75

δa – коэффициент самовыравнивания или коэффици-

ент неравномерности звена.

Таким образом, апериодическое звено (одноемкостное) описывается дифференциальным уравнением первого порядка, поэтому к определению звена вводится дополнение –

«апериодическое звено 1-го порядка».

В операторной форме записи

Ta py +δa y = x

(13)

или

y(Ta p +δa ) = x ,

где выражение в скобках называется

с о б с т в е н н ы м

о п е р а т о р о м з в е н а.

Передаточная функция звена

W ( p) =

y

=

1

=

k

.

(14)

x

T p +δ

a

Tp +1

a

Х а р а к т е р и с т и ч е с к о е у р а в н е н и е получим, приравняв знаменатель W ( p)нулю

Ta p +δa = 0 или Tp +1 = 0 . Рассмотрим переходной процесс одноемкостного звена

при скачкообразном возмущении входной координаты ( x =1) согласно уравнения движения (12).

Чтобы получить однородное диффуравнение с нулевой правой частью, введем вместо x в нашем случае величину

x

δa x1,

где x

=

.

1

δa

dy

Получим искомое уравнение

T

+δ

a

y = x δ

a dt

1 a

или

T

dy

+δ

a

( y − x ) = 0.

a dt

1

x

Введем новую переменную

Ψ = y − x

= y −

.

1

δa

dy

dΨ

Так как

=

, получим линейное дифференциальное

dt

dt

уравнение с нулевой правой частью

76

T	dΨ	+δ	Ψ = 0 .	(15)
a dt		a

Общий интеграл (решение) этого уравнения

Ψ = ce pt ,

где c - коэффициент (постоянная); p - показатель степени.

Первая производная ddΨt = ce pt p . Подставив в уравне-

ние (15) Ψ и	dΨ	, получим
	dt
		T ce pt p +δ		ce pt
			a		= 0
или		a
		Ta p +δa = 0 .			(16)

Из уравнения (16), которое называется х а р а к т е р и с –

т и ч е с к и м, определим значение p = −δa .

Ta

Х а р а к т е р и с т и ч е с к о е уравнение можно получить более простым способом, для этого необходимо уравнение (15) записать в операторной форме:

Ta pΨ +δaΨ = 0 или Ψ(Ta p +δa ) = 0 .

(17)

Так как Ψ не равно нулю, то выражение, стоящее перед переменной, равно нулю (Ta p +δa = 0 ).

Это выражение Ta p +δa , аналогичное выражению (16),

называется собственным оператором звена и обозначается как d( p) . Собственный оператор обладает всеми свойства-

ми простого оператора (см. начало гл. 5).

Таким образом, чтобы определить p в формуле общего

интеграла уравнения необходимо дифференциальное уравнение представить в операторной форме записи, выделить собственный оператор и, приравняв его к нулю, из полученного характеристического уравнения найти значение p .

Постоянная c определяется путем подстановки начальных условий (н.у.) в выражение общего интеграла (решения) уравнения (15).

77

Начальные условия для данной задачи:

и

dy

= 0 (рис. 40).

dt

δa

δa

t ,

t

Таким образом, Ψ = ce−

x

= ce−

Ta

y −

Ta

δa

δa

x

x

e−

t

Решение уравнения (12)

y −

= −

Ta

δ

δ

δa

t ) .

x

(1 − e−

или

y =

Ta

δ

при t = 0 y = 0

иc = − x .

δa

(18)

Переходный процесс звена рассчитывается по выражению (18) и представлен на рис. 40.

x

	x
0	t

y

x									y = cept	k
		k′
δ
						Ta
0										t

Рис. 40. Переходной процесс апериодического одноемкостного звена при скачкообразном

возмущении на входе, x =1

Экспонента асимптотически приближается к значению y = δx при t → ∞. При t = Ta из выражения (18) имеем

			78
y =	x	(1−e	−δa	) = k	′	= const.	(19)
	δa

Этим переходным процессом возможно воспользоваться в эксплуатации с целью определения коэффициентов уравнения движения (12) Ta и δa при помощи так называемого

имитатора переходного процесса для подобного звена, например, дизеля, системы охлаждения, компрессора, котла и т.п. Имитатор представляет собой устройство, позволяющее скачкообразно изменить входную координату звена на величину x . С помощью осциллографа записывается переходной процесс y = f (t).

