Расчетные задания (Кузнецов) / 06-Ряды

∞

1

∞

1

14.21. ∑

.

14.22. ∑

.

(n +2)ln (n +2)(x −3)

2n

2n n2 (x +

2)

n

n=2

n=5

∞

n2

∞

5

(x −n4+1) .

14.23. ∑

14.24. ∑

n

.

n

n=1

n

n=1

x

∞

n +1

∞

4

n

(x +1)

2n

14.25. ∑

.

14.26. ∑

.

n

n

=

5

n

=

n

3 (x +3)

n 1

∞

3n +5

∞

n2 +1

14.27. ∑

.

14.28. ∑

.

(2n +

9)

5

(x +2)

2n

5n (x +

4)

n

n=1

n=5

∞

(x +

2)

n

∞

n

2

(x −

3)

n

14.29. ∑

.

14.30. ∑

.

n

(

2

n=1

(2n +1)3

n=1

n

4

)

+1

∞

(n +1)

5

x

2n

14.31. ∑

.

n=1

2n +1

Задача 15. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке [0,1]. При каких n абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит 0.1 x [0,1]?

∞

x

n

∞

x

n

15.1. ∑(−1)n

.

15.2. ∑(−1)n

.

7n −11

5n −6

n=1

n=1

∞

x

n

∞

x

n

15.3. ∑(−1)n

.

15.4. ∑(−1)n

.

4n −6

3 n3 −

5

n=1

n=1

∞

x

n

∞

x

n

15.5. ∑(−1)n

.

15.6. ∑(−1)n

.

4n −5

5n −9

n=1

n=1

∞

x

n

∞

x

n

15.7. ∑(−1)n

.

15.8. ∑(−1)n

.

3n −4

3 n3 −

n=1

n=1

2

∞

x

n

∞

x

n

15.9. ∑(−1)n

.

15.10. ∑(−1)n

.

6n −11

3 n3 −

7

n=1

n=1

∞

x

n

∞

x

n

15.11. ∑(−1)n

.

15.12. ∑(−1)n

.

7n −10

6n −8

n=1

n=1

21

∞

15.13. ∑(−1)n

n=1

∞

15.15. ∑(−1)n

n=1

∞

15.17. ∑(−1)n

n=1

∞

15.19. ∑(−1)n

n=1

∞

15.21. ∑(−1)n

n=1

∞

15.23. ∑(−1)n

n=1

∞

15.25. ∑(−1)n

n=1

∞

15.27. ∑(−1)n

n=1

∞

15.29. ∑(−1)n

n=1

∞

15.31. ∑(−1)n

n=1

xn

3 n3 −4

.

xn

8n −12 .

xn

5n −8 .

xn

4n −7 .

xn

7n −13 .

xn

3n −5 .

xn

8n −11 .

xn

3 8n3 −12

.

xn

9n −15 .

xn

3 n3 −6

.

∞

15.14. ∑(−1)n

n=1

∞

15.16. ∑(−1)n

n=1

∞

15.18. ∑(−1)n

n=1

∞

15.20. ∑(−1)n

n=1

∞

15.22. ∑(−1)n

n=1

∞

15.24. ∑(−1)n

n=1

∞

15.26. ∑(−1)n

n=1

∞

15.28. ∑(−1)n

n=1

∞

15.30. ∑(−1)n

n=1

xn

2n −3 .

xn

6n −7 .

xn

6n −10 .

xn

5n −7 .

xn

3 8n3 −21 xn

3 8n3 −19 xn

3 8n3 −11

xn

3 n3 −3

.

xn

10n −12 .

.

.

.

Задача 16. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.

	∞	x +1cos nx
	16.1. ∑		, [0, 2].
	n=0	3 n5 +1

16.3. ∑∞ xn , [−2, 2].

n=1 nn

	∞		1		1
	16.5. ∑xn!,	[−		,		] .
			2		2
	n=1

∞

n

3

3

16.2.

