3.2. Общие свойства обратимых и необратимых циклов
Термический КПД цикла Карно определяется из выражения (3.1) или (3.2), то есть в цикле Карно
или
;
;
.
В соответствии
с принятым правилом знаков величина
теплоты q1,
подводимой к рабочему телу, считается
положительной, а теплоты q2,
отводимой от рабочего тела, считается
отрицательной. Значит, последнее
соотношение можно записать в форме
или
(3.4)
Из выражения (3.4) следует: в обратимом цикле Карно алгебраическая сумма приведенных теплот равна нулю. Рассмотрим произвольный обратимый цикл 1-2-3-4 (рис. 3.7).
|
Разобьем его с помощью адиабат на бесконечное множество элементарных циклов. Каждый из этих циклов образуется двумя адиабатами и двумя элементарными участками основного цикла, которые можно рассматривать как изотермы подвода и отвода теплоты. |
Разобьем его с помощью адиабат на бесконечное множество элементарных циклов. Каждый из этих циклов образуется двумя адиабатами и двумя элементарными участками основного цикла, которые можно рассматривать как изотермы подвода и отвода теплоты. Таким образом, каждый элементарный цикл является элементарным циклом Карно, для которого в соответствии с выражением (3.4) можно записать:
.
Интегрируя это
выражение по верхней ветви подвода
теплоты и по нижней ветви отвода теплоты,
получим
или, по аналогии с выражением (3.4) можно
записать интегральную сумму и заменить
последнее равенство на круговой интеграл:
(3.5)
В выражениях (3.4) и (3.5) температуры рабочего тела равны температурам источников теплоты, так как мы имеем дело с обратимыми процессами. Количество теплоты, отбираемой от источника, равно количеству теплоты, передаваемой рабочему телу, но знак δq берется относительно рабочего тела, то есть подведенная к рабочему телу теплота положительная, отведенная от рабочего тела – отрицательная.
Интеграл (3.5)
называется первым интегралом Клаузиуса,
и его можно рассматривать как математическое
выражение Второго закона термодинамики
для обратимых циклов, так как отправным
пунктом его доказательства является
Второй закон термодинамики. Интеграл
(3.5) показывает, что для превращения
теплоты в работу нужно иметь горячие
(δq>0) и холодные (δq<0) источники теплоты,
иначе
не будет равен нулю.
Рассмортим необратимые циклы.
Термический КПД
обратимого цикла Карно
В этом выражении температура горячего источника Т1 в процессе подвода теплоты равна температуре рабочего тела Т1, температура холодного источника Т2 равна температуре рабочего тела Т2 в процессе отвода теплоты (это условие обратимости процессов).
В необратимом цикле Карно Т1 > Т1, а Т2 < Т2. Поэтому процессы подвода и отвода теплоты, а значит, и весь цикл, являются необратимыми. Необратимость вызвана отсутствием температурного равновесия между рабочим телом и источниками теплоты. КПД необратимого цикла Карно
меньше термического
КПД обратимого цикла Карно, осуществляемого
в том же интервале температур:
.
Учитывая, что q2 теплота отводимая, получим
(3.6)
где Т1 и Т2 температуры теплоотдатчика и теплоприемника; они не равны температурам рабочего тела при подводе и отводе теплоты. Неравенство (3.6) показывает, что в необратимом цикле Карно алгебраическая сумма приведенных теплот меньше нуля.
Как и в предыдущем случае, обобщим полученное неравенство на произвольный необратимый цикл. Для этого необратимый цикл с помощью адиабат разобьем на бесконечное множество элементарных необратимых циклов Карно. Для каждого из этих элементарных циклов можно применить неравенство (3.6) в виде
,
После интегрирования по участкам подвода и отвода теплоты получим
,
или
(3.7)
В этом неравенстве, как и в неравенстве (3.6), температура относится не к рабочему телу, а к теплоотдатчикам и теплоприемникам, и знак q берется относительно рабочего тела. Неравенство (3.7) называется вторым интегралом Клаузиуса, и его можно рассматривать как математическое выражение второго закона термодинамики для необратимых циклов.
Объединяя формулы (3.5) и (3.7), получим неравенство
(3.8)
называемое аналитическим выражением II закона термодинамики. Знак равенства относится к обратимым, а знак неравенства – к необратимым циклам.