то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

по поверхности жидкости будут распространяться круговые импульсы. При

этом отдельные частицы жидкости движутся не только в вертикальном направлении (они описывают примерно круговые траектории), и распространяющийся импульс не является, строго говоря, поперечным. Но

если отвлечься от движения отдельных частиц жидкости и рассматривать только движение поверхности жидкости, то мы получим картину распространения поперечного импульса. При распространении этого импульса сила тяжести играет такую же роль, какую играют упругие силы,

возникающие при распространении поперечного импульса в упругом твердом теле.

Если импульсы в какой-либо точке повторяются периодически, то на поверхности жидкости распространяются круговые волны. Все точки, находящиеся на одной и той же окружности, колеблются в одинаковой фазе. Расстояние между двумя окружностями, в которых фаза колебаний отличается на 2π (например, между двумя горбами), представляет собой длину волны. Как

ипрежде, λ = vT , где v – скорость распространения волны, а T – период, с которым повторяются импульсы.

Эту картину возникновения круговых волн можно продемонстрировать в ванне, наполненной водой (для демонстрации дно ванны обычно делают из стекла и проецируют картину на экран). Если к вибратору, приводимому в движение электромагнитом (питаемым переменным током), прикрепить шарик

ирасположить его у поверхности жидкости, то от шарика по поверхности жидкости будут распространяться круговые волны (рис. 7). Амплитуда этих волн будет постепенно убывать с расстоянием (как это и должно быть для круговой волны).

На поверхности жидкости можно получить и плоские волны, если в качестве источника волн вместо шарика взять колеблющуюся палочку. В этомслучае точки, находящиеся на одной и той же прямой, параллельной источнику, колеблются в одной и той же фазе; горбы воли располагаются

параллельно палочке Амплитуда колебаний почти не убывает с расстоянием, как это и должно быть для плоской волны. (Небольшое уменьшение амплитуды обусловлено затуханием волн.)

Скорость распространения волн по поверхности жидкости, как и в случае упругих волн, зависит от величины сил, возникающих при отклонении от положения равновесия. Но сила тяжести, которая в рассматриваемом случае играет роль восстанавливающей силы, зависит от смещений частиц не так, как упругие силы, возникающие в случае упругих волн. Поэтому оказывается, что

скорость распространения волн по поверхности жидкости зависит от длины волны (от частоты колебаний источника волн), т. е. наблюдается дисперсия волн. Скорость распространения увеличивается с увеличением длины волны.

Однако это справедливо только в случае, когда слой жидкости, на поверхности которого возникают волны, достаточно глубок – не менее нескольких длин волн. Для тонких слоев жидкости скорость распространения волн зависит уже только от глубины слоя (она уменьшается с уменьшением

201

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

глубины слоя) и не зависит от длины волны, т. е. дисперсия отсутствует.

Поэтому наблюдать дисперсию волн на поверхности можно только в достаточно глубоких сосудах. Явление дисперсии можно наблюдать при возникновении короткого цуга волн на поверхности жидкости (например, при падении камня в воду). В таком цуге содержатся волны разной длины,

ихорошо видно, как более длинные волны опережают короткие, остающиеся позади.

Из этого обстоятельства вытекает важное следствие. В случае дисперсии короткий цуг волн, или отдельный импульс, не сохраняет своей формы при распространении. Дисперсия приводит к тому, что короткий цуг волн, или импульс, расплывается. Поэтому самое понятие скорости импульса становится не вполне определенным. Его заменяют понятием групповой скорости, которая представляет собой скорость движения «центра тяжести» цуга волн.

Так же как быстро движущееся тело (пуля) возбуждает ударную волну в окружающем газе, тело, быстро движущееся по поверхности жидкости, возбуждает волны на поверхности жидкости. “Быстро” и в том

ив другом случае означает, что скорость тела должна быть больше скорости распространения импульса в среде. Поскольку волны по

поверхности жидкости распространяются с сравнительно небольшой скоростью (порядка нескольких метров в секунду), то при достаточно бы- стром движении судно поднимает такую «носовую» волну на поверхности воды. Аналогично ударной волне в воздухе, волна эта, расходящаяся от носа судна, имеет форму клина, тем более острого, чем быстрее движется судно. На создание этих волн тратится часть работы сил, движущих судно (возникает волновое сопротивление). Для уменьшения этого сопротивления судам придают специальную форму и очертания (острый нос). Эта же цель достигается в глиссерах тем, что судно не разрезает поверхность воды, а почти скользит по ней.