∑

x

,

[−

,

].

n

2

n=1

n2

2

∞

n

x

n

3

3

16.4.

∑

,

[−

,

] .

n +1

2

2

2

n=1

∞

(x −3n )

n

16.6.

∑

, [−1, 6].

n=1

n5

22

∞

(x −3)

n

16.7. ∑(−1)n

,

[2, 4].

(2n +1)

n +

1

n=0

∞

2n

16.9. ∑(x −1n)

,

[−1, 3].

n=1

n9

(x −2)

∞

n

2n

16.11. ∑(−1)

,

[1, 3].

(n

+1)

2

ln (n

+1)

n=1

∞

2

n−1

x

2n−1

1

1

16.13. ∑

,

[−

,

].

(4n −3)

2

2

2

n=1

∞

2n−1

(x +25)n

16.15. ∑

,

[−7,

−3].

n=1

n 4

∞

(−1)

n−1

x

n

1

1

16.17. ∑

,

[−

,

] .

n

2

n=1

2

16.19. ∑(−1)n−1 (x −

2)

2n

[ 3 ,

5].

,

∞

n

n=1

2

2

∞

(x −2)

n

16.21. ∑

,

[1, 3] .

(2n −1)2

n

n=1

∞

x

n

16.23. ∑

,

[−1, 1] .

n(n +2)

n=1

∞xn2

16.25.∑3n2 , [−2, 2].n=0

∞	(x −1)		n
16.27. ∑					, [0, 2].
	n
n=0	2 (n +3)
16.29. ∑(−1)n−1 n(x +2)							n		, [−3, −1].
∞
n=0		(n +1)3 n +2
∞	(x +1)n
16.31. ∑						,		[−2, 0].
	(n +1)ln			2	(n +1)
n=1

∞

2

nx,

[0, π].

16.8. ∑(π − x)cos

n=0

4 n7 +1

∞

n!(x +

3)

n

16.10. ∑

,

[−5, -1].

n

n=1

n

∞

x

n

16.12. ∑

,

[−3, 3].

n!

n=1

∞

n−1

16.14. ∑

x

,

[−2, 2].

n

n=1

n3

ln n

∞

n2

(x +n2)

16.16. ∑

,

[−3, -1].

n=1

n

∞

(n +

1)

4

x

2n

1

1

16.18. ∑

, [−

,

].

2n +1

2

2

n=0

∞

(x +25)

n

16.20. ∑

,

[−6,

−4].

n=1

n

∞

(x +1)sin

2

nx,

[−3, 0].

16.22. ∑

n=1

n

n +1

∞

(x +5)

n

16.24. ∑

,

[−6,

−4].

n=0

3 n +1 n2 +1

∞

π

16.26. ∑ sin

(x −2)n ,

[1, 3] .

n

n=0

2

∞

(x +1n)

2n

16.28. ∑

,

[−1, 0].

n=1

n4

∞

(x −3)

2n

,

[2, 4].

16.30. ∑

1

n=0

n

n +

23

Задача 17. Найти сумму ряда.

∞					1
17.1. ∑(−1)n−1 1 +							xn−1 .
n=1					n
∞	n+1	1					1		n+2
17.3. ∑(−1)
				−				x		.
						n +2
n=1		n

17.5. ∑∞ 1 +(−1)n x2n+1 .

n=0 2n +1

∑∞ (−1)n−1 xn

17.7. n=2 n(n −1) .

∑∞ xn

17.9. n=1 n(n +1).

∞x2n+2

17.11.∑n=0 (2n +1)(2n +2).

∞xn+1

17.13.∑(−1)n−1 .( )

	n=1					n n +1
	∞		x		2n−1
	17.15. ∑									.
		2n(2n −1)
	n=1
	∞		+	(−1)n+1
	17.17. ∑	1				n				xn−1 .
	n=1
	∞		(−1)			n	x	n+1
	17.19. ∑										.
		(n +1)(n +								2)
	n=0

∞x2n+1

17.21.∑n=1 2n(2n +1).

