J
k – число партийУровень запаса
b b b b
t
0 4T Время
Т0
2Т
3Т
4Т
T1 T2 T1 T1 T1 T2 T2
Т1
Т2
T2
Рис. 4.
Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии теперь не равен её объёму n, а меньше его на величину дефицита n-s, накопившегося за время Т2 (см. рис. 4).
Из геометрических соображения легко установить, что
(17)
В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами С1 (на пополнение запаса) и С2 (на хранение запаса) необходимо ввести затраты С3 – на штраф из-за дефицита, т.е.
С=С1+С2+С3
Затраты С1, как и ранее находим по формуле (11). В разд. 2.2 было показано, что затраты С2 при линей ном расходе запаса равны затратам на хранение среднего запаса, который за время потребления Т1 равен sT1/2; поэтому с учётом (7) и (5) эти затраты составят
(18)
При расчёте затрат С3 будем считать, что штраф за дефицит составляет в единицу времени с3 на каждую единицу продукта. Так как средний уровень дефицита за период Т2 равен (n-s), то штраф за этот период Т2 составит , а за весь период с учётом (7) и (19) –
(19)
Теперь учитывая (12), (18) и (19) суммарные затраты равны
(20)
Нетрудно заметить, что при n=s формула (19) совпадает с ранее полученной (8) в модели без дефицита.
Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объёма партии и максимального уровня запаса , при которых функция С (19) принимает минимальное значение. Другими словами, необходимо исследовать функцию двух переменных С(n,s) на экстремум. Приравнивая частные производные к нулю, получим после преобразования систему уравнений:
(21)
Решая систему, получаем формулы наиболее экономичного объёма партии и максимального уровня запасадля модели с дефицитом1:
,(22)
.(23)
Величина
(24)
называется плотностью убытков из-за неудовлетворительного спроса и играет важную роль в управлении запасами. Заметим, что 0 1. Если значение с3 мало по сравнению с с2, то величина близка к нулю: когда с3 значительно превосходит с2, то близка к 1. Недопустимость дефицита равносильна предположению, что с3 или = 1.
Используя (24) основные формулы (22) и (23) можно записать компактнее:
, (25)
(26)
Следует учесть, что в силу (17) и (26) и . Поэтому утверждение о том, что плотность убытков из-за неудовлетворительного спроса равна , означает, что в течение (1–)100% времени от полного периода Т запас продукта будет отсутствовать.
Из сравнения (25) и (10) следует, что оптимальные объёмы партий для задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением:
(27)
откуда вытекает, что оптимальный объём партии в задаче с дефицитом всегда больше (в1/ ), чем для задач без дефицита.
Задача 4. Найти наиболее экономичный объём партии и интервал между поставками, сохраняя условия задачи 2, кроме недопустимости дефицита, если известно, что отсутствие на сборке каждой детали приносит в сутки убытки в размере 3,5 ден. ед.
Решение. По условию с3=3,5. Ранее при решении задачи 2 было получено по формуле (9) =4335 и по (15) Т0=13,2. Найдём плотность убытков из-за неудовлетворённого спроса по формуле (24): =3,5/(0,35+3,5)=0,909, т.е. 100(1– 0,909)=9,1% времени между поставками детали на сборке будут отсутствовать.
Теперь оптимальный размер партии по формуле (27) . В силу (15) пропорционально увеличениюдолжен увеличиться интервал между поставками, т.е.
.