Расчетные задания (Кузнецов) / 09-Аналитическая геометрия

5.29. a ={−3,	3,	3},	b ={−4,	7, 6}, c ={3, 0,		−1}.
5.30. a ={−7,	10,	−5}, b ={0,		−2,	−1}, c ={−2,	4, −1}.
5.31. a ={7,	4, 6},		b ={2, 1,	1},	c ={19, 11, 17}.

Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2 , A3 , A4 и его

высоту, опущенную из вершины A4							на грань A1 A2 A3 .
6.1. A1 (1, 3,				6), A2 (2, 2,			1),		A3 (−1,		0, 1),			A4 (−4,		6,		−3).
6.2. A1 (−4,			2,	6), A2 (2,		−3,		0),		A3 (−10,			5,	8), A4 (−5,				2,	−4).
6.3. A1 (7,			2,	4), A2 (7,		−1,	−2), A3 (3,					3,	1), A4 (−4,				2,	1).
6.4. A1 (2,			1,	4), A2 (−1,		5,	−2), A3 (−7,					−3,		2), A4 (−6,				−3, 6).
6.5. A1 (−1,			−5, 2),		A2 (−6,		0,		−3), A3 (3,				6,	−3), A4 (−10,					6,	7).
6.6. A1	(0,		−1,	−1), A2 (−2,			3,	5),		A3 (1,		−5,		−9), A4 (−1,				−6,		3).
6.7. A1	(5,		2,	0), A2 (2,		5,	0),		A3 (1,		2,	4),		A4 (−1, 1,			1).
6.8. A1	(2,		−1,	−2), A2 (1,		2,		1),		A3 (5,		0,	−6), A4 (−10,					9,	−7).
6.9. A1	(−2,		0,	−4), A2 (−1,			7,	1),		A3 (4,		−8,		−4), A4 (1,				−4, 6).
6.10. A1 (14,			4, 5),		A2 (−5,		−3,		2), A3 (−2,				−6,		−3),	A4 (−2,			2, −1).
6.11. A1 (1,			2,	0), A2 (3,		0,	−3), A3 (5,					2,	6), A4 (8,			4,		−9).
6.12. A1		(2,	−1, 2),		A2 (1,	2,		−1),		A3 (3,		2, 1),			A4 (−4,		2, 5).
6.13. A1		(1,	1,	2), A2 (−1,		1,	3),		A3 (2,		−2,		4), A4 (−1,				0,	−2).
6.14. A1		(2,	3,	1), A2 (4,		1,	−2)		, A3 (6,			3,	7),		A4 (7, 5,			−3).
6.15. A1		(1,	1,	−1),	A2 (2,	3,	1),		A3 (3,		2,		1),	A4 (5,		9,	−8).

6.16. A1 (1,

5,

−7), A2 (−3,

6,

3), A3 (−2,

7,

3),

A4 (−4,

8, −12).

6.17. A1 (−3,

4,

−7), A2 (1,

5,

−4), A3 (−5,

−2,

0), A4 (2,

5,

4).

6.18. A1 (−1,

2,

−3), A2 (4,

−1,

0), A3 (2,

1,

−2), A4 (3, 4,

5).

6.19. A1 (4,

−1,

3), A2 (−2,

1,

0), A3 (0,

−5,

1),

A4 (3, 2,

−6).

6.20. A1 (1,

−1,

1),

A2 (−2, 0,

3),

A3 (2,

1,

−1),

A4 (2, −2,

−4).

6.21. A1 (1,

2,

0),

A2 (1, −1,

2), A3 (0,

1,

−1),

A4 (−3, 0,

1).

6.22. A1 (1,

0,

2),

A2 (1, 2,

−1), A3 (2,

−2,

1),

A4 (2, 1,

0).

6.23. A1 (1,

2,

−3),

A2 (1,

0,

1),

A3 (−2,

−1,

6),

A4 (0, −5,

−4).

6.24. A1 (3,

10,

−1), A2 (−2,

3,

−5), A3 (−6,

0,

−3), A4 (1,

−1,

2).

6.25. A1 (−1,

2,

4), A2 (−1,

−2,

−4), A3 (3,

0,

−1), A4 (7,

−3, 1).

6.26. A1 (0,

−3,

1),

A2 (−4, 1,

2), A3 (2,

−1,

5),

A4 (3, 1,

−4).

6.27. A1 (1,

3,

0),

A2 (4, −1,

2),

A3 (3,

0,

1),

A4 (−4, 3,

5).

