2.1.2. Векторно-матричное описание непрерывной системы
Обобщая записанную в примере систему уравнений состояния, запишем ее для системы порядка .
|
(2.1) |
.
Эту систему можно записать в векторно-матричной форме:
|
(2.2) |
,где А – матрица коэффициентов системы размерностью (n x n), называемая матрицей системы или матрицей состояния; X – действительный n-мерный вектор-столбец, компоненты которого переменные состояния; B – матрица коэффициентов системы при внешних воздействиях и поэтому называемая матрицей входа размерностью (n x m); U– действительный m-мерный вектор-столбец, содержащий в качестве своих элементов входные внешние воздействия (управляющие и возмущающие), называемый вектором входа.
Значения этих матриц легко можно записать из системы уравнений (2.1):
;
;
.
Если матрицы А и В постоянные, то система называется стационарной; если матрицы А и В – функции времени, то система называется нестационарной или системой с переменными коэффициентами.
Основное матричное уравнение (2.2) обычно дополняется уравнением для вектора выходных переменных:
|
(2.3) |
,где C – матрица выхода системы, размерность которой зависит от размерности векторов X и Y; в одномерной системе, где y есть скалярная переменная, матрица С есть строка размерностью n; D – матрица связи с внешними воздействиями, ее размерность определяется размерностью векторов U и Y.
Преобразование Лапласа матричного уравнения
Запишем основное матричное уравнение системы:
|
(2.4) |
.Рассмотрим сначала однородное матричное уравнение системы при U(t) = 0. Тогда уравнение (2.4) запишется в виде:
.
Выполнив
преобразование Лапласа с учетом начальных
условий, т.е. наличия вектора X(0),
получим
.
Объединяя члены,
содержащие изображение вектора X(s),
получим
или
,
откуда
,
где
I
– единичная
матрица; матрица
называется резольвентой матрицы А,
которую можно записать следующим
образом:
,
где
– определитель матрицы
;
– квадратная матрица, элементами которой
являются алгебраические дополнения
элементов
матрицы
;
– матрица, элементами которой являются
алгебраические дополнения элементов
матрицы
.
Матрица называется характеристической.
Ее определитель
называется характеристическим полиномом.
Уравнение
называется
характеристическим уравнением.
Рассмотрим неоднородное матричное уравнение системы:
,
.
Выполнив
преобразование Лапласа, принимая
начальные условия
,
получим:
,
,
,
где
называется матричной передаточной
функцией системы, которая вычисляется
следующим образом:
.
Заметим, что знаменатель H(s) это характеристический полином D(s) и корни характеристического уравнения D(s) = 0 являются одновременно полюсами передаточной функции системы H(s).
Пример:
Пусть уравнения состояния непрерывной части системы имеют вид:
,
.
Тогда матрицы системы, входа и выхода запишется в виде соответственно:
;
;
.
Определяем переходную матрицу
.
;
;
.
;
;
.