то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

означает, что f ′(0)< 0 . Если f ′(0)= 0, то надо обратиться к третьему члену,

пропорциональному x3 . Он должен быть равным нулю, если точка x = 0 является точкой устойчивого равновесия. Это следует из того обстоятельства, что этот член имеет один и тот же знак как при положи- тельных, так и отрицательных значениях х. Поэтому сила, представляемая им, при отклонении точки в одну сторону от положения равновесия стремится ее возвратить обратно, но при отклонении в другую сторону, наоборот, стремится ее удалить от этого положения. Следовательно, если бы этот член не был равен нулю, точка x = 0 не могла бы быть точкой устой- чивого равновесия. Поэтому этот член должен быть равным нулю, т. е.

f ′′(0)= 0

Таким образом, следующим не равным нулю членом может быть

x3 f ′′′(0). При анализе малых отклонений в случае f ′(0)= 0 его необходимо

3!

использовать в качестве выражения для силы. Хотя он несколько сложнее члена xf ′(0), но все же достаточно прост в сравнении с исходной

функцией f(x). В этом случае колебания значительно усложняются, они становятся нелинейными. Основные особенности этих колебаний мы рассмотрим позднее.

Обычно в реальных физических системах отличным от нуля бывает член xf ′(0), а уравнение движения для малых отклонений х от положения равновесия имеет следующий вид:

	d 2 x	′
m		= xf (0)= −Dx	(2)
	dt 2
где учтено, что f (0)< 0 и обозначено D = − f			(0)> 0 .
		′	′

Такого рода уравнение получается при рассмотрении многих физических явлений. В данном примере х является расстоянием от положения равновесия. Однако в качестве х мог бы быть, например, заряд конденсатора, включенного в цепь с индуктивностью. Если физические факторы таковы, что стремятся восстановить нулевое значение заряда на конденсаторе, то уравнение для малых отклонений заряда от нуля имеет вид (2).

Уравнение вида (2) называется уравнением гармонических колебаний, а система, осуществляющая эти малые колебания, называется линейным, или гармоническим, осциллятором. Хорошо известным примером такой системы может служить тело на упругой пружине (рис. 1в ) . По закону Гука, при растяжении или сжатии пружины возникает противодействующая сила, пропорциональная растяжению или сжатию, т. е. выражение для силы со стороны пружины имеет вид F = −Dx , и мы приходим к уравнению линейного осциллятора. Таким образом, тело, колеблющееся на пружине, является моделью линейного осциллятора.

Если в разложении для силы наряду с членом, пропорциональным первой степени отклонения, сохранить также и член, пропорциональный х2 или х3, приводящий к нелинейности колебаний, то получающаяся при этом

131

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

колебательная система называется ангармоническим осциллятором. Ее основные особенности будут рассмотрены ниже.

Другим примером линейного осциллятора являются физический и математический маятники при достаточно малых углах отклонения. В

качестве модели линейного осциллятора можно взять либо грузик на пружине (рис. 1в), либо маятник.

Тот факт, что большинство физических систем при малых отклонениях ведут себя как линейные осцилляторы, обусловливает чрезвычайно большую важность изучения его движения для всех областей физики.

Уравнение гармонических колебаний.

Уравнение (2) движения линейного осциллятора удобно представить в таком виде:

	x + ω	2	x = 0		(3)
	&&
	где ω 2 =			D	> 0. Производные по времени обозначаются точками.
				m

Гармонические функции.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что частными решениями уравнения (3) являются sin ωt и cosωt . Это уравнение является линейным. Сумма решений линейного уравнения и произведение какого-либо решения на произвольную постоянную величину также составляет решение. Поэтому общее решение уравнения (3) имеет вид:

x(t)= A1 sin ωt + A2 cosωt	(4)
где A1 и A2 – постоянные.	Функция такого вида называется
гармонической.

Амплитуда, частота, фаза.

