4.2.4. Стохастические модели управления запасами

Рассмотрим стохастическую модель управления запасами, у которых спрос является случайным. Этот факт существенным образом сказывается на характере соответствующих моделей и значительно усложняет их анализ, в связи с чем, рассмотрим наиболее простые модели.

Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения (r) или плотность вероятностей (r) (обычно функции (r) и (r) оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса s, то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат с₂ на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит с₃ на единицу продукции.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают её среднее значение или математическое ожидание.

В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения(r) математическое ожидание суммарных затрат (учитываем только расходы на неиспользованные единицы продукта) имеет вид:

(28)

В выражении (16.28) первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка s–rединиц продукта (приrs), а второе слагаемое – штраф за дефицит наr–sединиц продукта (приr>s).

В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью вероятностей (r), выражение С(s) принимает вид:

(29)

Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (28) или (29) принимает минимальное значение.

Доказано математически, что при дискретном случайном спросе rвыражение (28) минимально при запасеs₀, удовлетворяющем неравенствам:

(30)

а при непрерывном случайном спросе rвыражение (29) минимально при значенииs₀, определяемом из уравнения

(31)

где

(32)

есть функция распределения спроса r,F(s₀) иF(s₀+1) – её значения;– плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по (24).

Оптимальный запас при непрерывном спросе по данному значению может быть найден и графически (рис. 5).

F(s)

1

ρ

0 S0

Рис.5

S

Задача 5. Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость одного блока равна 5 ден. ед. В случае выхода агрегата из строя из-за поломки блока, отсутствующего в запасе, простой агрегата и срочный заказ нового блока к нему обойдётся в 100 ден. ед. Опытное распределение агрегатов по числу блоков, потребовавших замену таково: в прошлом году поступило 100 агрегатов. У девяноста из них вообще замена блоков не потребовалась , у пяти агрегатов из 100 поступивших потребовалась в течение 1 года замена 1 блока, у двух агрегатов замена 2 блоков, у одного агрегата заменили в течение года 3 блока, у одного агрегата – 4 блока, и ещё у одного агрегата заменили в процессе работы 5 блоков. Больше чем 5 блоков не заменяли ни у одного из поступивших агрегатов. Представим опытное распределение агрегатов по числу заменённых блоков в табл. 1.

Таблица 1

Число заменённых блоков r	0	1	2	3	4	5	6
Статистическая вероятность (доля) агрегатов р(r), которым потребовалась заменаrблоков			0,02	0,01	0,01	0,01	0,00

Необходимо определить оптимальное число запасных блоков, которое следует приобрести вместе с каждым агрегатом.

Решение. По условию задачи 5 с₂ = 5 ден. ед., с₃ = 100 ден. ед. Вычислим плотность убытков из-за нехватки запасных блоков по формуле (24)=100/(5+100)=0,952.

Учитывая (32), найдём значения функции распределения спроса F(s) и запишем найденные значения в табл. 2. В таблице 2 пусть запас блоковsсоставит 0 блоков, тогда по выражению (32) вероятность того, что спросrменьше запаса блоковs=0, будетp(rs)=F(0)=0 (т.е. вероятность равна нулю). Пусть запас блоковs=1, тогда вероятность того, что спросrменьше запаса блоковs=1, равна вероятности 0,9, т.е. вероятности того, что спрос примет значениеr=0. Пусть запас блоковs=2, тогда вероятность того, что спросrбудет меньше запаса блоковs=2 равен вероятности 0,95, при которой спрос принимает значение либоr=0, либоr=1, т.е.p(rs) =F(s)=0,9+0,05=0,95 и т.д.

Таблица 2

S	r	p(rs)=F(s)
0	0	0
1	1	0,9 (из табл.1)
2	2	из табл.1 (0,9+0,05=0,95)
3	3	0,9+0,05+0,02=0,97
4	4	0,98
5	5	0,99
6	6	1,0
> 6	> 6	1,0

Очевидно (см. табл. 2), что оптимальный запас составит s₀=2 блока, т.к. он удовлетворяет неравенству (30): F(2)=0,950,952F(3)=0,97.

Задача 6. Решить задачу 5 при условии непрерывного случайного спроса r, распределённого по показательному закону с функцией распределения при =0,98.

Решение. Оптимальное число запасных блоков s₀ найдём из уравнения (31) ():откуда и .

При  = 0,98 (блока).

1 С помощью достаточного условия экстремума можно убедиться в том, что действительно при n = n₀, s = s₀ функция С(n,s) достигает минимума.