Определяют коэффициент усиления звена k как отношение k = xy после завершения переходного процесса. Как

следует из рис. 40,	k =	y	=		x		1	=		1	.
		x		δa			x
									δa

Таким образом, δa = 1k , где k определено из осцилло-

граммы. Ta определяют следующим образом. Откладывают

на оси ординат отрезок	k′ =	x	(1 − e	−δ	) . На оси абсцисс оп-
		δa

ределится Ta (показано стрелкой на рис. 40).

Амплитудная фазовая частотная характеристика (АФЧХ) апериодического (одноемкостного) звена W (iω) может

быть определена по его передаточной функции при подста-

новке в нее величины			p = iω при				0 <ω < ∞.
W (iω)=	a	exp(iω)=			1		=		1		= Re+ Im .
				T	(iω)+δ			T (iω)+1
	A					a
				a

Раскрытие W (p) возможно путем умножения и деления

T(iω)−1

еена выражение. T (iω)−1.

При этом выделяются вещественная и мнимая части вы-

ражения:

						79
Re =		k				- вещественная часть, Im = −		kTω		-
		2	2	+1				2 2	+1
T		ω				T		ω

мнимая часть.

В системе координат Re−Im при изменении 0 < ω < ∞

возможно построить амплитудную фазовую частотную характеристику (рис. 41, в).

Модуль вектора A(ω) определится как

	A(ω) = Re2 + Im2 =		k		.
		T 2ω2
					+1
	Сдвиг фаз определится как tgγ (ω) =		Im	.
			Re

После преобразований получим ФЧХ (см. рис. 41,б)

γ (ω) = −arctg(ωkT ) .

Определив вещественную и мнимую составляющие ( Re и Im), получим

	W (iω) = A(ω) exp[−iγ (ω)]=				k	exp[− i arctg(ωT )],
					T 2ω2 +1
	АФЧХ				АЧХ		ФЧХ
	где A(ω) и γ (ω) - соответственно зависимости							a		и γ от
								A

частоты колебаний. На рис. 41 соответственно приведены АЧХ, ФЧХ и АФЧХ.

		a		АЧХ и	ФЧХ строятся по данным			эксперимента как
			= f (ω)		и γ = f	2	(ω) соответственно.	При	построении
		A		1
								k
	АФЧХ модуль вектора определяют как								, а угол γ
								2 2
							T ω		+1

для каждого значения частоты ω определяют из осциллограммы переходного процесса. АФЧХ позволяет определить частотные характеристики звена, при которых может выявиться зона резонансного усиления внесенных в движение звена возмущений, например, при ω2 .

80

а

a

б

γ

A

АЧХ

ФЧХ

ω

k

π

ω

−

в

Im

2

АФЧХ

k

ω = 0

γ

Re

ω1

ω3

ω2

Рис. 41. Частотные характеристики одноемкостного апериодического звена

Как правило, в качестве одноемкостного типового звена представляют основные объекты судовой автоматики, например, двигатель, котел, компрессор и т.д.

В зависимости от значения фактора устойчивости объекта, т.е. в зависимости от взаимного расположения характеристик подвода и отвода энергии, одноемкостные объекты разделяются на статические ( F > 0 ), астатические ( F = 0 ) и неустойчивые объекты ( F < 0 ).

§ 5.3. Апериодическое звено (двухъемкостное, 2-го порядка)

Примерами такого типового звена могут быть регуляторы прямого действия частоты и температуры, двухконтурная система охлаждения, двухъемкостный тепловой аккумулятор (рис. 42). Источник энергии находится в 1-ой полости, а процесс аккумулирования тепла исследуется во второй. Таким образом, система состоит из двухъемкостных звеньев, соединенных последовательно.

