111

Рис. 55. Годограф Михайлова

К р и т е р и й у с т о й ч и в о с т и Н а й к в и с т а

основан на построении амплитудно-фазово-частотной характеристики р а з о м к н у т о й системы при изменении частоты ω от 0 до + ∞.

Устойчивость системы определяется в следующем порядке:

1.Строится структурная схема САР;

2.Разрывают замкнутую систему, нарушая одну из связей контура (рис. 56, а);

а

λ	−1	ϕ
		W0(p)
	η
	−1	Wp (p)

б
	Im
−1	ω=0
	Re

Рис. 56. Структурная схема САР и ее АФЧХ

3.Определяют передаточную функцию разомкнутой системы

W( p) =W0 ( p) Wp ( p);

4.Строят АФЧХ разомкнутой системы

W(iω) = A0(ω) Ap (ω) exp{−i[γ0(ω) +γ p (ω)]}, (48)

где A0 (ω), Ap (ω) - соответственно амплитудно-частотные характеристики объекта и регулятора;

112

γ0 (ω),γ p (ω) - соответственно фазово-частотные характеристики объекта и регулятора.

Введя замену A(ω) =A0(ω) Ap(ω) для разомкнутой системы, получим АФЧХ W (iω) = A(ω) exp{−i[γ0 (ω) +γ p (ω)]};

5.Для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ соответствующей разомкнутой системы не охватывала на комплексной плоскости точку с координатами (-1, i0). Произвольная АФЧХ устойчивой системы показана на рис. 56, б.

Пр и м е р: Оценить устойчивость САРч с регулятором прямого действия с помощью критерия Найквиста, если

степень неравномерности регулятора δ p = 0.1, время двигателя Ta = 0.9c , время регулятора Tpa = 0.001c , время катаракта Tka = 0.02c, степень неравномерности статической характеристики двигателя δa = 0.1.

Решение:

1.Определим передаточную функцию разомкнутой системы (см. разделы 5. 2 и 5. 3)

W ( p) =	1			1			.	(49)
	Ta p +δa		T 2	p2 +T	p +δ
			pa	ka		p

2.Определим АФЧХ (подставим для этого в выражение

(49)значение p = iω и получим выражение (48) для

АФЧХ разомкнутой системы), где

	A0	(ω) =	δa	;
			+T ω2
		δ 2
		a	a

Ap =		1				.
	+(T 2	−2 T 2	δ		) ω2 +T 4
δ 2				p		ω4
p	ka	pa			pa

3. Определим АЧХ A(ω) = A0 (ω) Ap (ω) при изменении

0 <ω < ∞, результаты сведем в табл. 6.2. 4. Определим ФЧХ, где γ (ω) =γa (ω) +γ p (ω)

113

γa (ω) = −arctg(ω Ta δa ) ;

γp (ω) = −arctg(ω Tka (δ p −ω2 Tpa2 )).

Результаты расчета γ (ω) при 0 <ω < ∞ сведем в табл. 6.2. Таблица 6.2

		ω,	1		0			2					4			6			8			10			20					30			∞
			c
		A(ω)			10			9,28					7,81			6,4			5,3			4,47			2,42					1,64			0
		γ (ω)			0			-21,7					-38,5			-49			-57,7			-61,3			-75,6					-80,2			0
											Im
																											ω=0
																										10
									-2					2			4			6			8								Re
						-4
																									ω=2
													ω=20 ω=8					ω=6				ω=4
		Рис. 57. Амплитудно-фазовая частотная характеристика
		О ц е н к а у с т о й ч и в о с т и п о д и а г р а м -
	м е		В ы ш н е г р а д с к о г о получила широкое исполь-

зование для систем автоматического регулирования, описываемых уравнением движения третьего порядка, т.е. для САР с регулятором прямого действия.

Характеристическое уравнение при этом имеет вид

a	p3 + a p2	+ a	2	p + a = 0.	(50)
0	1			3

Разделим все члены этого уравнения на коэффициент a3 и

введем вместо р новую переменную p = q 3	a3 .
	a0

Нормированный вид этого уравнения

				114
q3 + χ q2 +ξ q +1 = 0 ,									(51)
где χ,ξ - коэффициенты
χ =	a			a	2	2	=	a
		1 3						1 ;
								3 a02 a3
	a2			a0
			a2	a2				a2
ξ =			a3 3	a0		=	3 a0 a32 .
Эти коэффициенты называются параметрами Вышне-
градского.
Поскольку после нормирования уравнения (50) первый и
последний коэффициент равны единице, параметры χ									и ξ

стали определяющими параметрами для любой САР третьего порядка в плоскости χ = f (ξ) .

