8 Вычислить определенный интеграл

А)

Решение

Выделим полный квадрат в знаменателе

x^2+3x+2=(x+3/2)^2-1/4

сделаем подстановку x+3/2=t dt=dx

Б)

Решение

сделаем замену t=cosx dt=-sinxdx

В)

Решение

9 Исследовать сходимость рядов

А)

Решение

Все члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, общий член ряда стремится к нулю => ряд сходится по признаку Лейбница

б)решение

признак Даламбера то сходится

В) Решение

Члены данного ряда являются значениями ф-ии ln(1+1/x)-положительная, напрерывная, неубывающая на Вычислим

=>ряд расходится

10 Исследовать ряды на сходимость

А)

Решение

След ряд сходися на интервале (-2,2)

При х=2 получаем гармонический ряд

При х=-2 ряд сх по признаку Лейбница

Б)

Решение

Ряд сх на интервале (-4,4)

-------------------------------------------------------------------------------------

11 разложить в ряд Фурье ф-ию f(x)=|x| на промежутке (-1,1)

Решение

Т.к. ф-ия четная то

b_n=0

Тогда

Б.3 В.12 Разложить в тригонометрический ряд ф-ию f(x)= в [0,2].

Продолжим ф-ию четным образом на симметричный отрезок.

.

13 разложить в ряд Фурье ф-ию f(x)=sin(x/2) в [-] и построить график суммы полученного ряда

Решение

Т.к. фкция нечетная то a_n=0

Т.о. ряд Фурье данной ф-ии

График

14 Вычислить криволинейный интеграл

где

Решение

Имеем

x^2=cos t y^2=sin t

По формуле

Получаем

15 вычислить криволинейный интеграл

от точки (0,0) до точки (1,2)

по кривым

а)y=2x б)y=2x^2 в)y=2

решение

по формуле

А)

Б)

В)

16. Решить систему

17. Решить систему методом Эйлера

Составим характеристическое уравнение

. Пусть тогда

. Следовательно ,

. Пусть , тогда

. Следовательно ,

Ответ:

18. Проинтегрировать систему уравнений матричным методом

Данная система равносильна матричному уравнению

, где ,.

Приведем матрицу А к каноническому виду; составим характеристическое уравнение

,

Т.к. корни разные то

Найдем матрицу S:

Т.к. (справа). Пусть, тогда

при

Следовательно,

Интегрируя уравнение , где. Согласно формуле

получаем

Найдем по формуле

Ответ: .

19. Построить функцию Грина для следующей краевой задачи

А)

Условию удовлетворяет нормаль

удовлетворяет

Ф-цию Гр ищем в виде

Ответ

19. Построить функцию Грина для следующей краевой задачи

Б)

Ответ:

20. Привести к каноническому виду уравнение.

А)

1)

- гипер-ий тип

2) найдем уравнение характеристик

3)

4)

=> =>

Тогда

20. Привести к каноническому виду уравнение

Б)

1)

(т.к. по усл.)- эллиптич. Тип

2) найдём уравнение характеристик

3)

Ответ:

20. Привести к каноническому виду уравнение

В) .

1)

- эллиптич. тип

2) найдём уравнение характеристик

Ответ: -канонический вид

21. . Решить методом характеристик уравнение

А)

-гипербалич. тип

;

Пусть

; ;

;

Следовательно

22 найти общее решене

А)

Частное решение ищем

Б)

Общее и частное решение находится так же как в а)

а=-2,b=-3

23. В круге решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона

Решение:

В круге единичного радиуса, тогда

- частное решение, удовлетв ур-ю Пуассона.

Искомое решение будет иметь вид:

- оно записано в полярных координатах. Где является решением уравнения Лапласа:

Рассмотрим в полярных координатах:

Подставляем в и получим

Так как по условию r=1, то

По принципу максимума ,

тогда =

и решение задачи имеет вид

24. Решить задачу Дирихле для единичного круга, если на его границе задана функция:

А) , Б).

Решение:

А) ***теория***Рассмотри уравнение Лапласа в полярных координатахили то же самоес граничными условиями. Решение этого уравнения имеем в виде

. Подставив вего в уравнение Лапласа в полярных координатх, получи: ю Разделим переменные

Перенесем лямда и приведем к общему знаменателю, тогда решение можно будет искать отдельно по двум уравнениям

1) и его решение есть

2) , его решение ищем в виде, что дает

, тогда

.

Итак, решение задачи Дирихле имеет вид:

***

Для нашей задачи , то есть

Следовательно решение примет вид

Б) .

Аналогично с первым решаем второе

****;****