9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

			i	2			2		2	1					3
		w	e 3			cos		i sin						i		,
		1				3			3	2				2
		i 4	cos 4			i sin 4			1		3
w		e 3								i				(ðèñ.13.3 )
	2
			3					3	2	2

Литература: [5. С. 312–318]; [7. С. 402–404]; [15. С. 214–218].

14. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Опорный конспект ¹ 14

14.1. Области и линии на комплексной плоскости Z. Понятие ФКП

Комплексная плоскость вместе с z — расширенная комплексная плоскость Z

О: Окрестность U (z0) z: |z z0| <

Î: w f (z), z D Z, w G W D • G: z D w G

Wf (z) однозначная или многозначная• ÔÊÏ

W	f (z): D			G	f (z)	однолистна
z x iy, w u iv					w f (z) u(x, y) iv(x, y), u(x, y) Re f (z),
v(x, y) Im f (z)
z r ei			w f (z)		u(r, )	iv(r, )
14.2. Предел и непрерывность ФКП
O: a		lim f (z)			> 0	( ): 0 < |z z0| <		|f (z) a| < .
		z	z0
Ò:	lim		f (z)	a	lim	u(x, y)	a ,
	z	z0		(x,y) (x0 ,y0 )			1
		lim		v(x, y)	a2 (a	a1	ia2).
	( x,y)		( x0 ,y0 )
O: w			f (z) непрерывна в т. z0
	1) f (z) определена в U (z0);
	2)	lim f (z) f (z0).
		z	z0

Непрерывность f (z) в т. z0 непрерывность u(x, y), v(x, y) в т. (x0, y0)

&

14.3. Производная ФКП. Условия Коши

Римана

Î: w

f (z)

однозначная ФКП,

f

(z)

lim

w

lim

f (z

z)

f (z)

z

z

z 0

z

0

Ò: f (z)

u(x, y)

iv(x, y)

дифференцируема

â ò. z

x

iy

u

v

,

u

v

(условия Коши

Римана)

x

y

y

x

f (z)

u

i

v

v

i

u

u

i

u

v

i

v

x

x

y

y

x

y

y

x

14.4. Понятие аналитической функции. Сопряженные

гармонические функции

О: Однозначная функция w

f (z) аналитическая в т. z z0

f (z) дифференцируема в U (z0)

Однозначные функции w

zn, n

N, z

0, w

ez, w

sin z,

w

cos z аналитичны в Z

2u

2u

Î: u(x, y), (x, y)

D,

гармоническая в D

,

x2

y2

непрерывны и

2u

2u

0

x2

y2

Ò: f (z)

u(x, y)

iv(x, y) — аналитическая в D

u(x, y),

v(x, y)

гармонические в D

О: u(x, y), v(x, y) сопряженные гармонические функции

при выполнении условий Коши	Римана
Т: u(x, y) — гармоническая в D	сопряженная к ней гар-

моническая функция v(x, y) такая, что f (z) u(x, y)

+iv(x, y) — аналитическая в D

14.1.Области и линии на комплексной плоскости. Понятие функции комплексного переменного

Введем топологию комплексной плоскости.

О: Окрестностью U (z0) точки z0 на комплексной плоскости Z называется множество точек z, удовлетворяющих неравенству: |z z0| < , R, > 0.

&

Определения открытого множества, области и ее границы на комплексной плоскости совпадают с соответствующими определениями в R2 (ñì. ðàçä. 11).

Области на комплексной плоскости Z в простейших случаях задаются неравенствами, содержащими комплексную переменную z x iy.

Примеры:

1.Область D: |z z0| < R — множество точек круга радиусом R с центром в т. z0.

2.Область D: Re z > 0 — множество точек правой полуплоскости (x > 0).

