то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

ε = L1 , где L – большая длина. Теперь можно более ясно определить смысл малости величины ε : если смещения х достаточно малы и удовлет-

	воряют соотношению x << L =	1	, то член в правой части (31а) можно
		ε

рассматривать как малый. В данном случае этот член называется возму- щением, а метод, с помощью которого находится приближенное решение уравнения, – методом, или теорией возмущений. Рассмотрим на примере уравнения (31а) сущность этой теории и основные особенности нелинейных колебаний.

При ε = 0 , т. е. когда возмущение отсутствует, система совершает гармо- нические колебания. Пусть в этом случае гармоническое колебание имеет

вид

xo (t)= Ao sin ωo t

(32)

Это колебание называется невозмущенным движением. Для рассмотрения правой части (31а) в качестве возмущения необходимо, чтобы амплитуда Ao не была слишком большой. Она должна удовлетворять

условию	εAo <<1.		В противном случае нельзя		применять	теорию
возмущений. Решение при наличии возмущения,					т. е. при ε ¹ 0 ,		можно
представить в виде							(33)
x = Ao sin ωot + x1 (t)
где	x1 (t)	–	поправка к невозмущенному	движению. При			ε ® 0
величина	x1 (t)	также должна стремиться к нулю.		Поэтому x1 (t)		является

малой величиной в сравнении с отклонениями при невозмущенном движении, т. е. имеет место соотношение x1 (t) << Ao . Подставляя выражение (33) для х в

уравнение (31а), получаем уравнение для x1 (t):

x1	+ ωo x1	= εωo	(Ao	sin		ωo t + 2Ao x1	sin ωo t + x1 )	(34)
&&	2	2	2		2		2

Второе и третье слагаемые в скобках в правой части много меньше первого слагаемого в силу неравенства x1 (t) << Ao . Поэтому ими

можно пренебречь в сравнении с первым слагаемым и записать уравнение (34) в виде

&&

2

εωo2

2

x1

+ ωo

x1 =

Ao (1 − cos 2ωot),

(35)

2

1

где использована формула

sin 2 ωo t =

(1 − cos 2ωo t).

Решение этого

уравнения будем искать в форме

2

(36)

x1

= a1

+ b1 cos 2ωo t

где a1

и b1 – постоянные. Подставляя (36) в (35), находим

ωo2 a1 + b1 (− 4ωo2

+ ωo2 )cos 2ωot =

εωo2

Ao2 −

εωo2

Ao2

cos 2ωot

(37)

2

2

Поскольку это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, коэффициенты при cos 2ωo t в правой и левой

141

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

частях его должны быть равны друг другу. Из этого условия получаем:

	b1	(− 4ωo2 + ωo2 )= −		εωo2	Ao2	(38)
				2
			εA2
	b1	=				(39)
			6
			o

При этом значении b1 члены, зависящие от времени, в (37)

сокращаются. Оставшиеся члены дадут уравнение, из которого найдем, что

	a1 =	εA2					(40)
		2
		o
	Следовательно, решение (33) с учетом первой поправки может
	быть записано в виде
			εA2		εA2		(41)
	x = Ao sin ωo t +		o	+	o	cos 2ωo t
			2		6

Наиболее существенной особенностью этого решения является присутствие члена с cos 2ωo t . Он показывает, что вследствие наличия в силе

нелинейного члена, пропорционального х2, в колебаниях появился член с удвоенной частотой 2ωo , называемый второй гармоникой. При отсутствии

нелинейного члена в колебаниях имеется лишь член с основной частотой ωo . Если продолжить решение уравнения (31) и найти следующие более

малые поправки, то можно убедиться, что они содержат более высокие частоты nωo , кратные основной, иначе говоря, содержат высшие гармоники.

Поэтому можно сказать, что наиболее характерным следствием наличия

нелинейности в силе является возникновение высших гармоник в колебаниях.

Далее из (41) видно, что оба составляющих колебания с частотами ωo

εA2

и 2ωo происходят не около точки x = 0 , а около точки x = 2o , т. е. наличие

нелинейного члена, пропорционального x2 сдвигает точку равновесия, около которой происходят колебания. Этот результат вполне понятен, если учесть, что сила, пропорциональная x2 , направлена все время в одну и ту же сторону и, следовательно, неизбежно должна сдвинуть точку, около которой совершаются колебания.