Вслучае очень коротких волн, когда радиус кривизны поверхности достаточно мал, кроме силы тяжести начинают играть заметную роль и силы поверхностного натяжения. Они становятся преобладающими для волн достаточно малой длины, например в случае воды для волн короче 1 см. В

этом случае роль восстанавливающей силы практически играют только силы поверхностного натяжения. Поэтому короткие волны на поверхности жидкости называют капиллярными волнами. Скорость распространения капиллярных волн существенно зависит от свойств жидкости (плотности и величины поверхностного натяжения). Она зависит также и от длины волны, т. е. для капиллярных волн имеет место дисперсия. Однако характер этой зависимости иной, чем в случае волн, обусловленных силой тяжести:

скорость распространения капиллярных волн увеличивается с уменьшением длины волны.

Интерференция волн.

202

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 8

В результате сложения двух бегущих волн одинаковой частоты, распространяющихся в противоположные стороны, возникают, как мы видели, стоячие волны. В сплошной среде при сложении волн, распространяющихся в различных направлениях, также возникают аналогичные явления. Однако в сплошной среде вся картина может быть гораздо более сложной, так как складываться могут волны, распространяющиеся не только в двух противоположных направлениях, но и под углом друг к другу. Явления, возникающие при

сложении волн одинаковой частоты, носят общее название интерференции волн.

Рассмотренная нами картина возникновения стоячих волн в стержне представляет собой простейший случай интерференции. К такой же картине приводит и сложение двух плоских волн, распространяющихся в сплошной среде в противоположных направлениях. Если, например, плоская волна падает нормально на отражающую стенку, то в результате сложения падающей и отраженной волн получается система стоячих волн, узлы и пучности которых лежат на плоскостях, параллельных отражающей стенке.

Расстояние между двумя плоскостями узлов или двумя плоскостями пучностей по-прежнему равно половине длины волны. На отражающей стенке образуется пучность или узел в зависимости от условий отражения.

Картину образования стоячих волн можно продемонстрировать при помощи волн на поверхности воды. Пользуясь палочкой, прикрепленной к вибратору, можно получить плоские волны. Поместив на пути распространения волн плоскую стенку (свинцовый экран), можно получить стоячие волны во всем пространстве между вибратором и экраном. В остальной части пространства будут распространяться бегущие волны.

Иная интерференционная картина получается в тех случаях, когда две плоские волны распространяются не в противоположные стороны, а под углом друг к другу. Например, при частичном отражении плоской волны от экрана, поставленного под углом к направлению движения волны (рис. 8), перед экраном получаются стоячие волны с пучностями и узлами, расположенными на пересечении фронтов падающей и отраженной волн.

Рассмотрим теперь картину интерференции в однородной среде двух круговых волн, распространяющихся от двух различных источников. Пусть два источника O1 и O2 (рис. 9) создают

круговые волны одинаковой частоты и одинаковой фазы. Вследствие того, что обе волны проходят от источников, вообще говоря, различные расстояния, они будут приходить в одну и ту же точку, например точку а, с

разными фазами, причем сдвиг фаз будет равен 2π λd , где

d = d1 − d2 – разность хода, т. е. в рассматриваемом случае (когда волны везде распространяются с одинаковой

Рис. 9

203

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

скоростью) просто разность расстояний от данной точки до обоих источников. В точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от обоих источников, обе

волны будут приходить в одинаковой фазе и поэтому будут складываться и усиливать друг друга. Амплитуда результирующей волны во всех этих точках будет наибольшая. То же самое будет получаться во всех точках, в которых фаза обеих волн отличается на 2π , 4π и т. д. Следовательно, во всякой точке, расстояние от которой до обоих источников отличается на целое число длин волн, амплитуда результирующей волны будет наибольшая. Геометрическим местом точек, разность расстояний от которых до обоих источников есть величина постоянная, являются гиперболы, фокусы которых совпадают с источниками (рис. 10). Точки, в которых амплитуда результирующей волны достигает максимума, лежат на таких гиперболах (на рис. 10 изображены жирными линиями).