6.28. A1

(−2,

−1, −1),

A2 (0,

3,

2), A3 (3,

1,

−4),

A4 (−4,

7,

3).

6.29. A1

(−3,

−5, 6),

A2 (2,

1,

−4), A3 (0,

−3,

−1), A4 (−5,

2, −8).

6.30. A1

(2,

−4,

−3), A2 (5,

−6,

0), A3 (−1,

3,

−3), A4 (−10,

−8, 7).

6.31. A1

(1,

−1,

2),

A2 (2,

1,

2),

A3 (1,

1,

4),

A4 (6, −3,

8).

Задача 7. Найти расстояние от точки M0 до плоскости, проходящей через точки

M1, M2 , M3 .

7.1.	M1 (−3,	4,	−7),	M2 (1,	5,	−4), M3 (−5,	−2,	0),	M0 (−12, 7,	−1).
7.2.	M1 (−1,	2,	−3),	M2 (4,	−1,	0), M3 (2,	1,	−2),	M0 (1, −6,	−5).

7.3. M1 (−3,

−1,

1), M2 (−9,

1,

−2),

M3 (3,

−5,

4), M0 (

−7,

0,

−1).

7.4. M1 (1,

−1,

1),

M2 (−2, 0,

3),

M3 (2, 1,

−1), M0 (−2,

4,

2).

7.5. M1 (1,

2,

0),

M2 (1,

−1,

2),

M3 (0, 1,

−1),

M0 (2, −1,

4).

7.6. M1 (1,

0,

2),

M2 (1,

2,

−1),

M3 (2, −2,

1),

M0 (−5, −9,

1).

7.7. M1 (1,

2, −3),

M2 (1,

0,

1),

M3 (−2, −1,

6),

M0 (3,

−2,

−9).

7.8. M1 (3,

10,

−1), M2 (−2,

3,

−5),

M3 (−6,

0,

−3), M0 (−6,

7,

−10).

7.9. M1 (−1,

2,

4),

M2 (−1,

−2,

−4), M3 (3,

0,

−1), M0 (−2,

3,

5).

7.10. M1 (0,

−3,

1)

, M2 (−4,

1,

2),

M3 (2,

−1, 5),

M0 (−3,

4,

−5).

7.11. M1 (1,

3,

0),

M2 (4, −1,

2),

M3 (3,

0,

1),

M0 (4, 3, 0).

7.12. M1 (−2,

−1,

−1), M2 (0,

3,

2), M3 (3,

1, −4), M0 (−21,

20,

−16).

7.13. M1 (−3,

−5,

6),

M2 (2,

1,

−4), M3 (0,

−3,

−1), M0 (3,

6,

68).

7.14. M1 (2,

−4,

−3), M2 (5,

−6,

0), M3 (−1,

3,

−3), M0 (2,

−10, 8).

7.15. M1 (1,

−1,

2),

M2 (2,

1,

2),

M3 (1, 1,

4),

M0 (−3, 2,

7).

7.16. M1 (1,

3,

6),

M2 (2,

2,

1),

M3 (−1, 0,

1),

M0 (5, −4,

5).

7.17. M1 (−4,

2,

6),

M2 (2,

−3,

0), M3 (−10,

5,

8), M0 (−12,

1,

8).

7.18. M1 (7,

2,

4),

M2 (7, −1,

−2),

M3 (−5,

−2,

−1), M0 (10,

1,

8).

7.19. M1 (2,

1,

4),

M2 (3,

5,

−2),

M3 (−7,

−3,

2),

M0 (−3,

1,

8).

7.20.

M1 (−1, −5,

2),

M2 (−6, 0,

−3),

M3 (3, 6,

−3),

M0 (10, −8,

−7).

7.21. M1 (0,

−1,

−1), M2 (−2,

3,

5), M3 (1,

−5,

−9), M0 (−4,

−13,

6).

7.22. M1 (5,

2,

0),

M2 (2,

5,

0),

M3 (1,

2,

4),

M0 (−3,

−6,

−8).