Тем же путем можно рассмотреть случай, когда в разложении (1) для силы отсутствует член с х2 (т. е. когда f ′′(0)= 0 ) и необходимо учесть член, пропорциональный х3. В этом случае вместо (30) имеем следующее уравнение:

	d 2 x					x3
m		= xf ′(0)+					f ′′′(0)	(42)
	dt 2					3!
которое может быть представлено в аналогичном (31)								виде:
x + ωo		x =ηωo	x		,			(43а)
&&	2	2		3

где

142

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

ωo2 = −	f ′(0)	, η =	f ′′′(0)	= −	f ′′′(0)		(43б)
			2		′
	m		6mωo
					6 f (0)

Параметром малости является величина η . При η → 0 решение (43а) должно стремиться к гармоническому колебанию с частотой ωo . Решение этого

уравнения методом теории возмущений производится абсолютно так же, как это было сделано выше. Наряду с основной частотой ωo в первом при-

ближении появится высшая гармоника, но не с удвоенной частотой, а с утроенной. Это является следствием тригонометрической формулы

	sin 3 ωo t =	1	(3sin o t − sin 3ωo t)	(44)
		4

Сила, пропорциональная x3 при равных по модулю положительных и отрицательных значениях х имеет одну и ту же абсолютную величину, но противоположное направление. Это означает, что эта сила является либо силой притяжения к точке x = 0 , либо силой отталкивания от нее, действующей совершенно симметрично относительно этой точки. Поэтому никакого сдвига точки, около которой совершаются колебания, не происходит, как это было в предыдущем случае. Колебания с частотами ωo и 3ωo совершаются около точки x = 0 .

Общее условие гармоничности колебаний.

В большинстве случаев малые отклонения от положения равновесия приводят к гармоническим колебаниям. Но это не значит, что гармоническими колебаниями могут быть только малые колебания. Колебание, описываемое уравнением вида (3), является гармоническим независимо от малости х. Уравнение (3) получается из закона сохранения энергии (20) после диф-

	ференцирования по времени с учетом того, что	d(x2 )		&
		dt
				= 2xx . Поэтому можно

сказать, что если полная сохраняющаяся энергия системы выражается в

виде квадратичной функции от некоторой переменной и ее производной по времени, то собственными колебаниями этой системы являются гармонические колебания.

В качестве примера рассмотрим замкнутый контур с емкостью и индук- тивностью. Если заряд на емкости обозначить Q, то ток в цепи будет Q.

Энергия электрического и магнитного полей пропорциональна квадратам их напряженности, а последние пропорциональны зарядам Q и токам Q. Сле- довательно, полная энергия системы равна

	&	2	+ βQ		2	(45)
E = αQ
где α			и	β	– постоянные, определяемые конфигурацией контура (его
емкостями		и		индуктивностями). Принимая во внимание, что E = const ,
получаем уравнение для Q:						(46)
&&2	+ βQ = 0
αQ
						143

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Таким образом, собственные колебания тока в контуре являются гармоническими с частотой ω = αβ , причем их гармоничность не связана с

их малостью, а обусловлена тем, что полная энергия в контуре является квадратичной функцией зарядов и токов.

Вычисление периода колебаний.

В одномерном случае любая сила, зависящая только от координат,

является потенциальной и закон сохранения энергии имеет вид

&		2
	mx		+ Eп	(x)= E	(47)
2
Считая,				что пропорциональная энергия	Eп (x) минимальна в начале

координат и возрастает в обе стороны от минимума, заключаем, что область движения определяется условием остановки частицы (x& = 0), т. е. соответствующие координаты x1 и x2 являются решениями уравнения Eп (x)= E . Время, затрачиваемое частицей для движения от одной точки

поворота

x1

до другой x2 , составляет

половину периода ее колебаний.

Поэтому

для

периода колебаний Т из

(47) с учетом того, что

&

dx

x = dt ,

получаем формулу:

x2

dx

(48)

T = 2ò

2

(E - Eп

(x))

x1

m

Она всегда позволяет найти период колебаний. Однако при использовании численных методов на ЭВМ следует иметь в виду, что на

границах области интегрирования подынтегральное выражение обращается в бесконечность и надо соблюдать осторожность в выборе точек разбиения интервала интегрирования.