	С другой стороны, в
	точках, к которым обе волны
	придут со сдвигом фаз в
	нечетное число π , т. е. в
	противоположных			фазах,	обе
	волны ослабляют друг друга и
	амплитуда	результирующей
	волны будет		минимальной.
	Это будет иметь место в
	точках,	для		которых
	расстояние		от	обоих
	источников	отличается			на
	нечетное	число		полуволн.
	Следовательно,			точки,	в
	которых			амплитуда
	результирующей волны падает
Рис. 10	до минимума, также лежат на
	гиперболах,		расположенных

между гиперболами максимумов (на рис. 10 изображены тонкими линиями). В результате получится интерференционная картина, содержащая ряд максимумов и минимумов, чередующихся между собой. Эта картина может

быть получена на поверхности воды в результате интерференции двух круговых волн, возбуждаемых двумя шариками, укрепленными на одном вибраторе

(рис. 11).

Если в точки, в которых фазы обеих волн противоположны, обе волны приходят примерно с одинаковой амплитудой, то результирующая амплитуда практически равна нулю. Но амплитуда круговой волны убывает с расстоянием; поэтому в случае равных амплитуд волн у источников минимумы амплитуд будут спадать до нуля только при том условии, что разность расстояний до источников мала по сравнению со всем расстоянием. Во всех областях, где это условие не соблюдается, минимумы уже не спадают до нуля. Вместе с тем и максимумы будут тем менее заметны, чем больше

204

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 11

отличаются по амплитуде обе волны, пришедшие в данную точку. Поэтому

отчетливая интерференционная картина будет наблюдаться только вблизи прямой, проходящей посередине между источниками. При удалении от этой прямой интерференционная картина становится все менее и менее резкой. Отчетливо видны только средний максимум и несколько соседних с ним мак- симумов и минимумов.

Рассмотренная нами картина будет наблюдаться, если оба источника

создают волны одинаковой частоты и с постоянным сдвигом фаз у источников. Для упрощения мы считали этот сдвиг равным нулю, но это несущественно, важно лишь, чтобы он был постоянным. Только при этом

условии каждой точке пространства соответствует вполне определенный и постоянный сдвиг фаз между обеими пришедшими волнами. Если сдвиг фаз между источниками не будет оставаться постоянным, то с изменением сдвига фаз будет изменяться и вся картина. Когда сдвиг фаз между волнами в каждой точке проходит через все значения от 0 до π , положения максимумов и минимумов смещаются в пространстве настолько, что максимумы и минимумы будут меняться местами. Если к тому же сдвиг фаз изменяется быстро, то вся картина размывается и даже кратковременно интерференционную картину наблюдать не удастся.

Таким образом, от двух источников можно

наблюдать неподвижную интерференционную картину только при условии, что сдвиг фаз между ними длительно остается постоянным. Для этого, как мы убедились, не только частоты волн, излучаемых обоими источниками, должны совпадать, но не

должно происходить никаких изменений в разности фаз волн, приходящих в каждую точку от обоих источников. Источники, удовлетворяющие

этим условиям, называются когерентными. Обеспечить когерентность двух источников можно различными способами. Наиболее простым способом является получение двух волн от одного и того же источника.

Все рассмотренные ранее случаи интерференции падающих и отраженных волн относились к этому случаю: когерентность обеспе- чивалась тем, что падающая и отраженная волны происходят от одного источника. Для того чтобы получить интерференцию волн, исходящих от двух различных источников, должны быть приняты специальные меры, обеспечивающие когерентность этих источников; например, для обеспечения когерентности двух источников, дающих картину интерференции, изображенную на рис. 11, оба шарика, служащие источниками круговых волн, укреплены на одном вибраторе.