7.23. M1 (2,		−1,	−2), M2 (1,			2,	1),	M3 (5,	0,		−6),		M0 (14, −3,			7).
7.24. M1 (−2,		0,	−4), M2 (−1,			7, 1),		M3 (4,		−8,		−4), M0 (−6,				5,	5).
7.25. M1 (14,		4,	5),	M2 (−5, −3,			2),	M3 (−2,		−6,		−3), M0 (−1,			−8,		7).
7.26. M1 (1,		2,	0),	M2 (3,	0,	−3), M3 (5,			2,	6),		M0 (−13, −8,				16).
7.27. M1 (2,		−1,	2),	M2 (1,	2,		−1),	M3 (3,	2,		1),		M0 (−5, 3,		7).
7.28. M1	(1,	1,	2),	M2 (−1,	1,	3), M3 (2,			−2,		4),		M0 (2,	3, 8).
7.29. M1	(2,	3,	1),	M2 (4,	1,	−2), M3 (6,			3,	7),		M0 (−5, −4,			8).
7.30. M1	(1,	1,	−1),	M2 (2,	3,	1), M3 (3,			2,	1),		M0 (−3, −7,			6).
7.31. M1	(1,	5,	−7),	M2 (−3,		6,	3),	M3 (−2,		7,	3),		M0 (1,	−1,		2).

Задача	8.	Написать уравнение				плоскости,			проходящей через точку A
			JJJG
перпендикулярно вектору BC .
8.1. A(1,	0,	−2),	B(2,	−1,	3), C (0,		−3,		2).
8.2. A(−1,	3,	4),	B(−1,	5,	0),	C (2,	6,	1).
8.3. A(4,	−2,	0),	B(1,	−1, −5),		C (−2, 1,			−3).
8.4. A(−8,	0,	7),	B(−3,	2,	4),	C (−1, 4,			5).
8.5. A(7,	−5,	1),	B(5,	−1, −3),		C (3,	0,		−4).
8.6. A(−3,	5,	−2),	B(−4, 0,		3),	C (−3, 2,			5).
8.7. A(1,	−1,	8),	B(−4,	−3, 10),		C (−1,		−1, 7).
8.8. A(−2,	0,	−5),	B(2,	7, −3),		C (1,	10,		−1).
8.9. A(1,	9,	−4),	B(5,	7, 1), C		(3, 5,	0).

8.10.	A(−7,	0,	3),	B(1,	−5,		−4), C (2,					−3, 0).
8.11.	A(0,	−3, 5),		B(−7,		2,		6), C (−3,					2,	4).
8.12.	A(5,	−1, 2),		B(2,	−4,		3),		C (4,		−1,			3).
8.13.	A(−3,	7,	2),	B(3,	5,		1), C (4,				5,		3).
8.14.	A(0,	−2, 8),		B(4,	3,		2), C (1,				4,		3).
8.15.	A(1,	−1, 5),		B(0,	7,		8), C (−1,				3,		8).
8.16.	A(−10, 0, 9),			B(12,		4,		11),		C (8,			5,	15).
8.17.	A(3,	−3, −6),		B(1,		9,	−5), C (6,					6,		−4).
8.18.	A(2,	1,	7), B(9, 0,			2),		C (9,		2,		3).
8.19.	A(−7,	1, −4),		B(8,		11, −3),				C (9,			9, −1).
8.20.	A(1,	0, −6),		B(−7,		2,	1), C (−9,					6,		1).
8.21.	A(−3,	1,	0),	B(6,	3,		3), C (9,				4,		−2).
8.22.	A(−4,	−2, 5),		B(3,		−3, −7),				C (9,			3, −7).
8.23.	A(0,	−8, 10),		B(−5, 5,				7),	C (−8,				0,		4).
8.24.	A(1,	−5, −2),		B(6,		−2, 1),			C (2,			−2, −2).
8.25.	A(0,	7, −9),		B(−1,		8,	−11), C (−4,						3,		−12).
8.26.	A(−3,	−1, 7),		B(0,		2,		−6), C (2,				3, −5).
8.27.	A(5,	3, −1),		B(0,	0,		−3),		C (5, −1,					0).
8.28.	A(−1,	2, −2),		B(13,		14,		1),	C (14,				15,		2).
8.29.	A(7,	−5,	0),	B(8,	3,		−1),		C (8,		5,		1).

8.30.	A(−3,	6,	4), B(8,	−3,	5), C (10,	−3, 7).
8.31.	A(2,	5,	−3), B(7,	8,	−1), C (9,	7, 4).

Задача 9. Найти угол между плоскостями.

9.1.	x −3y +5 = 0, 2x − y +5z −16 = 0.
9.2.	x −3y + z −1 = 0, x + z −1 = 0.

9.3. 4x −5y +3z −1 = 0,			x −4 y − z +9 = 0.
9.4. 3x − y +2z +15 = 0,			5x +9 y −3z −1 = 0.
9.5. 6x +2 y −4z +17 = 0,			9x +3y −6z −4 = 0.
9.6. x − y 2	+ z −1	= 0,	x + y 2 − z +3 = 0.
9.7. 3y − z =	0, 2y	+ z = 0.

