то что давала филимонова / Лекции Механика для студентов Физика

æ v ö′

- α

1

-1

- (1 - α

2

)

ç

÷

= -

+

-

=

M

- α1m1

M - m1

(M - m

- m1 )(1 - α 2 )+ m

è u ø

=

α1

+

-

(M - m - m1 )(1 - α 2 )- m + (M - m1 )(1 - α 2 )

=

((M - m - m )(1 - α

)+ m)(M - m )

M - α m

2

1

1

1

1

=

α1

-

mα 2

= 0

M - α m

((M - m - m )(1 - α

2

)+ m)(M - m )

1

1

1

1

Отсюда получаем уравнение относительно m1 :

α1 (M - m1 )2 (1 - α 2 )+ α1mα2 (M - m1 )- Mmα2 + α1m1mα2 = 0

α1 (1 - α 2 )M 2 - 2Mα1 (1 - α 2 )m1 + α1 (1 - α 2 )m12 + α1α 2 mM - α1α2 mm1 = mα 2 M - mα 2α1m1

m

2α

(1 - α

2

)- 2m Mα

(1 - α

2

)+ M 2 (1 - α

2

)α

1

+ Mmα

2

(α

1

-1)= 0

1

1

1

1

m

2

- 2m M + M 2 - Mm

α2

1 - α1

= 0

1

1

α1 1 - α 2

m = M ± M 2 - M 2 + Mm

α2

1 - α1

Þ

1

α1 1 - α 2

æ

ö

m

α

2

1 - α

m1

= M ç1 -

1

÷ , т. к. m1 < M

ç

M

α1 1 - α

÷

è

2 ø

Отсюда находим m2 = M - m1 - m :

æ

ö

m α

2

1 - α

α

2

1 - α

1

m

2

= M - M ç1 -

1

÷ - m = mM

- m

ç

M α1 1 - α

÷

α1 1 - α2

è

2 ø

Искомое отношение, таким образом, равно:

α2

1 - α1

-

m

m2

α1

1 - α 2

M

=

m

×

m1

M

-

m α2

1 - α1

1

M α1

1 - α2

Поскольку

на

практике

α1

и

α 2 различаются мало,

то

α 2

1 - α1

»1:

α1 1 - α2

m2

=

m

m

M

1

α2

1 - α1

-

m

m2

α1

1 - α 2

M

m2

Ответ:

=

m

×

или (приближённо)

»

m

m1

M

1 -

m α2 1 - α1

m1

M

M

α1

1 - α2

α1 » α2 и

.

2) В одном из проектов недалёкого будущего предполагается

использовать небольшой реактивный двигатель для поддержания человека в воздухе на постоянной высоте. Двигатель выбрасывает струю газов

91

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

вертикально вниз со скоростью относительно человека u =1000 мс . Расход

топлива автоматически поддерживается таким, чтобы в любой момент, пока работает двигатель, реактивная сила уравновешивала вес человека с грузом. Сколько времени человек может продержаться на постоянной высоте, если его масса m1 = 70кг , масса двигателя без топлива m2 =10кг , начальная масса

топлива mo = 20кг ? Какое расстояние l в горизонтальном направлении может преодолеть человек, если он разбежался по земле, приобрёл горизонтальную

	скорость			v = 5	м	, а	затем		подпрыгнул и	включил	двигатель,
					с
	поддерживающий его в воздухе на постоянной высоте?										времени t.
	Рассмотрим					силы, действующие на человека				в момент
	Реактивная			сила		равна		r	и направлена	вверх; сила тяжести
							Fреак = -μu
				r
	равна Fтяж = mg и направлена вниз. В силу условия задачи Fтяж + Fреак = 0 :
				æ			t	ö
				ç				÷
	m×0 = μu - çm1					+ m2 + mo - òμdt ÷g
				è			0	ø
							t
	(m1 + m2 + mo )g = μu + gòμdt
							0
	Дифференцируя это выражение, получаем:
	dμ ×u = -gμdt Þ
		dμ	= - gdt
		μ		u

Интегрируя полученное соотношение, находим связь между μ и t :

ln μ + C = - gtu

Исходя из начальных условий, при t = 0 μ = μo , причём:

(m1 + m2 + mo )g = μou

Отсюда следует, что расход топлива меняется со временем по закону:

ln μ = - gt μo u

μ = (m1 + m2 + mo )g e− gtu u

Теперь, чтобы определить зависимость массы оставшегося топлива от времени, необходимо вычислить:

Dm = òt μdt

0

Топливо закончится через время τ , определяемое условием:

m

+ m

+ m

æ

æ −

gτ

ö

m =

2

2

o

gç

-

֍e u

-1÷

Þ

u

o

ç

g ֍

÷

è

ø

ø

è

e−

gτ

=1-

mo

u

m

+ m

+ m

2

o

1

92

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

e−

gτ

=1-

mo

u

m

+ m + m

1

2

o

e−

gτ

=

m1

+ m2

u

m

+ m + m

1

2

o

gτ

æ

mo

ö

ç

÷

u

= lnç1+ m + m

2

÷ Þ

è

1

ø

τ =

u

æ

mo

ö

ç

÷

= 25c

g lnç1+ m + m

÷

è

1

2 ø

Расстояние же l равно l = vτ = 125м .

Ответ: τ = 25с ,

l

= 125м .

3) На сколько процентов уменьшится масса ракеты, которая в течение 10 мин поднималась с поверхности Земли вертикально вверх с постоянной

скоростью v = 5 кмс ? Скорость истечения продуктов сгорания относительно ракеты u = 2 кмс . Радиус Земли Rз = 6400км . Трением о воздух пренебречь.

Через время τ = 600c ракета поднимется на высоту hmax = vτ = 3000км , где

сила тяжести уже заметно меньше, чем на поверхности. Таким образом, при

расчёте движения ракеты мы обязательно должны учесть изменение силы тяжести с высотой (одна из проблем космонавтики):

			Rз2						Rз2
g(h) = g						= g
			(Rз + h)2						(Rз + vt)2
Запишем уравнение движения ракеты, учитывая, что её ускорение
равно нулю:
0 = μ ×u - mg					Rз2				,
					(Rз + vt)2
где μ = - dm .
			dt
Тогда:					Rз2
	dm
-		u = mg						Þ
	dt			(Rз + vt)2

Разделяя переменные получим:

-dm = gdt Rз2 m u v2

				1
	æ	R	з	ö2
	ç			+ t ÷
		v
	è			ø

Интегрируя обе части и определяя постоянную, находим закон изменения массы со временем:

ì

g Rз2

v

ï- ln m

+ C = -

u

v

2

Rз + vt

ï

Þ

í

g Rз2

v

ï

- ln m

+ C = -

ï

o

u

v

2

Rз + v × 0

î

93

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

æ

ö

m

ç

1

÷

- ln

=

g Rз ç

1-

÷

mo

u v

ç

vt

÷

1+

ç

Rз

÷

è

ø

- ln

m

=

g Rз

vt

Þ

mo

u

v

Rз + vt

− gRзt m = moe u(Rз +vt )

Отсюда получаем, что через время τ = 600c масса ракеты станет равна:

− gRзτ

m = moe u(Rз +vτ ) = 0.135mo ,

т. е. масса ракеты уменьшилась на 86.5%. Ответ: на 86.5%.

4)

Релятивистские ракеты.

Уравнение движения.

При выводе уравнения (4) было подчеркнуто, что оно справедливо как при малых, так и при больших скоростях. В реля- тивистском случае массу М надо считать релятивистской, т. е.

M =	M ′	(13)

1 - v2

c2

где M ′ – переменная масса покоя ракеты. (Мы обозначили ее буквой со штрихом, чтобы подчеркнуть, что это масса в движущейся системе координат, связанной с ракетой.) В процессе движения масса покоя ракеты уменьшается. С учетом сказанного уравнение (4) в релятивистском

случае имеет вид

æ

ö

æ

ö

ç

r

÷

ç

¢

÷

d

ç

¢

÷

r

d

ç

M

÷

M v

(14)

ç

÷

= u

ç

÷

dt ç

1 -

v2

÷

dt ç

1 -

v2

÷

ç

÷

ç

÷

c

2

c

2

è

ø

è

ø

Нетрудно при необходимости учесть также наличие внешних сил, действующих на ракету. Преобразуем уравнение (14) к виду (6). Для этого продифференцируем левую часть по t и один из полученных членов, пропор- циональный v, перенесем в правую часть. Тогда имеем

æ

ö

M ¢

r

d

ç

M ¢

÷

r

r

ç

÷

dv

= (u

- v )×

ç

÷

(15)

dt

1 -

v2

dt ç

1 -

v2

÷

ç

÷

c

2

c

2

è

ø

94

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Оно полностью аналогично уравнению (6) с релятивистской массой

M =		M ′
	1 -		v2
			c2

. Однако в (15) разность u − v не равна скорости истечения

газов относительно ракеты, потому что в релятивистском случае для

сложения скоростей надо использовать формулу u¢x = ux - v .

