3.2.1.2. Установившиеся ошибки при отработке медленно меняющихся внешних воздействий

Под медленно меняющимися внешними воздействиями будем понимать сигналы, описываемые степенными временными рядами

В эту группу воздействий входят почто все типовые воздействия, принятые в ТАУ для анализа и синтеза систем управления. В частности, первое слагаемое – ступенчатое воздействие; второе слагаемое – скоростное (линейное) воздействие; третье слагаемое – параболическое (квадратичное) воздействие.

Для установившейся ошибки воспроизведения медленно меняющихся воздействий было получено специальное выражение, имеющее для непрерывных систем следующую форму

где – коэффициенты ошибок, определяемые по выражению

Так где – передаточная функция замкнутой системы по ошибке от воздействия . На практике значения коэффициентов ошибок для определяют по формулам, приведенным в справочнике. Для коэффициенты можно определять непосредственно по вышеприведенным формулам.

Используя выражение для установившейся ошибки через коэффициенты ошибок, найдем значение коэффициентов ошибок при отработке непрерывной системой типовых воздействий: ; ; .

1. Система статическая (порядок астатизма ), воздействие ступенчатое .

Установившаяся ошибка при отработке ступенчатого воздействия

Заметим, что другие слагаемые выражения ошибки, содержащие производные от по времени будут равны нулю, так как при .

Коэффициент ошибки

так как и значение установившейся ошибки

Отсюда следует, что:

2. Система астатическая 1-го порядка ( ).

Воздействие линейное .

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

Установившаяся ошибка при отработке линейного воздействия

.

Установившееся значение ошибки Ошибка при отработке линейного внешнего воздействия называется скоростной ошибкой. Она пропорциональна скорости изменения воздействия g₀ и обратно пропорциональна общему коэффициенту усиления разомкнутой астатической системы 1-го порядка, который называется добротностью системы по скорости.

3. Система астатическая 2-го порядка ( ).

Воздействие параболическое .

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

Установившаяся ошибка при отработке параболического воздействия:

,

где коэффициенты ошибок равны:

,

,

,

.

Установившееся значение ошибки

Ошибка при отработке параболического внешнего воздействия называ6ется ошибкой по ускорению. Она пропорциональна ускорению внешнего воздействия и обратно пропорциональна общему коэффициенту передачи разомкнутой астатической системы 2-го порядка, который называется добротностью системы по ускорению.

3.2.1.3. Анализ влияния порядка астатизма системы на установившиеся ошибки при отработке типовых степенных воздействий

Обобщая приведенный анализ установившихся ошибок в системах различного порядка астатизма при отработке ступенчатых и медленно меняющихся воздействий, получим общие выражения установившихся ошибок в функции порядка астатизма и степени внешнего воздействия.

Пусть управляющее воздействие имеет форму , и изображения по Лапласу

Изображение ошибки при таком воздействии будет

.

Установившееся значение ошибки

.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

,

где k – общий коэффициент передачи системы;  - порядок астатизма системы; – передаточная функция, не содержащая нулевых полюсов.

Тогда установившееся значение ошибки

.

Отсюда видно, что только при , т. е. порядок астатизма системы  должен быть боше степени m воздействия.

При установившаяся ошибка имеет постоянную величину , что означает, что системы с астатизмом 1-го и 2-го порядка будут иметь постоянные ошибки при отработке линейного и квадратичного воздействий соответственно.