обозна- чим x iy z. Тогда x Rez, y Imz. К.ч. z yi (при х 0) называется чисто мнимым. Множество всех комплексных чисел обо-

значают C

{z: z x

iy, x, y R} (R

C).

Равенство к.ч. z1

x1

iy1 è z2

x2

iy2: z1

z2

x1

x2,

y1 y2.

Нулем называется к.ч. z

x

iy

0 ïðè

x

y 0. Изображается к.ч. z

x

iy точкой

Y

M(x, y) плоскости XOY или радиус-вектором

KKKKH

Ì(z)

OM т. М (рис. 13.1). Такая плоскость назы-

вается комплексной, ОХ — действительной,

OY — мнимой осями.

Числа z

x

iy è

x

iy называются

z

Î

X

комплексно-сопряженными.

Ðèñ.

13.1

Например, z

3

2i è

3 2i.

z

%$

13.2.Действия над к.ч. в алгебраической форме

1)Пусть z1 x1 iy1, z2 x2 iy2.

Сложение к.ч.: z1	z2 (x1	x2)	i(y1	y2).
2) Вычитание к.ч.:	z z1	z2	z z2	z1.
Используя сложение к.ч., имеем z1			z2	( x1 x2) i(y1 y2).

Сумму и разность к.ч. можно изобразить геометрически на комплексной плоскости, используя правило сложения и вычита-

ния векторов (рис.13.2):
	OM {z1			z2}	OM1 OM2,
	ON {z1			z2}	OM1 OM2
Y							M(z1 + z2)
		M2(z2)
						M1(z1)
									X
O
				N(z1 – z2)
Ðèñ. 13.2
3) Умножение к.ч.: z1z2				(x1		iy1)(x2 iy2) ( x1x2 y1y2)
+ i(x1y2 x2 y1).

Таким образом, при умножении к.ч. скобки раскрываются по правилу умножения многочленов.

Пример:

(3 5i)(2 3i) 6 9i

10i

15i2

(6

15) i

21

i.

4) Деление к.ч.:

z

z1

zz2

z1, z2

0. Умножим zz2 z1

z2

íà

2, затем поделим на действительное число z2

x22

y22, тогда

z

z2

z1

z1

z

z2

.

z2

z2

z2

%%

Пример:

3	i			3	5i		2	3i			i	i	i2		i		9		19
	5										6 9 10 15				9 19					i.
2	3i		2		3i 2			3i				4 9		13		13 13

13.3. Тригонометрическая и показательная формы к.ч.

Изобразим к.ч. z x iy радиус-вектором OM на комплекс-
ной плоскости (см. рис.13.1). Назовем |OM |					r | z | модулем к.ч.,
угол между осью OX и радиус-вектором ОМ, отсчитываемый в
положительном направлении, (OX, OM )					Arg z — аргументом к.ч.

Очевидно, что Arg z определяется неоднозначно. Главным значени-

ем Arg z назовем arg z, удовлетворяющее неравенствам 0							arg z 2
èëè	arg z . Тогда Arg z			arg z	2k , k	Z.
Отметим, что для z		0 аргумент не определен. Из OMN
(см. рис. 13.1) имеем:
	x	r cos	,	y r sin ,			(13.1)
ò.å. z	x iy представляется		â âèäå z		r (cos	i sin	).

Такая форма записи называется тригонометрической формой к.ч.

При переходе от алгебраической к тригонометрической форме

используем формулы (13.1) и соотношения r																					x2 y2 , tg	y	.
																						x
	Пример: z	1	i записать в тригонометрической форме.
		r	12 (			1)2		2, sin						y						1	,
														r						2
	cos			x		1		2					7		,		r			2
				r		2	2					4
					z		2(cos			7		i sin			7			).
							4					4
	(Для нахождения					можно также использовать равенства
tg	1 è z	1	i)

%&

Введем обозначение, называемое ô î ð ì ó ë î é Ý é ë å ð à :

ei cos i sin .

Тогда получим показательную форму записи к.ч.: z r ei . Â ïðè-

	i	7
ìåðå z	2e 4 .

Очевидно, что два комплексных числа в тригонометрической

или показательной форме z	1	r ei 1, z	2	r ei 2	равны тогда и толь-
		1		2
ко тогда, когда |z1| |z2|, Arg z1		Arg z2		2k , k Z.

13.4.Умножение и деление к.ч. в тригонометрической

èпоказательной формах

Пусть z1 r1(cos	1 i sin	1), z2 r2(cos	2	i sin	2).
1) Умножение к.ч.:
z1z2 =	r1r2(cos(	1 + 2) + i sin(	1 +	2)).	(13.2)

q Используя умножение к.ч. в алгебраической форме, т.е. раскрывая скобки по правилу умножения многочленов, имеем

z1z2

r1r2(cos 1

i sin

1)(cos

2

i sin 2)

r1r2[(cos 1cos

2

i sin 1sin 2)

i(cos

1sin

2

sin

1cos

2)]=

r1r2[cos( 1

2)

i sin( 1

2)) x

2) Деление к.ч.:

z

r

1

1

cos 1

2

i sin

1

2 .

z

r

2

2

q

z1

r1 cos

1

i sin

1

r1 cos 1

i sin

1 cos

2

i sin

2

z2

r2 cos

2

i sin

2

r2 cos

2

i sin

2 cos

2

i sin

2

r1 (cos

1 cos

2

sin 1 cos

2)

i(sin

1 cos

2

cos

1 sin

2)

r2

cos2 2

sin2

2

r1

cos(

1

2

i sin(

1

2))

x

r

2

%'

Умножение и деление к.ч. в показательной форме:

								z1		r1ei 1			r1	i(	1	2 )
z z		r ei 1 r		ei 2	r r	ei( 1	2 ),							e			.
								z2		r	i		r2
1	2	1	2		1 2						e 2
									2

13.5.Возведение в целую положительную степень

èизвлечение корня n й степени из к.ч.

Î: zn

z

z ...

z, n N·

n

Пусть z

r (cos

i sin

)

r ei , тогда из формулы умножения

(13.2) имеем

zn

r n(cos n

i sin n

)

r nein

(13.3)

O: w

n z

z

wn

Пусть z

r (cos

i sin

)

r ei , w

(cos

i sin

)

ei

, тогда

из формулы (13.3) возведения к.ч. в степень следует, что z

nein .

Используя равенство к.ч., получим

z

n

n r ,

2k

n

2k

.

n

n

Окончательно w

n z

n rei

n rei( /n 2k /n).

будем иметь различные значения n z,

ïðè

Ïðè

k

0, n

1

i

i

i

k n получим

w

n re n e2 i

n re n (cos2

i sin 2

)

n re

n

w .

n

0

Таким образом,

n z

имеет n различных

;значений, которые располагаются на

			комплексной плоскости w на окружности
			радиусом n r c центром в начале коорди-
w1			нат и делят ее на n равных частей. Для n 0
			имеем одно значение 0.
	w0
	:		Пример: Найти все значения (действи-
			тельные и мнимые) w					3 1.
w2					2k			2k
			3 1 3 ei 0	i(0		)	i			ei 0
					3			3 , w
				e			e				1,
								0

&