- •Часть II
- •8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •8.1 Функции двух независимых переменных
- •8.2 Частные производные
- •9.3 Полный дифференциал
- •8.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8.5 Экстремумы функций двух переменных
- •8.6 Условный экстремум
- •8.7 Наибольшее и наименьшее значения функции
- •8.8 Метод наименьших квадратов
- •8.9 Производная по направлению. Градиент
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля
- •9.1 Двойной интеграл
- •9.2 Перемена порядка интегрирования
- •9.3 Вычисление площадей и объемов
- •9.4 Криволинейный интеграл по длине дуги
- •9.5 Геометрические и механические приложения криволинейного интеграла по длине дуги
- •9.5 Криволинейный интеграл по координатам
- •9.6 Формула Грина-Остроградского
- •9.7 Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от формы дуги кривой
- •9.8 Геометрические и механические приложения криволинейных интегралов 2-го рода
- •Задачи для самостоятельного решения
- •10 Ряды. Гармонический анализ
- •10.1 Числовые ряды
- •10.2 Степенные ряды
- •10.3 Ряды Тейлора и Маклорена
- •10.4 Тригонометрические ряды Фурье
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11 Дифференциальные уравнения
- •11.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •11.2 Основные типы уравнений первого порядка
- •11.3 Понижение порядка уравнения
- •11.4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12 Операционное исчисление. Уравнения математической физики
- •12.1 Оригиналы и изображения
- •12.2 Теоремы операционного исчисления
- •12.3 Таблица изображений
- •12.4 Свёртка функций
- •12.5 Нахождение оригинала по изображению
- •12.6 Операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Методы решения уравнений математической физики
- •12.7 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13 Теория вероятностей
- •13.1 Классическое определение вероятности
- •Основные свойства вероятности
- •13.2 Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •13.3 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •13.4 Схема Бернулли
- •13.5 Функция и плотность распределения вероятностей
- •13.6 Свойства функции и плотности распределения вероятностей
- •13.7 Числовые характеристики случайных величин
- •13.8 Свойства математического ожидания и дисперсии
- •13.9 Основные законы распределения вероятностей случайных величин
- •13.10 Связь между случайными величинами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14 Математическая статистика
- •14.1 Эмпирическая функция распределения. Гистограмма
- •14.2 Точечные и интервальные оценки параметров
- •14.3 Статистические гипотезы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложение а. Таблица значений функции Лапласа ф0(х)
- •Приложение б. Основные математические обозначения
13.6 Свойства функции и плотности распределения вероятностей
1) Р(а Х < b) = F(a) – F(b) = . Вероятность попадания случайной величины Х в интервал [a; b) равна площади заштрихованной криволинейной трапеции (рис. 13.3).
2) Для непрерывной случайной величины Р(х = а) = Р(х = b) = 0, следовательно, Р(а Х < b) = Р(а < Х < b) = Р(а Х b).
3) .
4) .
5) неубывающая функция.
6) f(х) 0.
7) F(х) = .
8) = 1. Площадь S, заключенная между графиком плотности распределения f(х) и осью 0х, равна единице (рис. 13.2).
Рис. 13.3
Пример. Дискретная случайная величина задана законом распределения
xi |
–1 |
2 |
4 |
|
pi |
0,1 |
0,5 |
0,4 |
. |
Вычислить функцию распределения F(x) при х = 2,4.
.
Пример. Функция распределения случайной величины Х имеет вид:
|
при х < 0;
при х [0; 2];
при х > 2. |
Найти вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ([1; 1,5), и плотность распределения f(х).
Р(1 < х < 1,5) = F(1,5) – F(1) = .
|
при х < 0;
при х [0; 2];
при х > 2. |
13.7 Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание МХ – величина, около которой группируются возможные значения случайной величины (числовая характеристика положения); дисперсия DХ характеризует рассеивание (отклонение) случайной величины относительно её математического ожидания.
Для дискретной случайной величины математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам
МХ = , DХ = .
Для непрерывной случайной величины
МХ = , DХ = .
Размерность величины МХ совпадает с размерностью самой случайной величины Х, а размерность DХ равна квадрату размерности Х. Поэтому в качестве числовой характеристики рассеивания используется также среднеквадратичное отклонение .
Мода во множестве наблюдений, значение которое встречается наиболее часто. Иногда в совокупности встречается более чем одна мода. Например, мода равна 6 и 9, если зафиксированы значения 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10.
Мода дискретной случайной величины – любое её значение, имеющее вероятность, равную максимальной вероятности
Рис. 13.5
Модой М0 непрерывной случайной величины называется точка максимума ее плотности распределения. Медианой Ме непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, что вероятности попадания Х левее и правее медианы равны (рис 13.4), т.е.
P(X < Ме) = P(X Ме) = .
Рис. 13.4
Пример. Дискретная случайная величина задана законом распределения
xi |
–1 |
2 |
4 |
|
pi |
0,1 |
р2 |
р3 |
. |
Найти вероятности р2, р3, если математическое ожидание случайной величины равно 3,3.
Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Х, график функции распределения F(х) которой представлен на рисунке 13.4.
Рис. 13.6
F(х) = f(х) = F ¢(х) =
МХ = = = = = 1.