∞xn+2

17.23.∑n=0 (n +1)(n +2).

∞

x2n

17.2. ∑

.

(2n −3)(2n −

2)

n=2

∞

(−n1)

n−1

x

2n−1

17.4. ∑

.

n=1

4

(2n −

1)

∞

1

1

17.6.

∑(−1)n−1 1 −

.

n

n

n=1

x

∞

n−1

17.8. ∑

1+(−1)

x2n+1 .

n=0

2n +1

∞

(

−1n )

n−1

x

2n+2

17.10. ∑

.

n=0

16

(

2n +1)

∞

n−1

1

1

n

17.12. ∑(−1)

+

x

.

n +1

n=1

n

∞

e

−nx

17.14. ∑

.

n

n=1

∞

1

x2n .

17.16. ∑ (−1)n

+

n=1

n

∞

(−1)

n+1

17.18. ∑

.

n(n +1)x

n+1

n=1

∞

sin

n

x

17.20. ∑

.

n(n −1)

n=2

∞

1

1

n

17.22. ∑

+

x

.

n

+1

n=1

n

∞

2n +

(

−1)n

17.24. ∑

n

xn .

n=1

24

	∞		x2n
	17.25. ∑								.
		(2n −2)(2n −1)
	n=2
	∞	(−1)	n+1	cos		n+1	x
	17.27. ∑							.
		n(n +1)
	n=1
	∞		n
	17.29. ∑	3				.
		(n +1)x			n+1
	n=0

∞x2n+2

17.31.∑n=0 (2n +2)(2n +3).

Задача 18. Найти сумму ряда.

∞

18.1. ∑(4n2 +9n +5)xn+1 .

n=0

∞

18.3. ∑(n2 +n +1)xn+3 .

n=0

∞

18.5. ∑(n2 +5n +3)xn .

n=0

∞

18.7. ∑(3n2 +8n +5)xn+2 .

n=0

∞

18.9. ∑(2n2 +7n +5)xn+1 .

n=0

∞

18.11. ∑n(2n −1)xn+2 .

n=0

∞

18.13. ∑(2n2 −n −1)xn .

n=0

∞

18.15. ∑(n2 +7n +4)xn .

n=0

∞

18.17. ∑(2n2 +2n +1)xn .

n=0

	∞	x	n
	17.26. ∑					.
		n(n −1)
	n=2
	∞	(−1)		n+1	tg		n	x
	17.28. ∑								.
		n(n +1)
	n=1
	∞	n +(−1)				n
	17.30. ∑						xn .
		n(n −1)
	n=2

∞

18.2. ∑(3n2 +7n +4)xn .

n=0

∞

18.4. ∑(2n2 +4n +3)xn+2 .

n=0

∞

18.6. ∑(2n2 +5n +3)xn+1 .

n=0

∞

18.8. ∑(2n2 +8n +5)xn .

n=0

∞

18.10. ∑(3n2 +7n +5)xn .

n=0

∞

18.12. ∑(n2 −n +1)xn .

n=0

∞

18.14. ∑(3n2 +5n +4)xn+1 .

n=0

∞

18.16. ∑(2n2 −n −2)xn+1 .

n=0

∞

18.18. ∑(n2 +2n −1)xn+1 .

n=0

25

∞

18.19. ∑(

n=0

∞

19.21. ∑(

n=0

∞

18.23. ∑(

n=0

∞

18.25. ∑(

n=0

∞

18.27. ∑(

n=0

∞

18.29. ∑(

n=0

∞

18.31. ∑(

n=0

n2 +2n +2)xn+2 . n2 +5n +4)xn+2 . n2 −2n −1)xn+1 . n2 −2n −2)xn+1 . n2 +6n +5)xn+1 .