Уравнение кривой L на комплексной плоскости может быть

задано в параметрическом виде z(t)

x(t)

iy(t) èëè â âèäå

F(x, y) 0. Во втором случае заменой x

(z

)/2, y

(z

)/(2i)

z

z

оно приводится к виду F *(z,

)

0.

z

Примеры:

1. L: z

Reit, 0

t < 2

— окружность с центром в т. О ради-

óñîì R, òàê êàê z

R (cos t

i sin t)

x

R cos t, y

R sin t.

Другая запись этого уравнения окружности | z |

R.

2. L: z(i

1)

2 0 — прямая, так как при подста-

1) z(i

новке z x

iy,

x

iy

имеем x y

1

0.

z

Для нужд теории функций комплексного переменного к конеч- ным (называемым еще собственными) комплексным числам добавляют бесконечность (так называемое несобственное комплексное число). Комплексная плоскость с присоединенной к ней бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью. Окрестность UR( ) бесконечно удаленной точ- ки задается неравенством | z | > R.

Пусть даны две расширенные комплексные плоскости: Z ком-

плексных чисел z x iy, W комплексных чисел w u iv	è D,
G — множества точек плоскостей Z, W соответственно.
О: Функцией комплексного переменного (ФКП) w	f (z),

zD, w G, называется соответствие между множествами

D и G, при котором для каждого z D существует одно или несколько w G. В первом случае w f (z) — однозначная,

&!

во втором — многозначная функция (w f (z), z D, w G D •• G: z D w G ). Множество D называется областью определения, G — областью значений функции.

Для функции w f (z) можно выделить действительную и мни-

мую части. Подставляя z		x	iy, w	u	iv, имеем w	f (z) u(x, y)
iv(x, y), u(x, y)	Re f (z), v(x, y) Im f (z). При тригонометричес-
кой форме к.ч. z	r (cos	i sin		) имеем:
	w f(z)		u(r, )		iv(r, ).
Пример: w	z2, z Z — однозначная ФКП.
Òàê êàê z2	(x iy)2	x2	y2	2ixy, òî w z2		u	x2 y2,
						v	xy.

В геометрическом смысле ФКП w f (z) называют отображением множества D в G, w — образом, z — прообразом.

О: Отображение w f (z) множества D в G называется однолистным, если между множествами D и G установлено взаимно однозначное соответствие.

Основные элементарные ФКП являются естественным распространением в комплексную область основных элементарных функций действительного переменного. Рассмотрим наиболее важные из них.

1. Показательная ФКП: w ez ex iy ex(cos y i sin y). Она удовлетворяет следующим свойствам:

10. ez1 z2	ez1 ez2 .
20. ez1 z2		ez1	.
		ez2
30. ez 2 i		ez ,

т.е. показательная функция периодическая с периодом 2									i.
2. Логарифмическая функция w						Ln z — обратная к z			ew,
z 0, . Получим формулу для вычисления Ln z. Положим w									u
iv, z	rei , тогда rei			eueiv	r	eu, v	2k	(ñì. ðàçä. 13).
Отсюда Ln z		ln r	i(	2k ) èëè Ln z			ln | z |	i Arg z ln | z |
i arg z	2k	i, k	Z, 0	arg z < 2	(	arg z < ). Таким образом,

Ln z — бесконечнозначная функция. Значение при фиксирован-

&"

ном k называется ветвью Ln z. Главное значение (главная ветвь)

Ln z ln z	ln | z |	i arg z.
Пример: Найти Ln( 2).
2	2ei	Ln( 2) ln2 i 2 ki

3. Тригонометрические функции. Они определяются через по-

казательную функцию из формулы Эйлера eiy										cos y i sin y. Òàê
êàê e iy cos y i sin y, òî
sin y		eiy e-iy				, cos y		eiy e iy			.
			2i					2
Естественно определить для к.ч. z							x	iy
sin z	eiz		e iz		,	cosz	eiz		e iz	,
		2i						2
			sin z				cos z			(14.1)
tg z				,		ctg z			.
			cos z				sin z

Функции sin z и cos z определены во всей комплексной плос-

кости Z (z	) и принимают любые значения w (w	). Äëÿ
w tg z, w	ctg z имеем z /2 k , z k соответственно (k Z).