Условия устойчивости для САР с регулятором прямого действия были впервые сформулированы Вышнеградским в 1876г. (до появления критерия Гурвица). Это условие χ > 0,ξ > 0 при χ ξ >1. Граница устойчивости САР являет-

ся уравнением гиперболы χ = ξ1 . Область устойчивости ле-

жит выше этой кривой при χ > 0 и ξ > 0 (рис. 58).

а	ξ	Д	E	б	y
			III		0	t
			II	F
	3
			C	в y
	2				0	t
	I
	1			г	y
	IV				0	t
				χ
	1	2	3	4

115

Рис. 58. Диаграмма устойчивости Вышнеградского В точке «С» с координатами χ = 3 и ξ = 3 все три корня

уравнения (51) равны, следовательно, характеристическое уравнение имеет вид (σ +1)3 = 0 , где σ1 =σ2 =σ3 = −1.

Вобласти устойчивости САР возможны два случая:

–когда все три корня вещественны;

–когда один корень вещественный, а два комплексных. Граница между этими возможными случаями определяет-

ся равенством нулю дискриминанта уравнения третьей степени, который может быть получен из формулы дискриминанта

χ2 ξ2 −4 (χ3 +ξ3) +18 χ ξ −27 = 0.

(52)

Это уравнение дает на плоскости χ −ξ кривые СЕ и CF.

Внутри области ECF дискриминант отрицателен, следовательно, в этой области имеется три вещественных корня (область III).

В остальной части области устойчивости дискриминант положителен, что соответствует наличию пары комплексных корней.

Существенное значение имеет взаимное расположение вещественных и комплексных корней. Здесь следует выделить два случая:

I – пара комплексных корней лежит ближе к мнимой оси, чем к вещественной;

II – вещественный корень лежит ближе к мнимой оси, чем пара комплексных.

Границей между этими двумя случаями является расположение всех корней на одинаковом расстоянии от мнимой оси.

Уравнение этой границы можно найти, положив значения корней

q1 = −α,q2 = −α ± iβ .

Тогда характеристическое уравнение примет вид

116

q3 + χ q2 +ξ q +1 = (q +α) (q +α −iβ) (q +α +iβ) .

Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях q после исключения α и β дает искомое уравнение,

соответствующее граничному случаю

2 χ3 −9 χ ξ +27 = 0 .

Кривая СД (см. рис. 58, а) на плоскости χ −ξ соответст-

вует этому уравнению.

Таким образом, область устойчивости разбивается на три части I, II и III. В области III, где все корни вещественные в зависимости от начальных условий получим апериодический переходный процесс одного из видов, приведенных на рис. 58, б.

Вобластях I и II, где имеется один вещественный корень

идва комплексных, переходный процесс будет иметь соответственно формы, показанные на рис. 58, в и г.

Вобласти I быстрее затухает экспонента и переходный процесс в основном будет определяться колебательной составляющей.

Область I – это область колебательных процессов.

Вобласти II, наоборот, затухает колебательная составляющая. Это область монотонных сходящихся процессов.

Область IV – область расходящихся (неустойчивых) переходных процессов.

§ 6. 5. Качество процесса регулирования

Под качеством процесса регулирования понимают способность автоматического регулятора поддерживать с достаточной точностью заданное значение регулируемой величины.

Качество процесса тем выше, чем меньше отклонение регулируемой величины от заданного значения и чем быст-

117

рее практически устанавливается заданный установившийся режим.

Следовательно, первой стороной качества регулирования является точность поддержания заданного значения регулируемого параметра, когда на систему регулирования не воздействуют какие бы то ни было внешние возмущающие факторы. Другой стороной качества регулирования является качество переходных процессов, которые возникают при действии на систему различных по характеру и форме внешних воздействий.

Качество процесса регулирования оценивается (рис. 59) прежде всего статической ошибкой (степенью неравномерности статической характеристики) по окончании переходного процесса в установившемся режиме работы, которая определяется степенью неравномерности регулируемой величины

δ= 2 ϕуст.хх. −ϕуст.н. 100% ,

ϕуст.хх. +ϕуст.н.

атакже степенью нестабильности регулируемой величины Ψ, определяемой размахом колебаний в установившемся

режиме. В соответствующих ГОСТах устанавливают допускаемую степень нестабильности [Ψ] для определенных ус-

тановившихся режимов. Как правило, это режим холостого хода и номинальные режимы.

Свойства переходного процесса определяются прежде всего максимальным отклонением регулируемой величины от исходного режима или перерегулированием.

Все параметры вычисляют или в относительных единицах или в процентах.

Важнейшим показателем качества переходного процесса является время переходного процесса τ , определяемое отрезком времени от начала переходного процесса до момента, начиная с которого отклонение регулируемой величины не будет выходить за пределы зоны допускаемой степени нестабильности установившегося режима работы.