Выражение (4) целесообразно преобразовать к другому виду:

æ

A1

A2

ö

A sin ωt + A cosωt =

A2

+ A2 ç

sin ωt +

cosωt ÷

=

(5)

1

2

1

2 ç

2

2

2

2

÷

è

A1

+ A2

A1

+ A2

ø

= A(cosϕ sin ωt + sin ϕ cosωt)= Asin(ωt + ϕ)

Где положено

cosϕ =

A1

, sin ϕ =

A2

, и введено обозначение

A2

+ A2

A2

+ A2

1

2

1

2

132

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

A = A12 + A22 . Таким образом, уравнение гармонических колебаний (4) может

быть представлено в виде

x = Asin(ωt + ϕ) или x = B cos(ωt + ϕ)		(6)
График этой функции с обозначение входящих в (6) величин показан
на рис. 2.	Величина А называется амплитудой, ω – частотой гармонического
колебания,	а величина, стоящая в аргументе синуса (или косинуса),	(ωt + ϕ) –

фазой колебания. Значение фазы ϕ при t = 0 называют начальной фазой

	или просто фазой. Как			видно из		(6), значение х	повторяется через
	промежутки времени T =			2π	. Такая функция называется периодической, а
		2π		ω
	T =		– ее периодом.	Поэтому		гармонические	колебания являются
		ω

периодическими. Однако, конечно, не всякая периодическая функция является гармонической. Гармонической она будет лишь тогда, когда ее можно представить в виде (6) с определенными частотой, фазой и амплитудой.

Представление гармонических колебаний в комплексной форме.

При изучении гармонических колебаний приходится их складывать, разлагать на составляющие, решать более сложные, чем (3), уравнения и т. д. Все это значительно упрощается, если воспользоваться теорией

комплексных чисел и представлением гармонических колебаний в комплексной форме.

В декартовой системе координат действительная часть комплексного числа откладывается по оси абсцисс, а мнимая – по оси ординат (рис. 3).

Далее используем		формулу Эйлера:
eiα =cosα +i sin α , где i2 = -1.								(7)
которая	дает		возможность				выразить любое комплексное	число
z = x + iy в экспоненциальной форме (рис. 3):
z = ρ × eiα ,	ρ =			, tgα =	y			(8)
		x2	+ y 2
					x
								α –
Величина	ρ		называется				модулем комплексного числа,

аргументом.

Каждое комплексное число г может быть представлено на комплексной плоскости в виде вектора, проведенного из начала координат в точку с коор- динатами (x, y). Складываются комплексные числа по правилу параллело-

133

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

грамма. Поэтому для сокращения можно говорить о комплексных числах как о векторах, если речь идет об их сложении.

Умножение комплексных чисел лучше производить в комплексном

виде:

z = z z			= ρ ρ ei(α1+α2 )
	1	2	1		2		(9)
z = ρ		eiα1 , z		2	= ρ		eiα2
1	1					2

Таким образом, при перемножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.

Вместо действительной формы записи гармонических колебаний

(6) можно воспользоваться комплексной формой:

~	= Ae	i(ωt +ϕ )	(10)
x

Величина х в (10) является комплексной и не может давать реального физического отклонения, которое характеризуется вещественной величиной х вида (6). Однако мнимая часть этой

величины может рассматриваться как действительное гармоническое колебание (6), выражаемое синусом. С другой стороны,

действительная часть		(10), равная Acos(ωt + ϕ), также представляет
собой	вещественное	гармоническое	колебание.	Поэтому

гармоническое колебание можно записать в форме (10) и производить необходимые расчеты и рассуждения.

В окончательном результате для перехода к физическим величинам необходимо взять действительную или мнимую часть полученного выражения. Как это делается, будет видно на многих примерах в последующем.

Рис. 4 Рис. 5

График гармонического колебания в комплексной форме (10) изображен на рис. 4. Значение различных величин, входящих в формулу (10), видно непосредственно на рисунке: A – амплитуда, ϕ –

начальная фаза, (ωt + ϕ) – фаза колебания. Комплексный вектор A вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с угловой частотой ω = 2Tπ ,

где Т – период колебаний. Проекции вращающегося вектора A на

134

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

горизонтальную и вертикальную оси являются действительными физическими колебаниями, которые нас интересуют.

Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты.

Пусть даны два гармонических колебания с одинаковой частотой, но с различными начальными фазами и амплитудами:

	x1	= A1	cos(ωt + ϕ1 )		(11)
	x2	= A2 cos(ωt + ϕ		2 )

Требуется найти суммарное колебание x = x1 + x2 . Гармонические

колебания (11), будучи представленными в виде (10), составляют ее действительную часть. Поэтому искомый результат сложения колебаний (11) является действительной частью комплексного числа:

~ ~ ~

= A1e

i(ωt +ϕ1 )

+ A2 e

i(ωt+ϕ2 )

= e

iωt

(A1e

iϕ1

+ A2 e

iϕ2

)

(12)

x = x1 + x2

Сложение двух величин в скобках легко производится в векторной форме (рис. 5). На рис. 5 непосредственно видно, что

A1eiϕ1 + A2 eiϕ2 = Aeiϕ

A2 = A12 + A22 + 2A1 A2 cos(ϕ2 −ϕ1 )

tgϕ = A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2

Следовательно, вместо (12) получим:

~	~	~	= Ae	i(ωt +ϕ )	,
x	= x1	+ x2

где A и ϕ определяются формулами (13а) и (136).