Если потенциальная энергия имеет вид (19), то

xo

xo

m

dx

m

æ

x

ö

ò

T = 2

= 2

ç

÷

çarccos

÷

D

2

2

− xo

xo

- x

D è

xo ø

− xo

	= 2π		m		(49)
			D

что совпадает с периодом гармонических колебаний, имеющих частоту ωo = mD , как этого и следовало ожидать. Видно, что период

колебаний не зависит от энергии частицы. Это обусловлено тем, что потенциальная энергия растет с расстоянием как х2. При других видах потенциальной энергии период колебаний зависит от энергии.

144

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Пусть потенциальная энергия равна Eп (x)= α 2x n . Границы области дви-

жения даются уравнением E =

αxon

, и для периода колебаний вместо (49)

2

получаем

xo

dx

1−

n

1

dξ

m

m

(50)

T = 2

ò

= 4

xo 2 ò

a

xon −

x

n

1 − ξ

n

a − xo

0

Поскольку E =

αxon

, отсюда следует, что:

1

1

2

T ~ E

−

(51)

n

2

т. е. в заданном поле период колебаний, вообще говоря, различен для частиц различных энергий. Он не зависит от энергии лишь для n = 2 , т. е. для квадратичной зависимости потенциальной энергии от расстояния, когда колебания являются гармоническими. Колебания, период которых не зависит от энергии, называются изохронными. Как показано, изохронные колебания возникают, в частности, при квадратичной зависимости потенциальной энергии от расстояния. Изохронные колебания возможны и при других формах кривых потенциальной энергии. Они могут быть построены по кривой с квадратичной зависимостью путем ее деформации вдоль оси X таким образом, чтобы расстояние между точками кривой, соответствующими каждой из энергий, не изменялись. Единственным ограничением на эту деформацию является требование сохранения однозначности Eп (x), т. е.

прямая линия, перпендикулярная оси X, должна пересекать кривую Eп (x) только в одной точке.

Затухающие и вынужденные колебания.

Затухающие колебания.

Трение.

Собственные колебания линейного осциллятора происходят в отсут- ствие внешних сил. Энергия его колебаний сохраняется, а следовательно, и амплитуда колебаний не изменяется. Собственные колебания являются неза- тухающими.

При наличии трения, являющегося внешней силой, энергия колебаний линейного осциллятора уменьшается, а, следовательно, уменьшается и амп- литуда колебаний. Колебания при наличии трения становятся затухаю- щими. Нетрудно видеть, что и частота колебаний должна изменяться. Сила трения действует против скорости. Следовательно, для линейного осциллято- ра ее действие эквивалентно уменьшению возвращающейся силы, т. е. упру-

145

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

гости пружины (уменьшение величины D). Поскольку ω 2 = mD , это означает,

что частота колебаний должна уменьшаться, а период – увеличиваться.

При увеличении трения период колебания может увеличиться до сколь угодно большого значения. При достаточно большом трении вообще ника- кого колебания происходить не будет, потому что вся энергия осциллятора расходуется на преодоление сил трения на очень коротком пути, составляющем лишь часть колебания.

Уравнение движения.

Рассмотрим силу жидкого трения. В правую часть уравнения движения надо добавить силу жидкого трения, и оно приобретает следующий вид:

mx	= −Dx − βx ,	(1)
&&	&

где β – коэффициент трения. Это уравнение удобно переписать таким образом:

x + 2γx + ωo x = 0 ,			(2)
&&	&	2

где γ = 2βm , ωo2 = mD .

Частота и декремент затухания. Решение уравнения (2) удобно искать в виде

x = Aoe

iαt

(3)

~

Учитывая, что

d

(eiαt )= iαeiαt ,

d 2

(eiαt )= -α 2eiαt ,

(4)

dt

dt 2

и подставляя (3) и (2), находим

Ao eiαt (- α 2

+ 2iγα + ωo2 )= 0

(5)

Сомножитель eiαt не равен нулю. Следовательно,

равным нулю

должен быть другой сомножитель:

(6)

- α 2

+ 2iγα + ωo2 = 0

Это квадратичное уравнение относительно α . Его решения

выражаются известной формулой:

α = iγ ±

ωo2 - γ 2

= iγ ± W

(7)

W =

ωo2 - γ 2

Подставляя эти значения для α в (3), находим искомое решение:

x = Aoe

−γt

×e

iΩt

(8а)

~

(8б)

x¢ = Aoe

−γt

× e

−iΩt

~

Наличие двух решений отражает тот факт, что уравнение (2) является уравнением второго порядка и, следовательно, должно иметь два независимых решения, которые получаются при различных знаках Ω .