1 - ux v c2

.

Зависимость конечной массы от скорости.

Для получения в релятивистском случае формулы, аналогичной формуле Циолковского, необходимо решить уравнение (15). Будем считать, что ускорение происходит в положительном направлении оси X, тогда уравнение (15) приобретает вид:

æ

ö

M ¢

dv

ç

M ¢

÷

= (ux - v)×

d ç

÷

(16)

v2

dt

dt ç

v2

÷

1-

ç

1-

÷

c

2

ç

c

2

÷

è

ø

По формуле сложения скоростей для скорости выбрасываемых газов относительно ракеты имеем:

u¢x =

ux

- v

1 -

ux v

c2

Далее учтем, что:

æ

ö

d

ç

M ¢

÷

1

dM ¢

M ¢

v

dv

ç

÷

=

+

ç

÷

2

3

dt ç

v2

÷

v2

dt

c

æ

v

2

ö

dt

1 -

1 -

2

ç

÷

ç

-

÷

c

2

c

2

2

è

ø

ç1

c

÷

è

ø

(17)

(18)

После подстановки (18) в правую часть (16) и простых преобразований получаем:

M

¢

æ

vu

ö

dv

= (ux

- v)

dM

¢

(19)

ç1

-

x

÷

v2

dt

1 -

è

c2 ø dt

c2

Теперь, заменив величину ux - v по формуле (17) через скорость u′x , по-

лучим после

сокращения

на общий множитель

æ

-

vu

x

ö

релятивистское

ç1

÷

c2

è

ø

уравнение движения в следующем простом виде:

	dv	æ		v	2	ö	dM	¢	(20)
M ¢		= ç1	-			÷u¢x
					2
	dt	ç		c		÷	dt
		è				ø

Примем во внимание, что для ускорения ракеты скорость выброса газов должна быть направлена против скорости движения ракеты, т. е.

95

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

u′x = -u′ , где и' – модуль этой скорости. Теперь можно переписать (20) в аналогичном уравнению (10) виде:

	dM ′	= -	1 dv				(21)
	M ¢		u¢ 1 -			v2
						c2

Пусть в начальный момент масса ракеты была M o′ , а скорость – vo . Как и в (10), проинтегрируем левую и правую части этого равенства в соот-

ветствующих пределах.

Интеграл в правой части по v с учетом того, что:

æ

ö

1

1

ç

1

1

÷

=

ç

+

÷

,

2

v

1 -

v

2

ç

1

-

1

+

v ÷

ç

÷

c

c2

è

c ø

является элементарным. В результате интегрирования получим:

ln M ¢ - ln M o¢		c	ì	æ		v ö		æ
	= -		ílnç1		+		÷	- lnç1	-
		2u¢ î		è		c ø		è

v

ì

1 +

v

1 +

vo ü

v öü

= -

c ï

c

- ln

c

ï

÷

ý

ln

ý

í

v

vo

c øþ

v

2u¢ ï

1 -

1 -

ï

o

ï

c

c

ï

î

þ

Отсюда следует, что:

ln M ¢ M o¢

æ

+

v öæ

-

vo ö

ç1

֍1

÷

= -

c

ln

è

c øè

c

ø

,

2u¢

æ

-

v öæ

+

vo ö

ç1

֍1

÷

c

è

c øè

ø

или:

ì

v öæ

vo ö

ü−

c

æ

+

-

2u′

M ¢

ï

ç1

֍1

÷

ï

c

ï

è

c øè

ø

ï

(22)

= í

v

ý

M ¢

æ

v öæ

o

ö

o

ï

ç1

-

֍1

+

÷

ï

ï

è

c øè

c ø

ï

î

þ

Эта формула для релятивистского случая заменяет формулы (12) для нерелятивистских ракет. Особенно простой вид, пригодный для анализа, она приобретает для vo = 0 , т. е. когда разгон ракеты начинается из состояния

покоя:

	æ				v ö				c
				-					2u′
	ç1					÷
M ¢ = M o¢	ç				c			÷			(23)
	ç	1		+	v ÷
	ç						÷
	è				c ø
В случае малых конечных скоростей (v << c)											эта формула переходит в