2n2 +n +1)xn+1 .

n2 +9n +5)xn+1 .

∞

18.20. ∑(

n=0

∞

18.22. ∑(

n=0

∞

18.24. ∑(

n=0

∞

18.26. ∑(

n=0

n2 +4n +3)xn+1 .

2n2 −2n +1)xn . n2 −2n +2)xn .

4n2 +6n +5)xn .

∞

18.28. ∑n(2n +1)xn+2 .

n=0

∞

18.30. ∑(2n2 +n −1)xn .

n=0

Задача 19. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x .

9

19.1. 20 − x − x2 . 19.3. ln (1− x −6x2 ).

19.5. sh2x x −2 .

x

19.7. 3 27 −2x .

19.9. (x −1)sin 5x .

6

19.11. 8 +2x − x2 . 19.13. ln (1 − x −12x2 ).

19.15. arcsinx x −1.

x2

19.2.4 −5x .

19.4. 2x cos2 (x2)− x .

7

19.6. 12 + x − x2 . 19.8. ln (1 + x −6x2 ).

ch3x −1

19.10. x2 .

1

19.12. 4 16 −3x . 19.14. (3 +e−x )2 .

7

19.16. 12 − x − x2 .

26

19.17. x2 4 −3x .							19.18. ln (1 +2x −8x2 ).
19.19. 2xsin2 (x 2)− x .							19.20. (x −1)shx .
19.21.	5			.			19.22. x 3 27 −2x .
		6 + x − x2
19.23.	ln 1 + x −12x2				)	.	19.24.	sin 3x		−cos3x .
	(								x
19.25.		arctgx	.				19.26.		5		.
								6	− x − x2
		x
19.27.		4 16 −5x .					19.28. ln (1− x −20x2 ).
19.29.	(2 −ex )2 .						19.30. (x −1)chx .

3

19.31. 2 − x − x2 .

Задача 20. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

0,1

20.1. ∫e−6 x2 dx .

0

20.3. ∫1 cos x2dx .

0

20.2. 0,1∫sin (100x2 )dx .

0

20.4.	0,5∫		dx		.
		4	1 + x	4
	0

20.5.	0,1∫		1 −e−2 x		dx .
	0			x
20.7.	1,5∫			dx					.
		3		27 + x			3
	0
20.9.	0,2∫sin (25x2 )dx .
	0
20.11. ∫1				dx				.
			4	16 + x		4
	0

20.13. 0,4∫ ln (1 + x2)dx .

0 x

20.6.	∫1	ln (1+ x 5)							dx .
	0				x
20.8.	0,2∫e−3x2 dx .
	0
20.10.	0,5∫cos(4x2 )dx .
	0
20.12.	0,2∫			1−e−x		dx.
	0				x
20.14. ∫2					dx			.
			3		64 + x		3
	0

27

0

20.15.	0,3∫e−2 x2 dx .
	0
20.17.	0,2∫cos(25x2 )dx .
	0
20.19.	0,4∫		1 −e−x 2		dx .
	0			x
20.21.	2,5∫			dx			.
		3		125 + x		3
	0

20.23. 0,5∫sin (4x2 )dx .

	0
20.25. ∫2				dx			.
		4		256 + x	4
	0
20.27.	2,5∫			dx				.
			4	625 + x		4
	0
20.29.	0,5∫e−3x2 25dx .
	0
20.31.	0,1∫cos(100x2 )dx .
	0

20.16. 0,4∫sin (5x2)2 dx .

20.18.1,5∫ dx .

0 4 81+ x4

20.20.0,1∫ln (1+2x)dx .

0 x

20.22.	0,4∫e−3x2 4dx .
	0
20.24.	0,4∫cos(5x 2)2 dx .
	0
20.26.	0,5∫				dx				.
			3		1+ x		3
	0
20.28. ∫1					dx			.
		3		8 + x		3
	0

20.30. ∫1 sin x2dx .

0

28