146

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

При не очень больших коэффициентах трения

	γ =	β	< ωo2	(9)
		2m

В этом случае ωo2 − γ 2 и, следовательно, Ω является вещественной вели-

чиной. Поэтому eiΩt – гармоническая функция. Вещественная часть колебания, описываемого равенством (8а), представляется формулой

x= A e−γt	cos Ωt	(10)
o

Это есть колебание, амплитуда которого уменьшается, а частота Ω постоянна. График этого колебания изображен на рис. 1.

Это колебание не является периодическим и тем более оно не является гармоническим. Период гармонических (периодических) колебаний определя- ется как время, через которое колебание повторяется. В случае (10) колебания не повторяются, поэтому понятие периода теряет смысл. Тем не менее, удобно

Рис. 1 говорить о периоде этих колебаний, понимая под периодом промежутки времени, через которые смеще- ние обращается в нуль. В этом же смысле можно использовать представ-

ление о частоте колебаний Ω = 2Tπ . За амплитуду колебаний принимается

величина A = Aoe−γt , даваемая формулой (10), которая равна примерно

модулю максимальных отклонений при последовательных колебаниях.

Из формулы (10) видно, что амплитуда колебаний уменьшается в e = 2,7 раза в течение времени

	τ =	1	(11)
		γ

Промежуток времени τ называется временем затухания колебаний, а γ – декрементом затухания.

Логарифмический декремент затухания.

Сам по себе декремент затухания γ не очень много говорит об ин-

тенсивности затухания колебаний. Например, в течение времени t амплиту- да уменьшается в eγ t раз. Но в зависимости от периода колебаний за это время происходит различное число колебаний. Если колебаний произошло много, то за каждое колебание имело место небольшое изменение амплиту- ды. Если же колебаний произошло немного, то за каждое колебание амп- литуда изменялась значительно. Ясно, что в первом случае в определенном смысле колебания затухают медленнее, чем во втором.

Поэтому величину затухания необходимо отнести к естественному масштабу времени колебания, т. е. к периоду колебаний. Интенсивность

затухания характеризуется затуханием их амплитуды за один период

147

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

колебания и поэтому вместо декремента затухания γ удобно пользоваться

так называемым логарифмическим декрементом затухания.

Найдем амплитуды колебаний в два последовательных промежутка времени, разделенных периодом колебания Т:

	A = A e-γ ×t1		,	A	=	A	e - γ ×(t1 + T )	(12)
1		o		1		o
Отсюда следует
	A1	= eγT						(13)
	A
2

Поэтому изменение амплитуды колебаний за период характеризуется величиной θ = γT , называемой логарифмическим декрементом затухания. Из (13) находим

	θ = ln	A1	(14)
		A
		2

Логарифмическому декременту затухания можно дать и другую интер- претацию. Рассмотрим уменьшение амплитуды колебаний в течение N перио- дов, т. е. за время NT. Вместо формул (12) можно написать

		A1 = Ao e-γt1 , AN +1 = Ao e-γ (t1 +NT )				(15)
	Поэтому отношение амплитуд, разделенных интервалом времени в N
	периодов, равно:
		AN +1		= e-γNT = e-Nθ		(16)
		A
	1				Nθ = 1 амплитуда уменьшается в e раз. Поэтому можно сказать,
	При
	что логарифмическим декрементом затухания
	θ =		1			(17)
			N

называется величина, обратная числу периодов, в течение которых амплитуда затухает в e раз.

Такая интерпретация дает очень наглядное представление об интенсивность затухания:

амплитуда затухает в e раз в течение числа колебаний, равного обратной величине логарифмического декремента затуханий. Если, например, θ = 0.01, то колебания затухают лишь примерно после 100 колебаний. В течение 10 колебаний амплитуда изменяется очень мало,

примерно на 101

своего первоначального значения. Благодаря этому

при рассмотрении процессов, происходящих лишь в течение небольшого числа периодов, в первом приближении можно считать колебания незатухающими.