что сумма гармонических колебаний (11) дается формулой:

x = x1 + x2 = Acos(ωt + ϕ)

(13)

(13а)

(13б)

(14)

Отсюда следует,

где величины A и ϕ имеют то же значение, что и в (14).

Свойства суммы гармонических колебаний можно выяснить непосред- ственно по рис. 5. Ясно, что вся картина, изображенная на рисунке, благодаря наличию общего множителя eiωt в (12) вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с угловой скоростью ω . Амплитуда колебания достигает максимального значения при ϕ2 = ϕ1 , и равна A1 + A2 .

Минимальное значение амплитуды получается при ϕ2 − ϕ1 = ±π . В этом случае комплексные векторы, представляющие слагаемые колебания, направлены противоположно и поэтому минимальная амплитуда равна A2 − A1 . Поведение

фазы ϕ также наглядно прослеживается на векторной диаграмме рис. 5. Таким образом, суммой гармонических колебаний с одинаковой частотой является гармоническое колебание с той же частотой, амплитудой и фазой, определяемыми формулами (13а) и (136).

Сложение гармонических колебаний с близкими частотами. Биения. Обозначим частоты слагаемых колебаний через ω1 и ω2 и будем

считать, что ω1 ≈ ω2 , ω1 − ω2 << ω1 ≈ ω2 . Уравнения колебаний имеют вид:

135

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

	x1	= A1	cos(ω1t + ϕ1 )	(15)
	x2	= A2 cos(ω2t + ϕ2 )

Каждое из колебаний (15) представляем в комплексной форме (10), а сложение будем проводить по правилу сложения векторов, откладывая начало второго вектора от конца первого.

Пусть для определенности A1 > A2 . Тогда сумма векторов ~x1 и ~x2 в

некоторый момент времени может быть представлена так, как изображено на рис. 6. С течением времени эта картина будет изменяться следующим образом: вектор ~x1 вращается вокруг начала координат с угловой частотой ω1 , а вектор ~x2 – относительно положения вектора ~x1 вокруг его конца с частотой ω2 − ω1 . Если ω2 > ω1 , то его вращение вокруг конца вектора ~x1 будет происходить в том же направлении, что и вращение вектора ~x1 вокруг начала координат, как это изображено на рис. 6.

Сложение гармонических колебаний с почти равными частотами в комплексном виде

Рис. 6

Рис. 7

Биения при сложении колебаний с близкими

При ω2 < ω1 относительное вращение ~x2 изменяется на обратное. Изменение этой картины со временем состоит в следующем: поскольку

ω1 − ω2 << ω1 ≈ ω2 ≈ ω , то вся картина быстро вращается вокруг начала коор- динат, причем за один оборот взаимное расположение векторов ~x1 и ~x2 ме-

няется совершенно незначительно. Поэтому в течение большого числа перио- дов это есть гармоническое колебание с частотой со и амплитудой, равной

амплитуде	~		~		Однако, хотя и медленно, относительная ориентировка
	x1 + x2 .
векторов x1		и x2 меняется. Поэтому амплитуда колебания медленно меняется
~			~
с частотой		ω2	− ω1		от A1 + A2 до		A1 − A2		. В итоге получаем, что суммой двух

гармонических колебаний с близкими частотами является колебание с из- меняющейся амплитудой. Оно лишь приблизительно гармоническое с часто-

той ω1 ≈ ω2 ≈ ω ,	а его амплитуда изменяется с частотой						ω2 − ω1		от максималь-
ного значения	A1 + A2 до минимального		A1 − A2		. Вещественные составляю-

щие этого колебания имеют вид, изображенный на рис. 7. Колебания амплитуды с частотой Ω = ω2 − ω1 называются биениями, а частота Ω –

частотой биений. Биения возникают при сложении двух гармонических ко- лебаний с близкими частотами. Если амплитуды слагаемых колебаний при-

136

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

мерно равны A1 ≈ A2 , то в минимуме амплитуда суммарного колебания поч- ти равна нулю, т. е. это колебание почти полностью прекращается.