Картина интерференции от двух точечных источников изменяется при изменении расстояния между источниками O1 и O2 (рис. 10). Так

как для любых двух соседних максимумов или минимумов разность хода от двух источников должна различаться на λ , то расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами), отсчитанное вдоль

205

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 12

прямой O1O2 , должно быть равно λ2 . Значит, по мере уменьшения O1O2 число максимумов (и минимумов) в интерференционной картине уменьшается. Когда O1O2 станет меньше λ , но больше λ2 , вся

интерференционная картина будет содержать только один максимум – прямую, на которой разность хода равна нулю (так как нигде в пространстве сдвиг фаз не может быть равен 2π × k , где целое число k ¹ 0 ), и два минимума, расположенных на гиперболах. Наконец, когда

расстояние O1O2 станет меньше λ2 , исчезнут и эти два минимума (так как

нигде в пространстве сдвиг фаз между волнами не может достичь π ). При дальнейшем уменьшении O1O2 амплитуды результирующей волны все

меньше и меньше будут изменяться от точки к точке при изменении направления в котором лежит эта точка (в любую точку пространства волны от источников O1 и O2 будут приходить почти в одинаковых фазах), т. е. картина

будет все больше и больше приближаться к той, которую дает один точечный источник.

Принцип Гюйгенса.

Рассмотрим теперь картину, которую дает длинный ряд когерентных точечных источников, расположенных на одной прямой достаточно близко друг к другу. Каждый из источников дает круговые волны, и все эти волны интерферируют между собой. В результате получится картина, характер которой можно установить при помощи следующих соображений.

В образовании интерференционной картины в каждой точке существенную роль играют только источники, лежащие на таких расстояниях до рассматриваемой точки,

которые не очень сильно отличаются друг от друга. Поэтому, пока мы будем рассматривать точки, лежащие на прямой, параллельной той, на которой расположены источники, и не слишком близкие к крайним источникам, то для них результат интерференции должен быть один и тот же (так как они одинаково расположены по отношению к источникам, участвующим в образовании интерференционной картины). Следовательно, амплитуда и фаза волны во всех точках, расположенных на прямой, параллельной источникам, должны быть одни и те же. Поэтому в результате интерференции мы получим в средней части такую же картину, как и в случае плоской волны. Только

вблизи источников появятся интерференционные максимумы и минимумы (рис. 12). Вдали от источников полученная картина будет примерно такой же, какую дает плоский вибратор.

206

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 14

Рис. 13

Всегда можно заменить любой источник волн системой когерентных точечных источников,

которые в результате интерференции вдали дадут ту же картину, что и данный источник. Эта

возможность замены любого источника системой точечных источников, интерферирующих между собой, подсказывает идею важного принципа,

применяемого при рассмотрении вопросов распространения волн. Всякую волну мы можем в любом месте «остановить» и заменить ее системой

воображаемых точечных источников (элементарных источников). Дальнейшее рас-

пространение волны можно рассматривать как результат интерференции волн, создаваемых этими элементарными точечными источниками. При этом амплитуда и фаза волн, создаваемых всеми элементарными источниками, определяются амплитудой и фазой приходящей волны в той точке, в которой расположен данный источник. Этот принцип, так называемый принцип Гюйгенса – Френеля, широко применяется для рассмотрения вопросов распространения волн.

Применяя принцип Гюйгенса – Френеля, нужно учитывать интер- ференцию волн, создаваемых всеми элементарными источниками. Эта сложная задача весьма упрощается в тех случаях, когда падающая волна ничем не ограничена, т. е. когда не приходится рассматривать «краев» падающей волны. Тогда можно пользоваться теми же рассуждениями,

которыми мы пользовались при нахождении интерференционной картины от ряда близко расположенных точечных источников. Амплитуда волны в точках а и b (рис. 13), расположенных одинаково по отношению ко всем элементарным источникам, будет одинакова, и никаких интерференционных максимумов и минимумов наблюдаться не будет. Фазы же результирующей волны в точках а и b сдвинуты по отношению к

фазам ближайших к ним элементарных источников А и В на одинаковую величину. Это видно из того, что точки а и b расположены совершенно

одинаково относительно ближайших к ним элементарных источников А и В.