(12б) для нерелятивистского случая (при vo = 0 ). В самом деле, перепишем правую часть (23) при vc <<1 и uc′ <<1 в виде:

96

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

æ			-	v ö
ç1					÷
ç				c			÷
ç	1		+	v ÷
ç						÷
è				c ø

c						v ö-			c
	æ
2u¢				+					2u¢
ç1							÷
= ç						c		÷
ç		1		-		v ÷
ç							÷
è						c ø

	éæ		2v ö
	» êç1	+		÷
			c
	êè			ø
	ë

c	ù-	v
		u¢	= e-	v
2v ú					,	(24)
				u¢
	ú
	û

где учтено, что:

v

æ

v öæ

v ö

ç1 +

֍1 +

÷

1 + c

= è

c øè

c ø »1 +

2v

æ v ö2

c

1 -

v

1 - ç

÷

c

è c ø

æ

+

1

ön

= e

limç1

÷

n®¥è

n ø

Предположим, что ракету надо ускорить до скорости с/2 с помощью химического топлива, когда м' = 4 км/с. Какая доля первоначальной массы

будет ускорена	при			этом? Учитывая, что				c = 3×105 км	, из формулы (23)
получаем:								с
æ 1/ 2	3×105					Mo¢
	ö
		2×4							(25)
M ¢ = M ¢ç	÷			»
					1020000
o è 3/ 2	ø

Представить себе число 1020000 невозможно. Поэтому об ускорении

ракет до релятивистских скоростей на химическом топливе не может быть и речи. Однако и с другими видами топлива дело обстоит ненамного лучше.

¢

4

км

Для ядерных ракет, использующих

энергию деления,

u

»10

с . В

этом

случае вместо (13)

находим:

M ¢ =

M o′

»

M o′

»

M o′

,

(26)

3×105

15

6

3

10

32×104

10-6

т. е.

окончательной скорости

с/2 достигнет лишь примерно

стартовой массы ракеты.

Поэтому более или менее обнадёживающих результатов в достижении релятивистских скоростей можно ожидать только в том случае, если u′ близко к скорости света. Это приводит к идее создания реактивной тяги излучением фотонов. Такие, в настоящее время лишь теоретически мыслимые, ракеты называются фотонными.

Фотонные ракеты.

Для фотонных ракет u′ = c и, следовательно, уравнение (23) принимает

вид:

					1
	æ				v ö
				-					2
	ç1					÷
M ¢ = M o¢	ç				c			÷		(27)
	ç	1		+	v ÷
	ç						÷
	è				c ø
										97

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Как видно из этой формулы, до скорости с/2 было бы возможно

ускорить массу M ¢ = M o′ , т. е. больше, чем половину стартовой массы. Таким

3

образом, эти ракеты были бы весьма эффективными. Пусть v отличается от скорости света на очень маленькую величину, например на 10-4,т. е.

vc »1 -10−4 . Тогда из (27) получаем:

		10		−2
M ¢ » M o¢	×					,	(28)
				2

т. е. вполне приемлемый результат. Однако фотонные ракеты в настоящее время с технической точки зрения являются лишь фантазией. Впрочем, это не означает, что сама по себе “реактивная сила излучения” не имеет значения. Наоборот, она играет очень большую роль в природе, например, в ряде астрофизических явлений.

Космические скорости. Движение искусственных спутников Земли.

Вычисление космических скоростей.

Теория финитных и инфинитных движений планет полностью применима к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей (разумеется, с выключенными двигателями). Сопротивление воздуха мы не будем учитывать, предполагая, что движение происходит в достаточно разреженной атмосфере. Кроме того, при движении вблизи

Земли мы будем пренебрегать силами гравитационного притяжения Солнца, Луны и планет. Массу Земли будем обозначать буквой М, массу искусственного спутника – буквой т.

Полная энергия спутника или космического корабля в поле земного тяготения равна:

E = mv2 2 - γ Mmr .

или в силу соотношения g = γ Mr 2 :

E =	mv2	- mgr	(1)
2

Если энергия Е отрицательна, то движение финитно и будет происходить по эллиптической траектории. При круговом движении

	vk = γ		M	(2)
			r

Если r – радиус земного шара, то получаемая по этой формуле величина называется первой космической скоростью. Она приблизительно равна 8 км/с.

98

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Минимальное значение энергии Е, при котором движение становится ин-финитным, равно нулю. В этом случае получается движение по

параболе со скоростью

	vп =		= vk		»11,2	км	(3)
		2gr		2
						с

называемой параболической или второй космической скоростью.