Для тригонометрических ФКП справедливы те же свойства и формулы, что и для аналогичных функций действительного переменного.

14.2.Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Пусть дана последовательность комплексных чисел {zn} {xn iyn}.

О: Число z0	x0 iy0 называется пределом zn при неограничен-
ном возрастании n (z0		lim zn ),	если для любого > 0 су-
		n
ществует номер N( ), что для n			N выполняется неравен-
ñòâî |zn	z0| < .

Т: Для того чтобы lim zn	z0,	необходимо и достаточно вы-
n
полнения lim xn x0,	lim yn	y0 n
n	n

Доказательство в [18. C. 66].

Пусть w f (z) — однозначная функция, определенная в D за исключением, быть может, z z0.

Î:	Число	a	называется пределом				f	z	z z (a	lim f (z)),
								( ) ïðè	0	z z0
	если для любого				> 0 существует				( ) > 0, ÷òî èç íåðà-
	венства 0 < |z			z0| <		следует неравенство | f (z) — a| < e.
Т: Для существования lim f (z)								a необходимо и достаточно,
					z	z0
	чтобы
			lim	u(x, y)		a1,		lim	v(x,y)	a2 ,
	(x, y) (x0, y0 )					(x, y) (x0, y0 )
	åñëè a		a1 ia2,		f (z)	u(x,y)		iv(x,y) n

Доказательство теоремы в [18. С. 77]. Она позволяет перенести основные теоремы о пределах функций действительного переменного на ФКП.

О: Функция w f (z) называется непрерывной в т. z0, если 1) f (z) определена в т. z0 и ее окрестности;

2) lim f (z) f (z0).

z z0

Из вышеприведенной теоремы следует, что последнее равен-

ство эквивалентно двум равенствам		lim	u(x, y) u(x0, y0 ),
		(x, y) (x0, y0 )
lim	v(x, y) v(x0, y0 ), т.е. непрерывность f (z) в т. z			0	ýêâè-
(x, y) (x0 , y0 )

валентна непрерывности ее действительной и мнимой частей u(x,y), v(x, y) в т. (x0, y0). Отсюда следует, что для f (z), g (z), как и для функций действительного переменного, сумма, разность, произведение, частное (при g (z0) 0) этих функций непрерывны в т. z0.

&$

14.3. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши — Римана

Понятие производной вводится для однозначной в D функции

wf (z).

О: Приращением функции w f (z) в т. z называется

			w f (z z) f (z).
Производной f			(z) функции w f (z) в т. z называется
f (z) lim	w	,	если предел существует и конечен при лю-
z 0	z

бом способе стремления z к 0. Функция, имеющая производную в т. z, называется дифференцируемой в этой точке.

Для дифференцирования многозначной функции необходимо выделить ее однозначную ветвь.

Как и для функции действительного переменного, дифференцируемая в т. z функция f (z) является непрерывной в т. z. Сохраняются основные правила дифференцирования, что следует из определения производной, правил алгебраических действий и справедливости теорем о пределах.

Т: Пусть u(x, y), v(x, y) дифференцируемы в т. z. Для того чтобы однозначная функция w f (z) u(x, y) iv(x, y) была дифференцируема в т. z x iy, необходимо и достаточно выполнения условий Коши–Римана:

u		v ,		u		v	n	(14.2)
x		y		y		x

Доказательство теоремы приведено в [18. C. 99].

Используя условия Коши–Римана (14.2), для f (z) имеем следующие формулы:

f (z)=

u

i

v

v

i

u

u

i

u

v

i

v

.