9.8.6x +3y −2z = 0, x +2 y +6z −12 = 0.

9.9.x +2 y +2z −3 = 0, 16x +12 y −15z −1 = 0.

9.10. 2x − y +5z +16 = 0,			x +2 y +3z +8 = 0.
9.11. 2x +2 y + z −1 = 0,		x + z −1 = 0.
9.12. 3x + y + z −4 = 0,		y + z +5 = 0.
9.13. 3x −2 y −2z −16 = 0,			x + y −3z −7 =0.
9.14. 2x +2 y + z +9 = 0,		x − y +3z −1 = 0.
9.15. x +2 y +2z −3 = 0,		2x − y +2z +5 = 0.
9.16. 3x +2 y −3z −1 = 0,			x + y + z −7 = 0.
9.17. x −3y −2z −8 = 0,		x + y − z +3 = 0.
9.18. 3x −2 y +3z +23 = 0,			y + z +5 = 0.
9.19. x + y +3z −7 = 0,		y + z −1 = 0.
9.20. x −2 y +2z +17 = 0,			x −2 y −1 = 0.
9.21. x +2 y −1 = 0,	x + y +6 = 0.
9.22. 2x − z +5 = 0,	2x +3y −7 = 0.

9.23. 5x +3y + z −18 = 0,			2y + z −9 = 0.
9.24. 4x +3z −2 = 0,		x +2 y +2z +5 = 0.
9.25. x +4 y − z +1 = 0,		2x + y +4z −3 = 0.
9.26. 2 y + z −9 = 0,	x − y +2z −1 = 0.
9.27. 2x −6 y +14z −1 = 0,			5x −15y +35z −3 = 0.
9.28. x − y +7z −1 = 0,		2x −2 y −5 = 0.
9.29. 3x − y −5 = 0,	2x + y −3 = 0.
9.30. x + y + z 2 −3 = 0,			x − y + z 2 −1 = 0.
9.31. x +2 y −2z −7 = 0,			x + y −35 =0.

Задача 10. Найти координаты точки A, равноудаленной от точек B и C .

10.1. A(0,	0,	z),	B(5,	1,	0),		C (0,	2,	3).
10.2. A(0,	0,	z),	B(3,	3,	1),		C (4,	1,	2).
10.3. A(0,	0,	z),	B(3,	1,	3),		C (1,	4,	2).
10.4. A(0,	0,	z),	B(−1,	−1,		−6), C (2,			3,	5).
10.5. A(0,	0,	z),	B(−13, 4,			6), C (10,			−9, 5).
10.6. A(0,	0,	z),	B(−5,	−5,		6), C (−7,			6,	2).
10.7. A(0,	0,	z),	B(−18, 1,			0), C (15,			−10, 2).
10.8. A(0,	0,	z),	B(10,	0,		−2), C (9,			−2, 1).
10.9. A(0,	0,	z),	B(−6,	7,		5), C (8,		−4,		3).
10.10. A(0,	0,	z),	B(6,	−7,		1), C (−1,			2,	5).
10.11. A(0,	0,	z),	B(7,	0,		−15), C (2,			10, −12).
10.12. A(0,	y,	0),	B(3,	0,		3),	C (0,	2, 4).

10.13.A(

10.14.A(

10.15.A(

10.16.A(

10.17.A(

10.18.A(

10.19.A(

10.20.A(

10.21.A(

10.22.A(

10.23.A(

10.24.A(

10.25.A(

10.26.A(

10.27.A(

10.28.A(

10.29.A(

10.30.A(

10.31.A(

0, y, 0), B(1, 6, 4), C (5, 7, 1).
0,	y,	0),	B(−2,	8, 10), C (6, 11, −2).
0,	y,	0),	B(−2,	−4, 6), C (7, 2, 5).

0, y, 0), B(2, 2, 4), C (0, 4, 2). 0, y, 0), B(0, −4, 1), C (1, −3, 5). 0, y, 0), B(0, 5, −9), C (−1, 0, 5). 0, y, 0), B(−2, 4, −6), C (8, 5, 1). 0, y, 0), B(7, 3, −4), C (1, 5, 7). 0, y, 0), B(0, −2, 4), C (−4, 0, 4). x, 0, 0), B(0, 1, 3), C (2, 0, 4).

x, 0, 0), B(4, 0, 5), C (5, 4, 2).

x, 0, 0), B(8, 1, −7), C (10, −2, 1). x, 0, 0), B(3, 5, 6), C (1, 2, 3).

x, 0, 0), B(4, 5, −2), C (2, 3, 4).

x, 0, 0), B(−2, 0, 6), C (0, −2, −4). x, 0, 0), B(1, 5, 9), C (3, 7, 11).

x, 0, 0), B(4, 6, 8), C (2, 4, 6). x, 0, 0), B(1, 2, 3), C (2, 6, 10).

x, 0, 0), B(−2, −4, −6), C (−1, −2, −3).

