- •1 Вычислить пределы
- •8 Вычислить определенный интеграл
- •9 Исследовать сходимость рядов
- •10 Исследовать ряды на сходимость
- •14 Вычислить криволинейный интеграл
- •25. Решить задачу Коши
- •26. Решить первую краевую задачу для уравнения теплопроводности:
- •28.Найти изолированные особые точки аналитической функции и выяснить их характер:
- •29. Найти вычеты функции
- •30. Решить интегральное уравнение
- •30. Решить интегральное уравнение
- •31. Методом малого параметра найти три члена разложения (по степеням малого параметра µ) решения уравнения
25. Решить задачу Коши
Решение: преобразуем это уравнение к каноническому виду:
Уравнение характеристик
Распадается на 2 уравнения
интегралами которых являются прямые
Вводя новые переменные
Уравнение колебаний струны преобразуем к виду
Где - функция только переменного. Интегрируя (2) попри фиксированном, получим
26. Решить первую краевую задачу для уравнения теплопроводности:
Решение:
Решение будем искать в виде
(4), где Х(х)- функция только первого х, T(t)- функция только t.
Подставляя (4) в (1) и производя деление обеих частей равенства на XT, получим
, где , так как левая часть равенства зависит только отt , а правая- только от х.
Отсюда следует, что
Граничные условия (3) дают
Таким образом для определения функции мы получи задачу о собственных значениях (задача Штурма-Ляувиля)
Только для значений параметра , равныхсуществуют нетривиальные решения уравнения (5), равные
Этим значениям соответствуют решения уравнения (6)
где - неопределенные пока коэффициенты.
Таким образом функции является частными уравнениями (1), удовлетворяющими нулевым граничным условием.
Требуя выполнения начальных условий, получаем
То есть С_п являются коэффициентами Фурье функции при разложении её в ряд по синусам на интервале (0,1)
Таким образом искомое решение
27 разложить в ряд Лорана ф-ию 1/((z-2)(z-3)) в кольце 2<|z|3
Решение
Особые точки являются полюсами z=2, z=3
Разложим на простые дроби
28.Найти изолированные особые точки аналитической функции и выяснить их характер:
А) , Б), В).
Решение:
А)
Особые точки
Очевидно, все точки изолированные и являются полюсами, так как
Б)
Запишем разложение в окрестностях особых точек.
Разложим дробь на элемент дроби
z=0: Первая дробь представляет собой слагаемое требуемого вида
- это разложение содержит только главную часть, состоящую из одного числа; это разложение имеет место в области . Для второй дроби точкаz=0 не является особой, то получаем ряд Тейлора в круге :
. Таким образом разложение содержит конечное число отриц степенейz (т=1) следовательно точка z=0- полюс первого порядка.
Аналогично
z=1:
- это разложение справедливо во всей плоскости с выколотой точкой , то есть в области. От первого слагаемого получим
Таким образом
Как видим разложение содержит конечное число отриц степеней (1-z), следовательно точка z=1- полюс функции f(z), так как т=1, то полюс простой.
В)
Особая точка z=0
Разложение f(z) в ряд Лорана по степеням z :
Разложение не содержит отриц степеней z, следовательно точка z=0 является устранимой точкой.
29. Найти вычеты функции
А) , Б), В).
****теория****
1) В случае когда z=a- устранимая точка
2) Если z=a – полюс функции f порядка р , то
(1)
В частности при р=1 (1) примет вид: (2)
3) Пусть функция f в окружности простого полюса z=a имеет вид: (3, где - аналитические в точкеz=a ф-ции, причем Имеем
(4)
4) Теорема Пусть , тогда сумма вычетов функцииf во всех ее конечных особых точках и вычета на бесконечности равна:
(5)
Решение: А)
Особыми точками данной функции являются . Данные точки являются простыми полюсами, поэтому применим формулу
Б)
Особыми точками данной функции является .
Точка является полюсом первого порядка функцииf, поэтому для вычисления вычета в этой точке применим формулу , получим
Аналогично
Согласно формуле имеем
Следовательно
В) В точках данная функция имеет простые полюсы. Воспользуемся функцией, в которой.
Тогда
.
Бесконечно удаленная точка является предельной для особых точек.