(14.3)

x

x

y

y

x

y

y

x

Однозначные основные элементарные ФКП и однозначные ветви многозначных ФКП дифференцируемы в своих областях

&%

определения. Производные f (z) вычисляются по тем же формулам, что и функции действительного переменного.

14.4. Понятие аналитической функции. Сопряженные гармонические функции

О: Однозначная функция w f (z) называется аналитической (регулярной, голоморфной) в т. z z0, если она дифференцируема в некоторой окрестности U (z0) точки z0. Функция w f (z) называется аналитической в области D, если она аналитическая в каждой точке D.

Однозначные	основные элементарные функции w ez, w	sinz,
w cosz, w zn (n	N), z 0 являются аналитическими в Z (z	).

Примером дифференцируемой, но не аналитической в точке

функции является w

2. Действительно,

z

u

iv

(x iy)2

x2

y2

2xyi,

u

2x,

v

2x,

u

2y,

v

2y,

y

x

x

y

т.е. условия Коши–Римана выполняются для w

2 только в

z

т. z 0. Таким образом, она в этой точке дифференцируема, но не аналитическая.

	Отметим, что аналитическая в D функция w					f (z) имеет в D
производные любого порядка [18. С. 125].
	О: Функция двух переменных u(x, y), (x, y)					D, называется
	гармонической в D, если имеет в D непрерывные частные
	производные до второго порядка включительно и удовлет-
	воряет
	уравнению Лапласа:	2u		2u	0 ( u	0) .
		x2		y2

Т: Действительная и мнимая части аналитической в D функции f (z) являются гармоническими функциями n

q Для аналитической функции выполняются условия Коши– Римана (14.2). Продифференцируем первое равенство условий

	2u		2v	;	2u		2v	.
по х, второе — по у:									Частные произ-
	x2		x y		y2		x y

&&

водные второго порядка существуют и непрерывны в силу существвания производных любого порядка для аналитической функ-

	2u		2u		2v		2v	0.
ции, поэтому									По определению u(x,y) —
	x2		y2		x y		x y

гармоническая функция. Аналогично доказывается гармоничность v(x,y) x

О: Две гармонические функции u(x, y), v(x, y) называются сопряженными гармоническими, если они связаны условиями Коши–Римана (14.2).

Т: Для всякой гармонической функции u(x, y), заданной в односвязной области D, существует единственная, с точностью до произвольной постоянной, сопряженная к ней функция v(x, y) такая, что f (z) u(x, y) iv(x, y) — аналитическая в D n

Åñëè z0 — точка аналитичности f (z), то по известной гармони- ческой функции u(x, y) можно найти f (z), пользуясь формулой

(z) 2u

z

f

z0

,

z - z0

u(x

, y )

iC,

2

2i

0

0

C — действительная постоянная.

Пример: u

y3

3x2y — гармоническая в Z. Найти f (z).

Пусть z0

(0,0). Тогда

f (z) 2

z 3

3

z

2

z

iC 2

z3

3z3

iC i(z3 C)

2i

2 2i

8i

8i

Литература: [2. C. 351–413]; [18. C. 62–127].

Глава 6

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Опорный конспект ¹ 15

15.1. Понятие первообразной и н.и.

т f (x) dx = F(x) + c — cовокупность первообразных, F¢¢(x) = f (x), c = const

15.2. Свойства н.и.

10. (ò f (x)dx)¢ = f (x) 20. òdF(x) = F(x) + c

30. ò(f1(x) ± f2(x)) dx = ò f1(x) dx ± ò f2(x) dx 40. òcf (x) dx = cò f(x)dx

50. ò f [j(t)] dj(t) = F(j(t)) + c

	Частный случай ò f (ax + b)dx =				1	F (ax + b) + c
					a
	15.3. Таблица интегралов
	1) ò xndx =	xn+1		+ c, n ¹ -1,
		n + 1

2) ò dxx = ln x + c,

3) ò sinx dx = -cosx + c, 4) ò cosx dx = sinx + c,

'