По-другому обстоит дело при большем логарифмическом декременте затухания. Если θ = 0.1, то уже после 10 колебаний они полностью затухнут. За несколько колебаний затухание уже значительно. Поэтому при рассмотрении процессов, происходящих даже в течение нескольких периодов, нельзя в качестве приближения считать колебания незатухающими.

148

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Рис. 2

Случай большого трения (γ >> ωo ).

При увеличении трения период колебания увеличивается. При большом трении движение вообще перестает быть колебательным. Это

наступает при условии

γ = ωo ,

β

= ω0 Þ β = 2

(18)

Dm

2m

При

дальнейшем

увеличении

трения γ > ωo . Полагая

= ±iδ ,

где δ =

является вещественной величиной, можно

ωo2 - γ 2

γ 2

- ωo2

формулу (3) представить в виде

x= A e-

æ

ö

(19)

èϕ ±δ øt

o

ç

÷

причем

очевидно, что

γ ± δ = γ ±

. Эта

γ 2

- ωo2

простая экспоненциальная функция никакого колебания не содержит. Ее график приведен на рис. 2.

Все эти явления очень хорошо демонстрируются на колебаниях маятника, помещенного в жидкости с различной вязкостью. Если вязкость очень велика (например, в глицерине), то маятник из отклоненного положения медленно опускается к среднему поло-

жению. Это движение ни в каком смысле не напоминает колебание.

Расчет затухания исходя из потерь энергии на трение.

Как уже было отмечено, энергия колебаний осциллятора расходуется на преодоление сил трения и вследствие этого уменьшается. Поэтому закон уменьшения амплитуды можно найти, исходя непосредственно из работы сил трения. Работа сил трения за один период колебаний равна

&	&2	T	2		2		βV 2		(20)
		dt = -β òV		sin		ωt × dt = -		T
DEк = -β òxdx = -β òx							2
		o

где учтено, что рассматривается случай малого затухания, так что в

течение одного периода можно пренебречь в первом приближении изменением амплитуды V колебаний скорости. С другой стороны, потеря

энергии на совершение работы против сил трения за один период есть разность кинетических энергий частицы через один период, равная

DEк =	m	(V12	-V22 )=	m	(V1	-V2 )(V1	+ V2 )»	m	2VDV = mVDV	(21)
2			2				2

где принята во внимание малость уменьшения амплитуды за один период колебаний. Приравнивая правые части соотношений (21) и (20),

получаем

	-	βV 2	T = mVDV или	V	= -	β	V	(22)
		2		T		2m
								149

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Период T при слабом затухании является малым промежутком времени в сравнении с тем, когда затухание заметно. В течение времени Т изменение амплитуды скорости колебаний V мало. Поэтому в (22)

	можно считать,						что	V	≈	dV	, и тогда получаем уравнение для изменения
								T		T
	амплитуды скорости колебаний со временем:
		dV		= −γV							(23)
		dt
					β
	где					= γ	– декремент затухания. Хорошо известно, что решение урав-
					2m
	нения (23) имеет вид										(24)
	V = Vo e-γ ×t

Это затухание амплитуды скорости полностью соответствует затуханию амплитуды смещения, которое дается формулой (10), выведенной при строгом решении уравнений движения. Поэтому проведенный расчет показы- вает, что энергия осциллятора действительно расходуется на преодоление сил трения.

Затухание при сухом трении.

Затухание амплитуды колебаний по экспоненциальному закону про- исходит при силе трения, пропорциональной скорости. При других силах трения наблюдаются другие законы, уменьшения амплитуды колебаний.

Если движение происходит при сухом, трении, то уравнение движения

имеет вид

		&
&&	+		x		Fo + Dx = 0 ,	(25)
			&
mx
			x

&

где

x

Fo

– постоянная величина, направленная против скорости. Вели-

&

x

&

&

F

чина

x

&

определяет знак силы. Заменой переменных

x

o

(25)

&

ξ = x +

&

= signx

D

x

x

приводится к виду

(26)

&&

mξ + Dξ = 0

характерному для гармонических колебаний. Таким образом, между моментами времени, при которых скорость обращается в нуль, колебание

является гармоническим с частотой ω = mD , но происходит оно относи-

тельно точки равновесия, смещенной в сторону отклонения на x =	Fo	. В
	D

результате за один период точка максимального отклонения приближается к первоначальной точке на величину 4 FDo , т. е. амплитуда уменьшается на

150

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com