1.4. Оценка погрешности при прямых однократных измерениях

При этом типе измерений мы будем оценивать только систематическую погрешность, связанную с видом применяемых приборов. Это либо приведенная погрешность, либо погрешность отсчета. Следовательно, необходимо знать либо класс точности прибора, либо цену деления шкалы измерительного прибора.

Погрешность табличных величин, если она не оговорена в справочнике, берется равной 5 единицам в разряде, следующем за млад-шим. Например, если значение g берется равным 9,8 м/с², то Δg=0,05 м/c². Если же взять величину g равной 9,81 м/с², то Δg=0,005 м/с².

К погрешности табличной величины сведется и погрешность измерения массы, т.к. она определена по эталонным грузам (как правило, выгравирована на используемых грузах и перегрузках).

Отметим, что при записи значений измеряемых величин нули справа указывают на точность измерений. Например, такая запись длины L=1,00 м предполагает погрешность ΔL = 0,005 м, а при записи L = 1м, подразумевается ΔL = 0,5 м. Аналогично, запись значений масс в виде m=100 г и m=0,1 кг неэквивалентна с точки зрения точности. Правильная запись m=100 г = 0,100 кг. Еще один пример: если х=1,26∙10³, то погрешность Δх = 0,00510³ = 5, а при записи х=1260 получим погрешность Δх = 0,5, т.е. в десять раз меньше.

1.5. Оценка величины случайной погрешности

Случайные погрешности являются следствием случайных, неконтролируемых помех, влияние которых на процесс измерения невозможно учесть непосредственно, проявляются в хаотическом изменении результатов повторных наблюдений, могут отклонять результаты измерения от истинного значения в обе стороны. При обработке результатов эксперимента возникают два вопроса: 1) как найти из полученных значений наиболее вероятное значение измеряемой величины и 2) чему равна ожидаемая погрешность измерений? Ответ на эти вопросы дается теорией вероятностей. Согласно этой теории, случайные погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения (закону Гаусса).

Смысл этого закона заключается в следующем. Допустим, мы хотим измерить некоторую физическую величину, истинное (и нам неизвестное) значение которой есть х_о. Проведя несколько раз измерения, вместо х_о получаем набор значений х₁, х₂, … х_i, … x_n. Оказывается, что с помощью закона распределения мы хотя и не можем указать точное значение х_о, но можем найти, с какой вероятностью Р величина х_о окажется в любом интервале значений а<x_o<b . Область значений а<x_o<b называют доверительным интервалом. По закону Гаусса эта вероятность определяется функцией плотности распределения

(1.4)

и равна

. (1.5)

Функция плотности распределения f(x) характеризует число случаев, когда измеряемая величина попала в интервал от x до x+dx (dx- малое изменение измеряемой величины). x – набор значений, которые мы получаем в результате измерения, x – их среднее арифметическое, а среднее квадратичное отклонение

, (1.6)

. (1.7)

Рис. 1.1.

Как видно из рисунка, гауссова кривая, имеющая на графике симметричный колоколообразный вид, характеризуется двумя параметрами: положением вершины – x и шириной 2σ – расстоянием между точками перегиба. Значение x обычно принимают за ту величину, которую надо было измерить, а σ характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше σ, тем уже гауссова кривая и тем, следовательно, точнее проведено измерение. Площадь под кривой от а до b определяет долю случаев, в которых измеряемая величина лежит в этом интервале (т.е. вероятность того, что измеряемая величина попала в интервал от а до b).

Следует подчеркнуть, что x – не истинное значение измеряемой величины, а лишь некоторое приближение к нему. Чем более широким выбирается доверительный интервал, тем выше вероятность попадания истинного значения в этот интервал. Так, например, вероятность отклонения истинного значения от положения вершины гауссовой кривой x не более чем на σ равна 0,683, а не более чем на 2σ – 0,955.

Бесконечное увеличение числа измерений не дает заметного увеличения точности. Зависимость надежности (вероятности) от числа измерений сложна и не выражается в элементарных функциях. Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз надо увеличить стандартный доверительный интервал S_x, чтобы при определенном числе измерений n получить требуемую вероятность (надежность) Р.

Стандартный доверительный интервал или среднеквадратичная ошибка среднего согласно выводам математической статистики убывает пропорционально и определяется формулой:

. (1.8)

Таблица 1.1

Таблица коэффициентов Стьюдента t (P,n)

P N	0,5	0,7	0,9	0,95	0,999
3	0,82	1,3	2,9	4,3	31,6
5	0,74	1,2	2,1	2,8	8,6
7	0,72	1,1	1,9	2,4	6,0
10	0,70	1,1	1,8	2,3	4,8
20	0,69	1,1	1,7	2,1	3,9
	0,67	1,0	1,6	2,0	3,3

Чтобы найти величину случайной погрешности, необходимо стандартный доверительный интервал умножить на коэффициент Стьюдента.

Δх_сл.= t (P,n) ^. S_x. (1.9)