9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

5)

ò

dx

= tg x + c,

2

cos

x

6)

ò

dx

= -ctg x + c,

2

x

sin

7)

ò tgx dx = -ln | cos x | + c,

8)

ò ctgx dx = ln | sin x | + c,

9)

òax dx =

ax

+ c,

ln a

10) òex dx

= ex + c,

11) ò

dx

= arcsin x + c = - arccos x + c,

1 - x2

12)

ò

dx

= ln

x + x2 ± a2

+ c,

x2 ± a2

13)

ò

dx

= arctg x + c = -arcctg x + c,

x

2

+

1

14)

ò

dx

= arcsin

x

+ c,

a2 - x2

a

15)

ò

dx

=

1

arctg

x

+ c,

a2 + x2

a

a

16)

ò

dx

=

1

ln

a + x

+ c

a2 - x2

2a

a - x

15.4. Методы интегрирования

15.4.1.Метод разложения (30, 40)

15.4.2.Метод замены переменной

ìx = j(t),	ü	= ò f [j(t)]j¢(t)dt
ò f (x)dx = í	ý
îdx = j¢(t)dt þ

15.4.3. Метод интегрирования по частям

òudv = uv - òvdu.

'

Применяется для:

	ì	x ü
	ïa	ï	P(x)	— многочлен,
1) òP(x)í		ýdx,
	îïekx þï
	ìsin kx ü
òP(x) í		ýdx, P(x) = u;
	îcos kxþ
			ìarcsin x ü
			ï	ï
			ïarccos xï
2)	òP(x) loga x dx, òP(x)í			ý dx,
			ï arctg x ï
			ï	ï
			îarcctg x þ
P(x)dx = dv
	ìsin bx ü
3)	òeax í	ýdx
	îcos bxþ

15.1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла

Рассмотрим задачу, обратную задаче нахождения производной от заданной дифференцируемой функции: найти F(x), если известны ее производная F ¢(x) = f (x) или дифференциал dF(x) = f (x)dx. Физический смысл такой задачи можно пояснить следующим примером: по заданной скорости неравномерного прямолинейного движения найти его закон s(t).

О: Функция F(x) называется первообразной для f (x) на открытом или закрытом промежутке Х, если F ¢(x) = f (x) " х О Х.

Пример: f (x) = x2, F(x) = x3/3.

Т.1: (теорема существования) Любая непрерывная на Х функция f(x) имеет первообразную F(x) на Х: f (x) О C[X] Ю $F(x),

" x Î X: F ¢(x) = f (x) n

Функция f(x) на Х может иметь бесконечно много первообразных. Так, для f (x) = x2 первообразной является F(x) = x3/3 + c, "c = const.

'

Ò.2: Åñëè F(x) è F1(x) — две первообразные для f (x) на Х, то разность между ними равна постоянной n

q Обозначим F(x) - F1(x) = j(х), тогда j¢(х) = F ¢(x) - F1¢(x) =

= f (x) - f (x) = 0 " x О X. Пусть х1, õ2 О X. Применим теорему Лагранжа для j(х) на [х1, õ2]: j(õ2) - j(õ1) = j¢(x)(õ2 - õ1), õ1 < x < õ2,

откуда j(х2) = j(õ1) " õ1, õ2 О X Ю j(x) = const на Х x Следствие . Если F(x) — первообразная для f (x) на Х, то

F(x) + c, c = const — множество всех первообразных для f (x).

О: Неопределенным интегралом (н.и.) от функции f(x) " x ОX называется совокупность всех первообразных этой функции.

Обозначение н.и.: т f (x) dx = F(x) + c.

Функцию f (x) называют подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, нахождение н.и. от функции f (x) — интегрированием f (x).

Геометрический смысл н.и. следует из

Y

геометрического смысла производной:

F x + c

уравнение у = F(x) + c на плоскости XOY

определяет семейство кривых (называе-

мых интегральными кривыми), для кото-

рых в точке с абсциссой х угловой коэф-

фициент касательных равен f(x)

(рис.15.1). Физический смысл н.и.:

X

O

x

x

x

тv(t) dt = s(t) + c, т.е. н.и. от скорости не-

равномерного прямолинейного движе-

. 15.1

Ðèñ. 15.1

ния дает зависимость пути от времени.