Задача 11. Пусть k – коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точка A принадлежит образу плоскости α ?

11.1. A(1,	2,		−1),			α : 2x +3y + z −1 = 0,		k = 2.
11.2. A(2,	1,		2),		α : x −2 y + z +1 = 0, k = −2.
11.3. A(−1,		1,		1),		α : 3x − y +2z +4 = 0,		k =1 2.
11.4. A(−2,		4,		1),		α : 3x + y +2z +2 = 0,		k =3.
11.5. A(1,	1 3,			−2),			α : x −3y + z +6 = 0,	k =1 3.
11.6. A(1 2,		1 3,			1),		α : 2x −3y +3z −2 = 0,		k =1,5.
11.7. A(2,	0,		−1),			α : x −3y +5z −1 = 0,		k = −1.
11.8. A(1,	−2,			1),		α : 5x + y − z +6 = 0, k = 2 3.
11.9. A(2,	−5,			4),		α : 5x +2 y − z +3 =0,		k = 4 3.
11.10. A(2,		−3, 1),				α : x + y −2z +2 = 0,		k =5 2.
11.11. A(−2,		3,		−3),			α : 3x +2 y − z −2 =0,		k =3 2.
11.12. A(1 4,		1 3,			1),		α : 4x −3y +5z −10 = 0, k =1 2.
11.13. A(0,		1,		−1),		α : 6x −5 y +3z −4 = 0,			k = −3 4.
11.14. A(2,		3,		−2),		α : 3x −2 y +4z −6 = 0,			k = −4 3.
11.15. A(−2,		−1,			1),		α : x −2 y +6z −10 = 0,		k =3 5.
11.16. A(5,		0,		−1),		α : 2x − y +3z −1 = 0,		k =3.
11.17. A(1,	1,		1), α :				7x −6 y + z −5 = 0, k = −2.
11.18. A(1 3,		1,		1),		α : 3x − y +5z −6 = 0,		k =5 6.
11.19. A(2,		5,		1),		α : 5x −2 y + z −3 = 0,		k =1 3.

11.20. A(−1,	2,	3),		α : x −3y + z +2 = 0,	k = 2,5.
11.21. A(4,	3,	1),	α : 3x −4 y +5z −6 = 0,		k =5 6.
11.22. A(3,	5,	2),	α : 5x −3y + z −4 = 0,		k =1 2.
11.23. A(4,	0,	−3),		α : 7x − y +3z −1 = 0,	k =3.
11.24. A(−1,	1,	−2),		α : 4x − y +3z −6 = 0, k = −5 3.
11.25. A(2,	−5,	−1), α : 5x +2 y −3z −9 = 0,				k =1 3.
11.26. A(−3,	−2, 4),			α : 2x −3y + z −5 = 0,		k = −4 5.
11.27. A(5,	0,	−6),		α : 6x − y − z +7 =0,	k = 2 7.
11.28. A(1,	2,	2),	α : 3x − z +5 = 0, k = −1 5.
11.29. A(3,	2,	4),	α : 2x −3y + z −6 = 0,		k = 2 3.
11.30. A(7,	0,	−1),		α : x − y − z −1 = 0, k = 4.
11.31. A(0,	3,	−1),		α : 2x − y +3z −1 = 0,	k = 2.

Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.

12.1. 2x + y + z −2 = 0, 2x − y −3z +6 = 0.

12.2. x −3y +2z +2 = 0, x +3y + z +14 = 0.

12.3. x −2 y + z −4 = 0, 2x +2 y − z −8 = 0.

12.4. x + y + z −2 = 0, x − y −2z +2 = 0.

12.5. 2x +3y + z +6 = 0, x −3y −2z +3 = 0.

12.6. 3x + y − z −6 = 0, 3x − y +2z = 0.

12.7. x +5 y +2z +11 = 0, x − y − z −1 = 0.

12.8. 3x +4 y −2z +1 = 0, 2x −4 y +3z +4 = 0.