Собственные колебания.

Определение.

Собственными называются колебания системы под действием лишь внутренних сил без внешних воздействий. Рассмотренные в предыдущем

параграфе гармонические колебания являются собственными колебаниями линейного осциллятора. В принципе собственные колебания могут быть и негармоническими. Но при достаточно малых отклонениях от положения равновесия в очень многих практически важных случаях они, как это было разобрано выше, сводятся к гармоническим.

Начальные условия.

Гармоническое колебание полностью характеризуется частотой, амплитудой и начальной фазой. Частота зависит от физических свойств системы. Например, в случае линейного осциллятора в виде материальной точки, колеблющейся под действием упругих сил пружины, свойства упругости пружины учитываются коэффициентом упругости D, а свойства

точки – ее массой т; ω 2 = mD

Для определения амплитуды и начальной фазы колебаний надо знать положение и скорость материальной точки в некоторый момент времени.

Если уравнение колебания выражается в виде

x = Acos(ωt + ϕ),	(16)
а координата	и скорость в момент t = 0 равны соответственно xo и

vo , то на – основании (16) можно написать:

xo = Acosϕ ;	&	dx			= −Aω sin ϕ .	(17)
	xo = vo = dt			t =0

Из этих двух уравнений вычисляют неизвестные амплитуды и начальная фаза:

A =	2	+	vo2	, tgϕ = −	vo	(18)
	xo
			ω 2		ωxo

Таким образом, зная начальные условия, можно полностью найти гармоническое колебание.

Энергия.

Представление о потенциальной энергии имеет смысл только тогда, когда силы потенциальны. В одномерных движениях между двумя точками существует только единственный путь. Следовательно, автоматически

обеспечиваются условия потенциальности силы и всякую силу можно

137

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

рассматривать как потенциальную, если она зависит только от координат. Последняя оговорка весьма существенна. Например, сила трения не является потенциальной силой также и в одномерном случае. Это обусловлено тем, что эта сила (ее направление) зависит от скорости (направления скорости). В случае линейного осциллятора удобно считать, что потенциальная энергия точки равна нулю в положении равновесия (в начале координат). Тогда, учитывая, что F = −Dx , и принимая во внимание формулу, связывающую потенциальную энергию Eп и силу, сразу находим

для потенциальной энергии линейного осциллятора следующее выражение:

	Eп =			Dx2		=			mω 2 x2			,	(19)
			2
										2
а закон сохранения имеет вид
& 2					mω		2	x		2
	mx		+								= const		(20)
2
						2

Конечно, этот закон можно получить непосредственно из уравнения движения (3).

Из закона сохранения энергии (20) можно сделать два важных заключения.

1. Максимальная кинетическая энергия осциллятора равна его макси- мальной потенциальной энергии. Это очевидно, поскольку максимальную

потенциальную энергию осциллятор имеет при смещении колеблющейся точки в крайнее положение, когда ее скорость (а следовательно, и кинети- ческая энергия) равна нулю. Максимальной кинетической энергией осцил- лятор обладает в момент прохода точки равновесного положения (x = 0),

когда потенциальная энергия равна нулю. Поэтому, обозначая максималь- ную скорость через V, можем написать

	1	mV 2	=	1	mω 2	A2	(21)
	2			2

2. Средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней потенциальной энергии.

Прежде всего, надо определить, что такое средняя величина. Если некоторая рассматриваемая величина f зависит от времени, т. е. является функцией времени, то среднее значение этой величины в промежутке времени между моментами t1 и t2 дается формулой

				1	t
f t	=				ò2	f (t)dt			(22)
			t2	− t1
					t
					1
						Если	представить		на графике (рис. 8), то
						среднее значение		f t	соответствует высоте
						прямоугольника, площадь которого равна площади
		Рис. 8				между кривой f(t) и осью t на интервале между t1 и
t2 .						Напомним,	что площадь		под осью t считается

отрицательной.

