9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

Первый интеграл при помощи замены t 2 + q - p2/4 = z приводится к табличному (ОК ¹ 15, формула 2), второй является табличным (формула 15).

Пример:

x dx

ì

x

2

+ 2x + 5 = x +

1

2

+

ü

t

- 1

ò

ï

4, ï

ò

= í

ý =

dt =

+

=

=

-

=

t2

+ 4

x2 + 2x + 5 ï

ï

îx

1

t,

x

t

1, dx

dt þ

t dt

dt

ì

2

+

4 = z,

ü

=

-

=

t

=

í

ý

ò t

ò t

2 + 4

2 + 4 î2t dt = dz þ

=

1

ò

dz

-

1

arctg

t

=

1

ln | z | -

1

arctg

t

+ c =

2

2

2

z

2

2

2

=

1

ln | x2 + 2x + 5| -

1

arctg

x + 1

+ c.

2

2

2

Ax + B

4 òèï. (x2 + px + q)k , A, B, p, q — заданные числа О R, x2 + px + q

не имеет действительных корней.

Интегрирование этой рациональной дроби содержится в [3. C.350].

16.1.3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

Пусть знаменатель правильной рациональной				дроби
R(x) =	Pm (x)	может быть представлен в виде Q	(x) = (x - a		) ... ´
	Qn (x)	n		1

´ (x - al)(x - b)k(x2 + px + q) (множителей вида (x - b)k, (x2 + px + q) может быть несколько), где a1, ..., al, b, q, p — заданные числа О R,

k О N, трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней. Тогда R(x) представляется в виде суммы простейших дробей

1–3 типов:

R(x) =

A1

+ ... +

Al

+

Bk

+

x - a

x

- a

(x

-

k

1

l

b)

Bk -1

B1

Mx + N

+

+ ... +

+

,

(x - b)k -1

(x - b)

x2 + px + q

ãäå A1, ..., Al, B1, ..., Bk, M, N — неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя к Pm(x). Доказательство представлено в [3. C.354].

Примеры:

1)

3x + 2

=

3x + 2

=

A

+

B

,

x2 - x - 2

( x

+ 1) ( x - 2)

x +

1 x -

2

2)

x

=

A

+

B

+

D

,

2 ( x - 2)

( x + 1) 2

( x + 1)

x + 1 x - 2

3)

x

=

A

+

B

+

Dx + E

.

( x

+ 1)

x -

( x - 2)

2

2

( x - 2)

2

2

x

2

+ 1

Два метода нахождения коэффициентов в разложении рассмотрим на примере.

Пример:

I = ò

x3

dx.

x

2

- x

- 2

x3

= x +1 +

3x + 2

Поскольку

x2 - x - 2

( x +1) ( x - 2)

(см. пример в

ï. 16.1.1), òî

I = ò(x + 1) dx + ò

3x + 2

dx =

x2

+ x +ò

3x + 2

dx.

( x

+ 1) ( x - 2)

( x + 1) ( x - 2)

2

Правильную рациональную дробь под интегралом предста-

вим в виде суммы простейших:

3x + 2

=

A

+

B

=

A ( x - 2) + B ( x + 1)

,

( x + 1) ( x - 2)

x +

1 x - 2

( x + 1) ( x - 2)

3x + 2 = A(x - 2) + B(x + 1).

(16.1)

Первый метод — метод неопределенных коэффициентов — заключается в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях х в (16.1):

		ì	1
x: A + B = 3	ìA + B = 3	ïA =		,
			3
x0: -2A + B = 2	Û í	Û í
	î3A = 1	ï		2
		ïB = 2				.
		î		3

Второй метод — метод частных значений — заключается в подстановке значений х в (16.1), в первую очередь, корней знаменателя:

ì

A =

1

,

x = -1: -3A = -1ü

ï

3

x = 2:

ý

Û í

2

3B = 8 þ

ï

ïB = 2

.

î

3

Окончательно имеем

I =

x2

+ x +

1

ò

dx

+

8

ò

dx

=

x2

+ x +

1

ln|x + 1| +

8

ln|x - 2| + c

x +

x -

2

3

1 3

2 2

3

3

16.2. Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида т R(sin x, cos x) dx, где R(sin x, cos x) — рациональная функция от sin x и cos x (рациональной функцией R(u,v) называется зависимость, связывающая переменные u и v с помощью четырех арифметических операций).

Интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби R(t) путем так называемой универсальной подстановки tg(x/2) = t,

x = 2arctg t, dx =	2 dt	. Найдем, используя тригонометрические
1 + t2
формулы, выражения для sin x и cos x через t:

2sin

x

cos

x

2tg

x

2t

sin x =

2

2

=

2

=

,

+ t2

sin

2

x

+ cos

2 x

1 + tg

2 x

1

2

2

2

cos2

x

- sin2

x

1 - tg2

x

1 - t2

cos x =

=

.