Отсюда вытекает способ нахождения поверхности равной фазы результирующей волны. Нужно найти точки, в которых ближайшие к

ним элементарные источники создают элементарные волны одинаковой фазы. Эти точки лежат на волновой поверхности результирующей волны. Такое построение для случая круговой волны приведено на рис. 14. A1, A2 ,... – элементарные точечные источники на поверхности приходящей волны. Эти источники, колеблющиеся в одинаковой фазе (так как фаза приходящей волны во всех точках A1, A2 ,... одна и та же), создают элементарные круговые волны, которые изображены на рисунке дугами. При одинаковых расстояниях A1a1 , A2 a2 ,... фаза всех этих элементарных

207

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 16

Рис. 15

волн

в

точках

a1 , a2 ,...

в

каждый

момент будет одна и та же. Поэтому и фаза результирующей волны в точках a1 , a2 ,... будет одна и та же. Следовательно, поверхность, касающаяся всех поверхностей элементарных волн в точках a1 , a2 ,..., и представляет собой волновую поверхность результирующей волны.

Мы получили совершенно очевидный результат, что круговая волна и дальше распространяется в виде круговой. Но этот пример поясняет применение принципа Гюйгенса – Френеля для случаев, когда не приходится принимать во внимание «края» волны. Как видно, способ построения результирующей волны сводится тогда к следующему: расположив элементарные источники на поверхности приходящей волны, нужно построить элементарные волны, соответствующие одной и той же фазе.

Огибающая этих элементарных волн одинаковой фазы и будет представлять собой волновую поверхность результирующей волны. В таком именно

виде этот принцип и был впервые сформулирован Гюйгенсом. Позднее

Френель указал на необходимость принимать во внимание интерференцию элементарных волн. Но если падающие

волны ничем не ограничены, то картина интерференции не дает ничего нового по сравнению с принципом Гюйгенса в его первой формулировке. Только «края» волны дают новые явления, не охватываемые принципом Гюйгенса. На этих явлениях мы коротко остановимся ниже.

Применим принцип Гюйгенса к задаче о преломлении волн. Положим, что плоская волна

падает под некоторым углом на границу двух сред, в которых скорости распространения волн v1 и v2 различны (рис. 15); v1 относится к нижней среде, v2 – к верхней, и v1 > v2 . По принципу

Гюйгенса заменим волну, приходящую на границу раздела из первой среды, элементарными источниками, амплитуды которых одинаковы. Но падающая волна, для которой поверхности равной

фазы параллельны плоскости АВ, приходит в разной фазе в различные точки на границе раздела. Поэтому и элементарные источники на поверхности раздела должны иметь различную фазу – они должны быть сдвинуты по фазе друг относительно друга так же, как сдвинута фаза приходящей волны в разных точках. Элементарные волны, создаваемые во второй среде этими источниками, будут иметь одинаковую фазу на различном расстоянии от источников. Если мы изобразим элементарные

волны, соответствующие одной и той же фазе, то радиусы	их	будут
различны. Поверхность результирующей волны во второй	среде	есть
		208

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

огибающая всех элементарных волн, соответствующих одной и той же фазе, т. е. плоскость А'В'.

Так как скорость распространения волн в обеих средах различна, то d′ ¹ d и А'В' не будет параллельна АВ, произойдет преломление волн.

Отношение				d ′			равно отношению скоростей распространения волн в двух
					d
		′
средах:	d		=		v2		. Отсюда может быть получен закон преломления волн. Он
	d				v
				1

аналогичен закону преломления света.

Картину преломления волн можно показать на волнах, распространяющихся по поверхности жидкости, воспользовавшись тем, что

скорость распространения этих волн в мелких сосудах зависит от глубины сосуда и уменьшается с уменьшением глубины. Если на дно ванны, в которой вибратор возбуждает плоские волны, положить толстое стекло, уменьшив тем глубину слоя воды, то у границы стекла будет происходить преломление волн. Придав стеклу форму линзы, можно наблюдать действие на волны «собирательной линзы» (рис. 16). Поскольку законы преломления волн здесь такие же, как и в оптике, то и результаты получаются аналогичными.

