108

разом, что вектор повернется на угол от +π до +π 2 , т.е. на угол (−π 2) (рис. 53, б).

Im	а		б		Im	в	Im
		ω →∞	ω →∞
		ω = 0	ω = 0				ω = 0		β
								γ
	α	Re		−α	Re			γ	Re
							ω →∞		−β
							α

Рис. 53. Анализ сомножителей характеристического вектора

3. Если корни равны	p1,2 = −α ±iβ ,			то сомножители
(α −iβ +iω) ×(α +iβ +iω)	при аналогичном изменении ω
повернутся на углы Ψ = π		2	+γ и Ψ	= π	2	−γ	(см.
1			2

рис. 53, в). Тогда вектор, соответствующий данному произведению повернется на угол Ψ1 + Ψ2 = 2 π 2 .

4.Аналогично, если p1,2 = +α ±iβ , то Ψ1 + Ψ2 = −2 π 2 .

Таким образом, если характеристическое уравнение из n корней будет иметь l корней с положительной вещественной частью, то каковы бы ни были эти корни (вещественные или комплексные), им будет соответствовать сумма углов

поворота, равная (−l π 2) , всем же остальным n −l корням

характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов

поворота, равная (n −l) π 2 . Общий угол поворота вектора D(iω) при изменении ω от 0 до ∞

Ψ = (n −l) π 2 − l π 2 = n π 2 − l π .

109

Вобщем случае i-й сомножитель ( p − pi ) выражения (45)

ввекторной форме можно представить в комплексной плос-

кости (рис. 54) при подстановке				p = iω .
	Im			Д
	p − pi
	ρi			p = iω
	A
	pi
	Ψi				Re
0

Рис. 54. Представление i-го сомножителя характеристического вектора р(iω)

Каждый сомножитель ( p − pi ) = iω − pi = ρi ei Ψi , где ρi - модуль вектора АД ;

Ψi - фазовый угол вектора АД (его аргумент). Тогда уравнение (41) можно представить как

a	0	(ρ ρ	2	... ρ	n−1	ρ	n	) ei Ψ1	ei Ψ2	... ei Ψn−1 ei Ψn = 0
		1
							n
или				R exp(i ∑Ψi ) = 0,						(47)
							1		n
где R - модуль Михайлова, R = a0 ∏ρi .
									i=1	до (∞) , то угол Ψi
Если изменять частоту ω от (−∞)

каждого из векторов изменится от (−π 2) до (π 2).

К р и т е р и й М и х а й л о в а читается так:

для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора D(iω) в комплексной плоскости, полу-

ченный в результате подстановки p = iω в характеристическое уравнение, при изменении 0 <ω < ∞, нигде не обраща-

ясь в	н у л ь,	развернулся	п о с л е д о в а т е л ь н о
против	часовой	стрелки на	угол π	2	n (где n - степень

уравнения).

Пример: CАР описана дифференциальным уравнением

110

движения

	0.001	d 3 y		+ 0.02		d 2 y	+ 0.4		dy	+ 0.5y = kx .
		dt	3			dt 2			dt

Оценить устойчивость САР по критерию Михайлова. Решение:

1. Запишем уравнение в операторной форме: (0.001 p3 +0.02 p2 +0.4 p +0.5) y = kx.

2.Приравняв собственный оператор нулю D( p) = 0, получим характеристическое уравнение

0.001 p3 +0.02 p2 +0.4 p +0.5 = 0 .

3.Делаем подстановку p = iω

(−0.001 iω3 ) −0.02 ω2 +0.4 iω +0.5 = 0

и выделяем вещественную и мнимую части (Re и Im):

Вещественная часть Re = 0.5 − 0.02 ω2 ;
Мнимая часть				Im = 0.4 ω −0.001 ω3 .
4.Для отыскания точек годографа составим табл. 6.1.
								Таблица 6.1
ω	0		1		5	10	20	50	100
Re	0.5		0.48		0	-1.5	-7.5	-49	-199
Im	0		0.4		1.9	3	0	-105	-960

5.Строим годограф вектора на комплексной плоскости

(рис. 55).

6.При ω → 0 lim Im = −∞, т.е. годограф вектора последовательно и не обращаясь в нуль повернется против часовой

стрелки на угол, не превышающий значения π						2	3. Таким
образом, САР устойчива.
	Im		3
2
			1
					Re
-3 -2 -1			0 1	2 3
			-1
			-2
			-3