15.2. Основные свойства неопределенного интеграла

10. Производная от н.и. равна подынтегральной функции, а дифференциал— подынтегральному выражению: (т f (x) dx)¢ = f (x), dт f (x)dx = f (x)dx.

20. т dF(x) = F(x) + c, в частности, т dx = x + c. Свойства 10, 20 следуют из определения н.и.

30. Н.и. от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме н.и. от каждого слагаемого.

q Докажем, что т (f1(x) ± f2(x)) dx = ò f1(x) dx ± ò f2(x) dx. (Равенство понимается с точностью до постоянного слагаемого.) Дей-

'!

ствительно, по 10: (ò(f1(x) ± f2(x)) dx)¢ = f1(x) ± f2(x), (ò f1(x) dx ±

± ò f2(x)dx)¢ = (ò f1(x) dx)¢ ± (ò f2(x) dx)¢ = f1(x) ± f2(x). Таким образом, левая и правая части имеют одинаковые производные и могут от-

личаться лишь постоянной x

40. Постоянный множитель можно выносить за знак н.и.: т cf (x) dx = cт f (x)dx, c = const.

50. Независимость вида н.и. от выбора аргумента (инвариантность формы интеграла): т f [j(t)] dj = F [j(t)] + c, где F ¢(x) = f (x), j(t) имеет непрерывную производную.

q Действительно, по свойству инвариантности формы дифференциала: d[F [j(t)] + c] = F ¢[j(t)]dj(t) = f [j(t)]dj(t) x

Частным случаем 50 является т f(ax + b)d(ax + b) = F(ax + b) + c. Очевидно, учитывая, что d(ax + b) = a dx, получаем формулу

ò f (ax + b)dx = 1 F (ax + b) + c. a

15.3. Таблица неопределенных интегралов

Используя определение н.и. и таблицу производных (разд. 9.6), можно записать таблицу н.и. (см. опорный конспект ¹ 15). Все формулы таблицы могут быть проверены нахождением производной от правой части — она равна подынтегральной функции.

15.4.Методы интегрирования

15.4.1.Метод разложения

Основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций и дальнейшем использовании свойств 30 è 40. Применяется, если интегралы от слагаемых являются табличными или если известен метод их нахождения.

Пример:

ò

x3 + x2ex - 3

ò

æ

x

3

ö

dx =

ç x + e

-

÷dx =

x2

è

x2

ø

= ò x dx + òex dx - 3ò

dx

=

x2

+ ex +

3

+ c.

2

x

2

x

'"

15.4.2. Метод замены переменной (подстановки)

Пусть функция x = j(t) имеет непрерывную производную, тогда т f (x)dx = т f [j(t)] j¢(t)dt.

Формула следует из свойства 50 для н.и. Она может быть использована в следующем виде:

¢

ìt = j(x),

ü

= ò f (t)dt.

ò f [j(x)] j (x) dx

= í

¢

ý

îdt = j (x)dxþ

Примеры:

ò tg x dx =

sin x dx

=

ìcos x = t,

ü

=

1)

í

ý

cos x

î- sin x dx

= dt þ

= -ò

dt

= - ln | t | + c = - ln | cos x | + c.

t

1

dx

dx

1

= {

x

1

dx = dt} =

ò

ò

a

=

= t

,

2)

a2 + x2

a

æ x

ö2

a

a

1 + ç

÷

è a

ø

=

1

ò

dt

=

1

arctg t + c =

1

arctg

x

+ c.

a

1

2

+ t

a

a

a

В этих примерах методом подстановки получены табличные интегралы 7, 15, см. ОК ¹ 15.