2

2

=

2

cos

2 x

+ sin

2 x

1 + tg

2 x

1 + t2

2

2

2

!

Пример: ò	dx	= {tg	x	= t} = ò	dt	= ln|t| + c = ln|tg	x	| +c.
	sinx		2		t		2

Укажем случаи, когда более выгодными являются другие подстановки.

2. Интегралы вида т sinmx cosnx dx, m, n ³ 0, целые числа.

а) m = 2p + 1 Ю cosx = t; n = 2q + 1 Ю sin x = t. Действительно, т sin2p+1x cosnx dx = ò (sin2x)pcosnx sin x dx = -ò (1 - cos2x)pcosnx dcos x = = {cos x = t} = -ò (1 - t2)ptndt.

Аналогично для n = 2q + 1.

á) m = 2p, n = 2q Þ sin2x = (1 - cos2x)/2, cos2x = (1 + cos2x)/2. Переход к удвоенному аргументу приводит к понижению степени.

Пример:

ò	cos4 x dx =					ò	æ1		+ cos 2x ö2				ò	dx			ò	cos 2x				1		ò	cos2
							ç					÷ dx =			+						dx +					2x dx =
							è				2	ø		4				2				4
=		1	x +	1	sin 2x +					1	ò( 1 + cos 4x) dx =					3	x +		1	sin 2x +			1		sin 4x + c.
										8
	4		4												8			4				32

3. Интегралы вида т R(tgx) dx. Замена вида tg x = t, x = arctg t,

dx =

dt

приводит к интегралу от рациональной функции R*(t).

1 + t2

Пример:

ò

tg4 x dx =

{ tg x = t, x = arctgt, dx =

dt

}

=

1 + t 2

= ò

t 4

dt = ò(t 2 -1) dt + ò

dt

=

+ t 2

+ t 2

1

1

=

t3

- t + arctg t + c =

tg3x

- tg x + x + c.

3

3

16.3. Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим интеграл

òR(x, n1 (ax + b)m1 , ..., nl (ax + b)ml ) dx,

m

, n

,

j =

1,l

— целые числа. Замена вида ax + b = tk,

j

j

"

dx =	1	kt	k -1	dt, где k — общий знаменатель	mj	, j
	a				nj

к интегралу от рациональной функции R*(t).

Пример:

x dx

ì

6 ü

t

3

× 6t

5

dt

ò

ï x = t

ï

= ò

= í

ý

(

t2

+

1

)

t8

(

3

x +

1)

3

x

4

ïdx = 6t5dt ï

î

þ

= 6ò t 2d+t 1 = 6 arctg t + c = 6 arctg 6 x + c.

= 1,l, приводит

=

Аналогично поступаем, если вместо линейной функции ax + b

ax + b

стоит дробно-линейная

. Интегрирование некоторых дру-

cx + d

гих иррациональностей см. в ОК ¹ 16.

Примеры:

1) ò

x dx

= ò

x dx

ìx + 1 = t,

x = t -1ïü

= ò

(t - 1) dt

= í

dx = dt

ý

=

x

2

+ 2x + 2

(

x + 1)

2

+ 1

î

ï

t

2

+ 1

þ

= ò

t dt

-ò

dt

= t 2 + 1 - ln | t + t 2 + 1 | + c =

t 2 + 1

t 2 + 1

= x2 + 2x + 2 - ln | x + 1 + x2 + 2x + 2 | +c.

2) ò

ì x

= 2 sin t ü

= ò 4 - 4 sin2t × 2cost

4 - x2 dx = í

ý

dt =

îdx = 2 cos t þ

= ò4cos2t dt = 2ò( 1 + cos 2t ) dt = 2t + sin 2t + c = 2t + 2 sin t cos t + c =

= 2arcsin x + x 1 - x2 + c.

24

Замечание. В 16.1–16.3 рассмотрены классы интегрируемых функций. Но можно привести многочисленные примеры интегралов от элементарных функций, которые существуют, но не выражаются через элементарные функции. Например,

òe-x2 dx — интеграл Пуассона,

#

ò	x
	sin x		dx — интегральный синус,
ò	x
	cos x		dx — интегральный косинус,

dx

ò ln x — интегральный логарифм,

ò sinx2dx — üý интегралы т cosx2dx — ю Френеля,

ò 1 - k2sin2x dx, k ¹ 0;1.

Для их решения можно воспользоваться, например, разложением подынтегральной функции в ряд.

Литература: [1. C. 203–227]; [5. C. 255–262]; [6. C. 309–329]; [7. C. 167–176].

17. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Опорный конспект ¹ 17

17.1. Задачи о площади, работе. Понятие о.и.

	b	n
	Î: ò f (x) dx = lim	å f (xi )Dxi ,
	maxDxi ®	i =
	a
	ãäå DõE = xE - xE-1, xE Î [ xE-1, xE], E = 1,n.
	b
	SD = ò f (x) dx
	a
b	KKH

A = ò f (x) dx — работа силы F = f (x), направление которой

a

совпадает с ОХ, на [a, b]

$

17.2. Свойства о.и.

b b b

10. ò( f (x) ± j(x)) dx = ò f (x) dx ±òj(x) dx

a a a

bb

20. òkf (x) dx = k ò f (x) dx, k = const

aa

ba

30. ò f (x) dx = -ò f (x)dx

ab

a

40. ò f (x) dx = 0

a

b

c

b

50. ò f (x) dx = ò f (x) dx +ò f (x) dx

a

a

c

Геометрический смысл

Y

y = f (x)

( f (x) > 0)

S = S1 + S2

S

S

O a

c

b

X

b

b

60. j(x) £ y(x) " x Î[a,b] Þ òj(x) dx £ òy(x) dx

a

a

Геометрический смысл

Y

Sy

y =y(x)

Sj< Sy

y=j(x)

Sj

X

O

a

b

%

70. Теорема о среднем

f (x) Î C[a,b] Þ $ x Î [a,b]:

b

ò f (x) dx = f (x)(b - a)

a

Геометрический смысл

SD = S:

Y			y = f (x)
			D
O	a	x	b	X

17.3. Формула Ньютона—Лейбница

b

ò f (x) dx = F (b) - F (a). F ¢(x) = f (x)

a

17.4. Интегрирование заменой переменной и по частям в о.и.

1) Замена переменной:

b	ìx = j(t)	ü	b
			= ò f [j(t)]j¢(t) dt
ò f (x) dx = í		ý
a	îdx = j¢(t) dt þ		a

2) Интегрирование по частям:

bb

òu dv = uv| ab - òv du

aa

17.5. Несобственные интегралы (нс.и.)

17.5.1. Нс.и. с бесконечными пределами интегрирования

¥b

Î: ò f (x) dx = lim	ò f (x) dx — сходящиеся,
b®¥	a
a

если lim $, конечен; расходящиеся, если lim $

&

b		b
ò	f (x) dx = lim ò f (x) dx
-¥	a®-¥
		a
¥	c			¥
ò f (x) dx = ò f (x) dx + ò f (x) dx
-¥	-¥			c
17.5.2. Нс.и. от разрывных функций
	b			c
Î: ò f (x) dx =		lim		ò f (x) dx,
	a	c ®b -	0	a

åñëè f (x) Î C[a,b] и имеет разрыв 2-го рода при х = b

b		b
ò f (x) dx = lim		ò f (x) dx,
c ®a +	0	c
a

åñëè f (x) Î C[a,b] и имеет разрыв 2-го рода при х = a

17.1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

17.1.1.Задача о площади криволинейной трапеции

О: Криволинейной трапецией называется фигура D с границей

ìy = f (x), f (x)> 0,

¶D : ïíx = a, x = b (a < b),

ïîy = 0,

где функция f (x) непрерывна (рис.17.1).

Найдем площадь криволинейной трапеции. Для этого разобъ-

ем отрезок [a, b] точками {x0 = a, x1, ..., xi-1, xi, ..., xn = b} на n элементарных отрезков [xi-1, xi]. Обозначим xi - xi-1 = Dxi, выберем про-

извольные точки xi Î [xi-1, xi] и построим ступенчатую фигуру из прямоугольников с высотами f (xi) и основаниями Dxi. Площадь

n

ступенчатой фигуры Sn = å f (xi )Dxi и дает приближенное значе-

i=1

'

Y

	x1		xi
x0 = a	x1	xi–1	xi
			Ðèñ. 17.1

y = f (x)

xn = b

X

ние площади криволинейной трапеции. За точное значение пло-

	n
щади естественно принять SD = lim	å f (xi )Dxi .
maxDx ®0	i =1
i
17.1.2. Задача о работе переменной силы
H

Найдем работу переменной силы F (x) с постоянным направлением, под действием которой материальная точка перемещается из положения х = а в х = b по прямой, направленной вдоль линии действия силы (рис. 17.2).

			xi
x0 = a ... xi - 1				xi	... xn = b
			Ðèñ. 17.2

Проведем разбиение, аналогично п. 17.1.1: xi Î [xi-1, xi]. Будем считать, что на Dxi, i = 1,n, величина силы имеет постоянное зна-

чение и равна F(xi), тогда работа силы на [xi-1, xi] равна F(xi)Dxi,

			n
а приближенное значение работы на всем пути A » åF (xi )Dxi
			i=1
	H		n
(F =	F	). За точное значение принимаем A = lim	åF (xi )Dxi .
		maxDx ®0	i =1
		i

17.1.3. Понятие определенного интеграла

Пусть на [a, b] задана функция y = f (x). Àíалогично пункту 17.1.1 разобъем [a, b] на n частей [xi-1, xi], i = 1,n, выберем произвольные точки xi Î [xi-1, xi] и составим сумму

n
å f (xi )Dxi ,	(17.1)

i =1

которая называется интегральной суммой.