	Дифракция волн.
	Если распространяющаяся волна встречает на пути
	какие-либо препятствия или неоднородности конечных
	размеров, то возникают явления, которые носят общее
	название дифракции. С точки зрения принципа
	Гюйгенса – Френеля явления дифракции представляют
	собой результат влияния «краев» волн, которые мы до
	сих пор не принимали во внимание. При конечных
Рис. 17	размерах препятствий и неоднородностей вместо
	бесконечных волновых поверхностей приходится рассмат-

ривать «куски» волновых поверхностей; применение принципа Гюйгенса – Фре-

неля к этому случаю легко позволяет качественно объяснить дифракционные явления.

Рассмотрим, например, картину распространения плоской волны, на

пути которой находится плоский экран с отверстием небольшого размера (рис. 17). По принципу Гюйгенса – Френеля мы должны волну, пришедшую к отверстию, заменить элементарными точечными источниками, колеблющимися в одинаковой фазе. Если отверстие мало по сравнению с длиной волны, то все эти источники находятся на расстоянии, малом по сравнению с длиной волны. Они, как и в случае двух близких точечных источников, не дадут интерференционной картины, и дадут примерно такой же результат, как один точечный источник, помещенный в отверстии. За отверстием образуется круговая волна (рис. 17). При увеличении размеров отверстия картина будет приближаться к той, которую дают вдали много источников, расположенных

209

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

близко друг от друга на одной прямой. Отверстие, размеры которого велики по сравнению с длиной волны, пропускает плоскую волну, почти не изменяя ее характера. (Только по краям вырезанного участка плоской волны будет наблюдаться искривление фронта волны.)

Таким же образом можно рассмотреть и обратную картину – прохождение волны мимо экрана конечных размеров. В этом случае

элементарные источники нужно поместить на всей поверхности плоской волны, кроме точек, закрытых экраном. По обе стороны от экрана пройдут «куски» плоских волн. На «краях» этих волн, так же как и в случае широкой щели, будут наблюдаться искривления фронта волны. Поэтому волны будут отчасти проникать в область, закрытую экраном. Пока размеры экрана велики, волны все же не проникнут в среднюю часть области, закрытой экра- ном. При уменьшении размеров экрана проникающие за него волны захватывают все большую и большую часть области, закрытой экраном. Когда размеры экрана становятся малыми по сравнению с длиной волны, волны захватывают всю область, закрытую экраном, как будто экран вообще отсутствует. Экран, малый по сравнению с длиной волны, вообще не является для этих волн экраном. Поэтому, например, мол, который должен служить экраном для морских волн, приходится делать больших размеров. При малых

размерах мола морские волны свободно проникали бы в огражденное молом пространство.

При рассмотрении вопросов распространения волн очень удобным и наглядным является представление о луче. Лучом называют линию, касательная

к которой в каждой точке совпадает с направлением распространения волны в этой точке. Так, в случае распространения плоской волны в однородной среде лучами являются прямые, нормальные к фронту волны. При преломлении волн на границе двух сред направление лучей изменяется. В неоднородной среде, свойства которой в разных местах различны, фронт волны может постепенно поворачиваться по мере распространения, и тогда лучи будут представлять собой некоторые кривые. Только для плоской волны в

однородной среде направление лучей в разных участках волны будет одно и то же; в других случаях оно для разных участков волны, вообще говоря, различно.

Вырезая мысленно из поверхности волны отдельные куски и рас- сматривая луч, соответствующий данному «куску волны» (т. е. направление, в котором этот «кусок волны» распространяется), мы можем получить представление о распространении волн. Однако только такие «куски волн», которые можно считать «кусками плоских волн», распространяются как целое в одном направлении. Например, отдельные части «куска шаровой волны» распространяются в различных направлениях, и до тех пор, пока размеры «куска шаровой волны» сравнимы с ее радиусом кривизны, распространение этого куска шаровой волны нельзя описать одним лучом. Следовательно, только в случае таких «кусков волн», которые мы вправе рассматривать как плоские (т. е. таких площадок, для которых амплитуда и фаза волны во

210

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com