15.4.3. Метод интегрирования по частям

Пусть функции u(x), v(x) имеют непрерывные производные, тогда т u dv = uv — т v du — формула интегрирования по частям. Она применяется, если т v du более прост для интегрирования, чем тu dv (см.ОК ¹ 15).

q d(uv) = v du + u dv Ю т u dv = т d(uv) - т v du = uv - т v du (см. свойство 20) x

Примеры:

ìx = u, du = dx,			ü
ï			ï
1) ò x sin 3x dx = í	v = òsin 3x dx = -	1	ý	=
ïsin 3x dx = dv,			cos 3xï
î		3	þ

'#

= -

1

x cos 3x +

1

òcos 3x dx = -

1

x cos3x +

1

sin 3x + c.

3

3

3

9

ì

dx

ü

ï ln x = u, du =

,

ï

2) òln x dx = í

x

ý

=

ï

ï

îdx = dv, v = òdx = xþ

= x ln x - ò x dxx = x ln x - òdx = x ln x - x + c.

ìe2x

= u, du

= 2e2x dx,

ü

3) òe2x sin 3x dx =

ï

ï

í

v = òsin 3x dx = -

1

ý =

ïsin 3x dx = dv,

cos 3xï

î

3

þ

1

2

ìe2x = u, du = 2e2x dx

ü

= -

e2x cos 3x +

òe2x cos 3x dx =

ï

ï

=

í

1

ý

3

3

ïcos 3x dx = dv, v =

sin3xï

î

3

þ

= -

1

2x

cos 3x +

2 æ

1

2x

-

2

ò

2x

ö

e

ç

e

sin 3x

e

sin3x dx ÷.

3

3 è

3

3

ø

Обозначим тe2x sin 3x dx = I, тогда

I = -

1

e2x cos 3x

+

2

e2x sin 3x -

4

I

Þ

3

9

9

Þ 13 I = e2x (2 sin 3x - 3 cos 3x) Þ

99

ÞI = e2x (2sin 3x - 3cos3x) + c. 13

Литература: [2. C.289–302]; [4. C. 242–254]; [5. C. 289–298]; [6. C. 159–166]; [8. C. 214–222].

16. КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Опорный конспект ¹ 16

16.1.Интегрирование рациональных дробей

P (x)

B xm + B xm-1 + ... + B

m

ì

неправильная,

Î: R(x) =

m

=

0

1

Þ

ï

åñëè m ³ n

Qn (x)

A0 xn + A1xn -1 + ... + An

í

правильная,

ï

î åñëè m < n

Неправильная R(x) =

Pm (x)

= L

(x) +

rk (x)

, k < n

Qn (x)

l

Qn

(x)

Правильная R(x) = S простейших дробей 1—4 типов:

1 òèï: ò

A

dx = A ln

x - a

+ c,

x - a

(x - a)-k +1

A

dx = A

+ c,

2 òèï:

ò (x - a)k

-k

+ 1

ì

1

2

¢

p ü

Mx + N

ït

=

( x

+ px

+ q )

= x +

ï

3 òèï: ò

ï

2

2 ï

dx

= í

ý,

x2 + px

+ q

p2

ï

2

+ px + q = t

2

+ q

-

ï

ïx

ï

î

4

þ

4 òèï: ò

Mx + N

dx

(x

2

k

+ px + q)

Пусть Qn(x) = (x - a1) ... (x - al)(x - b)k (x2 + px + q) Þ

правильная R(x) =

A1

+ ... +

Al

+

Bk

+

x - a1

x

- al

(x - b)k

+

Bk -1

+ ... +

B1

+

Mx + N

(x - b)k -1

x - b

x2 + px + q

16.2. Интегрирование тригонометрических функций

1. ò R(sin x, cos x) dx = ò R*(t) dt,

'%

åñëè tg(x/2) = t, x = 2arctg t, dx =					2dt	,
				1 + t 2
sin x =	2t	, cos x =	1 - t 2
	1 + t 2		1 + t 2

2.ò sinmx cosnx dx, m,n ³ 0, целые а) m = 2p + 1 Ю cos x = t

n = 2q + 1 Þ sin x = t

á) m = 2p, n = 2q Þ sin2x = (1 - cos 2x)/2, cos2x = (1 + cos 2x)/2

3.ò R(tg x) dx = ò R*(t)dt,

åñëè tg x = t, x = arctg t, dx = dt

1 + t 2

16.3. Интегрирование иррациональных функций

1. òR(x, n1 (ax + b)m1 , ..., nl (ax + b)ml ) dx = òR * (t) dt,

						mj
	åñëè ax + b = tk, k — общий знаменатель						, j = 1,l,
						nj
	x =	1	(tk - b), dx =	1	ktk -1 dt
		a
				a

2. ò

ax2

3.