Это есть минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно никогда не вернулось на Землю (при условии, что тело не

подвергается гравитационному действию со стороны других небесных тел).

Если, наконец, полная энергия Е положительна, т. е. начальная скорость тела превосходит вторую космическую скорость, то его движение станет гиперболическим.

2. Совершенно аналогичные вычисления можно провести и для движений в гравитационном поле Солнца. Среднее расстояние до Солнца составляет 150 млн. км. Скорость Земли при круговом движении на таком расстоянии равна 29,8 км/с. Для того чтобы при запуске с такого расстояния тело навсегда покинуло пределы Солнечной системы, надо

сообщить ему скорость относительно Солнца не меньше 29,8 × 2 » 42,1 кмс .

Находясь на Земле, тело движется вместе с ней вокруг Солнца со скоростью 29,8 км/с. Если бы тело не подвергалось действию земного притяжения, то ему достаточно было бы сообщить относительно Земли

дополнительную скорость 42,1 - 29,8 =12,3 кмс в направлении ее движения,

чтобы относительно Солнца оно стало двигаться с параболической скоростью и навсегда покинуло пределы Солнечной системы. В действительности для этого требуется большая скорость, так как тело дополнительно должно преодолеть действие земного притяжения. Скорость относительно Земли, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Значение третьей космической скорости зависит от того, в каком направлении корабль выходит из зоны действия земного тяготения. Она минимальна, если это направление совпадает с направлением орбитального движения Земли вокруг Солнца, и максимальна, когда эти направления противоположны.

Третья космическая скорость.

Точное вычисление третьей космической скорости довольно кропотливо, так как при этом надо учесть гравитационное взаимодействие трех тел: Солнца, Земли и космического корабля. Однако такое вычисление не представляет большого труда, если пренебречь влиянием

поля тяготения Солнца на движение космического корабля в течение всего времени, которое он затрачивает для выхода из зоны действия земного

99

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

тяготения. Более подробное рассмотрение показывает, что в

действительности при таком расчете мы пренебрегаем не полем тяготения Солнца, а лишь его неоднородностью в той области пространства, где преобладающим является поле тяжести Земли. Однородная составляющая поля тяготения Солнца компенсируется силами инерции, возникающими из- за свободного падения Земли на Солнце. Поэтому ошибка, которую мы делаем при вычислении третьей космической скорости, ничтожна.

Будем обозначать малыми буквами ( v , vк , vп ) скорости корабля от-

носительно Земли. Все скорости относительно Солнца будем обозначать большими буквами ( V , Vк , Vп ). Пока корабль движется в поле земного

тяготения, его движение удобнее относить к системе отсчета, в которой Земля неподвижна. Считая массу Земли М бесконечно большой по сравнению с массой корабля т, запишем уравнение энергии в виде

mv2 2 − γ Mmr = mv2∞2

Где v∞ – скорость корабля в тот момент, когда он практически выходит из зоны действия земного тяготения. Вводя круговую

скорость vk2 = γ Mr , получаем v∞2 = v2 − 2vk2 . После того как корабль выйдет

из зоны действия земного тяготения, будем относить его движение к системе отсчета, в которой неподвижно Солнце. В момент выхода из зоны земного тяготения скорость корабля V в этой системе равна векторной сумме скорости v∞ и скорости кругового движения Земли Vк . Если корабль выходит из зоны земного тяготения под углом α , то такой же угол будет между скоростями v∞ и V. Значит

V 2 =Vk2 + v∞2 + 2Vk v∞ cosα

Третья космическая скорость v3 найдется из условия V = Vп = 2Vк .

Подставляя это значение для V в предыдущее соотношение, получим квадратное уравнение для v∞ , из которого найдем

v∞ = (1 + cos2 α − cosα )Vk

(Положительный знак перед квадратным корнем выбран потому, что величина v∞ по своему смыслу существенно положительна.) После,

этого получим

v∞2 = (		− cosα )2 Vk2 + 2vk2	(4)
	1 + cos2 α

Минимальное значение третьей космической скорости получится при α = 0 (запуск в направлении орбитального движения Земли), а максимальное – при α = π (запуск в направлении против орбитального движения Земли). Для этих значений формула (4) дает

v3min = 0,171Vk2 + 2vk2 ≈16,7 кмс

(5)

v3max = 5,828Vk2 + 2vk2 ≈ 72,7 кмс

100

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com