138

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Поскольку закон движения для линейного осциллятора описывается формулой

x(t)= Acos(ωt + ϕ)

(23)

его скорость равна

x = -Aω sin(ωt + ϕ)

(24)

&

выражения для кинетической и потенциальной энергий имеют

следующий вид:

mω

& 2

2

A

2

Ek

(t)=

mx

=

sin 2 (ωt + ϕ)

2

2

(25)

Eп

(t)=

Dx2

=

mω 2 A2

cos2 (ωt + ϕ)

2

2

В качестве промежутка времени, на котором определяется среднее, берется период одного колебания. Вычисление средних значений Ek и Eп

сводится к нахождению средних значений от cos2 (ωt + ϕ) и sin 2 (ωt + ϕ). элементарно:

2

(ωt + ϕ) t

1

T

2

(ωt + ϕ)dt =

1

T

1 + cos 2(ωt + ϕ)

1 æ

1

sin 2(ωt

cos

=

òcos

ò

dt =

çt +

T

T

2

2ω

0

0

2T è

Оно

+ ϕ)ö T

÷

ø 0

Таким образом:

cos2 (ωt + ϕ)	=		1			(26)
		2
t
Аналогично можно получить:
sin 2 (ωt + ϕ)	=	1				(27)
		2
t

Формулы (26) и (27) являются очень важными, и их следует хорошо помнить. С учётом этих формул из (25) следует:

Eп t = Eк t

(28)

т. е. средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней потенциальной энергии. У знака среднего в (28) подставлен индекс t, чтобы подчеркнуть, что речь идет о среднем по времени.

Когда говорится о среднем значении величины, всегда должно быть ясно, об усреднении по какой переменной идет речь, потому что при усреднении по некоторой другой переменной, вообще говоря, получается совсем другой результат. Однако в большинстве случаев ясно, по какой переменной производится усреднение, и никакого индекса у знака усреднения не ставится.

Соотношение между смещением, скоростью и ускорением.

Отклонение и скорость даются формулами (23) и			(24), а ускорение
равно:		cos(ωt + ϕ)	(29)
x = -Aω	2
&&

139

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Изобразим их графики на одном и том же чертеже (рис. 9). По оси ординат откладываются величины различных размерностей. Поэтому выбором

масштаба амплитуды соответствующих колебаний всегда можно сделать равными, как это и изображено на рис. 9. Отклонение, скорость и ускорение представляются совершенно одинаковыми кривыми, но

Рис. 9 сдвинутыми друг относительно друга в направлении оси ωt . Непосредственно видно, что кривая скорости вмещена относительно

кривой отклонения на величину D(ωt)= π2 влево, а кривая ускорения

точно на такую же величину сдвинута относительно кривой скорости. Следовательно, в гармоническом колебании скорость опережает по

фазе на π2 смещение, а ускорение опережает по фазе на π2 скорость. Таким

образом, ускорение опережает смещение по фазе на π . Конечно, можно

сказать, например, что смещение отстаёт от скорости по фазе на π и т. д.

2

Если разложении

Нелинейные колебания.

членом

xf (0)

(1)

для

силы наряду с линейным

′

′′

существен

также

и следующий член,

например

f (0)

x2 ,

то вместо (2)

2!

необходимо рассмотреть следующее уравнение движения:

d 2 x

¢

x2

¢¢

(30)

m dt 2

2 f

= xf (0)+

(0)

При обсуждении разложения силы в ряд (1) было отмечено, что если

система колеблется около устойчивого равновесия x = 0 , то при f (0)

0 обя-

зательно должно быть, чтобы и

f (0)

′

=

0 . В противном случае точка

′′

=

x = 0

не

может быть

точкой устойчивого равновесия. Очевидно,

если

f (0)

0 ,

то

должно быть

f (0)

0

и, кроме того,

производная

f

(0) не

′

¹

′

<

′′

обязана быть равной нулю и может иметь любой знак. Именно этот случай и рассматривается в (30). Кроме того, предполагается, что величина f ′′(0)

очень малая и поэтому последний член справа в (30) является малым в сравнении с другими членами. Разделим уравнение (30) на т и перепишем

его следующим образом:											(31а)
x + ωo		x = εωo			x
&&	2	2				2
где аналогично (3) приняты обозначения
ωo2	= -		f ′(0)	, ε =			f ′′(0)	= -	f ′′(0)		(31б)
							2		¢
			m				2mωo
									2 f (0)

Величина ε является параметром малости члена, пропорционального квадрату смещения. Как это непосредственно видно в (31а), она имеет раз- мерность, обратную длине, и поэтому может быть представлена в виде

140

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com