Ax + B

ax2 + bx + c

+ bx + c = at 2

òR(x,	a2
òR(x,	a2
òR(x,	x2

		1	æ	2		bx		c ö¢
dx, замена	t =		ç x		+		+		÷	= x +
		2	è			a		a ø

+ c - b2

4a

-x2 ) dx, замена х = a sin t,

+x2 ) dx, замена x = a tg t,

-a2 ) dx, замена х = a/cos t

b , 2a

'&

16.1.Интегрирование рациональных дробей

16.1.1.Понятие рациональной дроби

О: Рациональной дробью называется функция

	P (x)		B xm + B xm-1		+ ... + B
R(x) =	m	=	0	1	m	,
			A xn + A xn-1
Qn (x)					+ ... + A
		0		1	n

ãäå Bj, Ai — заданные коэффициенты, i = 0,n, j = 0,m. Ðà-

циональная дробь называется правильной, если m < n, неправильной, если m ³ n.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Действительно, пусть R(x) = Pm (x) — неправильная рациональ-

Qn (x)

ная дробь. Разделим числитель на знаменатель, получим

Pm (x)

= L (x) +

rk (x)

, k < n,

ãäå L

(x) и остаток r (x) — многочле-

Qn (x)

l

Qn (x)

l

k

íû, à

rk (x)

— правильная рациональная дробь.

Q

(x)

n

Пример:

ì

x

3

x2 - x - 2

ü

ï

ï -

x + 1

ï

x3

- x2

-

2x

ï

ï

ï

=

x3

x

2

+

2x

ý

í

-

ï

R(x) =

= ï

x2

- x - 2

ï

x2

- x

- 2

ï

ï

ï

3x

+ 2 = r(x) — остаток

î

þ

= x + 1 +

3x + 2

.

x2 - x - 2

''

Таким образом,	ò	R(x) dx =	ò	Ll (x) dx +	ò	rk (x)	dx, rk (x) — îñ-
						Q (x)
						n

таток. Первый из этих интегралов легко вычисляется. Для того чтобы вычислить второй интеграл, надо подынтегральную функцию представить в виде суммы так называемых простейших рациональных дробей, а затем их проинтегрировать. Для этого рассмотрим простейшие рациональные дроби.

16.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

1 òèï.

A

,

A, a

— заданные числа О R: ò

A

dx = A ln|x - a| + c.

x - a

x - a

2 òèï.

A

,

A, a — заданные числа О R, k О N:

(x - a)k

ò

A

dx = Aò(x - a)-k dx = A

(x - a)-k +1

+ c.

k

(x - a)

-k +1

3 òèï.

Ax + B

, A, B, p, q — заданные числа О R. Квадрат-

x

2

+ px + q

ный трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней. Интегрирование проводится путем выделения полного квадра-

æ

p

ö2

p2

та в знаменателе:

x2 + px + q = ç x +

÷

+ q -

и последующей за-

p

è

2

ø

4

меной

x +

= t, ò.å.

2

ì

p

ü

Ax + B

ïx

+

= t, dx = dt,ï

ï

2

ï

dx = í

ý

=

ò x2

+ px + q

p

ï

= t -

ï

ïx

ï

2

î

þ

A(t -

p

) + B

t dt

æ

Ap ö

dt

ò

2

ò

ò

=

dt = A

+ ç B

-

÷

.

p2

æ

p2 ö

æ

p2 ö

t 2

+ q -

t 2

è

2 ø

t 2

+ çq -

÷

+ çq -

÷

4

ç

4

÷

ç

4

÷

è

ø

è

ø