81

	tвых0 1	t0
		вых2
	а	б
		t0			t0
		вх1	k1	k2	вых2
	σ tвх0	(x)			( y)
			W ( p)	W ( p)
			1	2

Рис. 42. Схема апериодического двухъемкостного звена второго порядка:

а - функциональная схема; б - структурная схема

Составим систему дифференциальных уравнений, определяющую тепловые процессы двухъемкостного звена, на базе уравнения (11):

T	dtвых0 1			+t0	= t0	- для 1-й полости;
1	dt			вых1	вх
T	dtвых0	2		+t0	= t0	- для 2-й полости.
2	dt			вых2	вых1

После ввода относительных координат и преобразований системы уравнений получим дифференциальное уравнение 2-го порядка для двухъемкостного звена

		T 2	d 2 y		+T	dy		+ y = kx,		(20)
						dt
	T 2	p	dt2		k
где		= T T ,	T	= T +T				и k = k k	2	.
	p	1 2	k	1		2		1

Разделив все члены уравнения (20) на k и введя замены, получим распространенную в автоматике другую форму этого уравнения

T 2

d 2 y

+T

dy

+δ

y = x,

(21)

dt 2

Tp

pa

ka dt

p

где

Tpa =

- время регулятора;

k

Tk

T

=

- время катаракта;

ka

k

82

δ = 1k - степень неравномерности статической харак-

теристики звена.

К аналогичному результату придем, если функцию двухъемкостного звена (см. рис. 42, б) представим как произведение передаточных функций последовательно соединенных полостей

W( p) =W

( p) W

( p) =

k1

k2

=

k

.

T1 p +1

T2 p +1

1

2

T T p2

+(T +T ) p +1

y

1

2

1

2

Далее,

из выражения W ( p) =

получим дифференци-

x

альное уравнение движения двухъемкостного апериодического звена (20). Этот путь, как видим, намного проще и удобнее, чем преобразование системы уравнений в конечное выражение (20).

Передаточная функция данного звена может быть пред-

ставлена из уравнения (21)		как
W ( p) =		1		.	(22)
	T 2	p2 +T p +δ
	pa	ka	p

Решение дифференциального уравнения движения (20) двухъемкостного звена 2-го порядка (согласно степени уравнения) производится, например, методом подстановки

общего интеграла уравнения				y = c e p1t			+ c e p2t			(аналогично
				1			2
решению уравнения (15)), где					p1,2 - корни характеристиче-
ского уравнения двухъемкостного звена
		T 2 p2 +T p +1 = 0 ,								(23)
		p	k
и	p = − Tk		± ( Tk )2 − 1 .
	1,2	2Tp2			2Tp2			Tp2
Условием	протекания		апериодического							переходного
процесса является выражение (					Tk	)2 ≥		1	.
					2Tp2
							Tp2

Тогда корни характеристического уравнения (23) будут вещественны и отрицательны, а общий интеграл уравнения

83

(20) определяют апериодический характер переходного

процесса (рис. 43), например, при «толчкообразном» воз-

мущении на входе в звено x . Значения c1 и c2

определяются

при начальных условиях:

, dy = d 2 y = 0. Значения

при t = 0, x = 0, y = c

+ c

p и

p

1

2

dt

dt 2

1

2

определяются путем решения характеристического уравне-

ния.

При «скачкообразном» возмущении x =1 решение имеет

вид

1

y =

(1+c e

− p1t +c

2

e− p

2t ) ,

(24)

δ p

1

T ′

T ′′

где

c

=

;

c

2

=

;

p

= 1

;

p

2

=

1 .

1

T ′−T ′′

T ′−T

′′

1

T ′

T ′′

x

0

t

y

y = c e− p1t

+c e− p2t

зона

1

2

c e− p1t

нечувствительности

1

c1 +c2

c e− p2t

c

2

c2

1

t

0

τ

Рис. 43. Переходной процесс двухъемкостного звена

(апериодического) при «толчкообразном» возмущении

Коэффициенты решения определятся как

					84
T	′	= T −	2Tpa2		T	′′	= T +	2Tpa2
			T 2	− 4T 2 ;				T 2	− 4T 2 .	(25)
		k	k	pa			k	k	pa

Переходный процесс представлен на рис. 44.

x

1

	0	t
y		a =T′+T′′

1

δт.а.

0

t

Рис. 44. Переходный процесс двухъемкостного апериодического звена при «скачкообразном» возмущении

Переходной процесс имеет характерную точку перегиба

(т. А), касательная к кривой в этой точке позволяет определить T ′+T ′′.

Для подобного звена проводится эксперимент путем внесения ступенчатого возмущения на входе. При этом осциллографируется изменение выходного параметра во времени, то есть переходный процесс двухъемкостного апериодического звена при «скачкообразном» возмущении. Изменение

85

входной координаты производят с помощью специального устройства, так называемого имитатора.

Таким образом, если экспериментально получена кривая переходного процесса звена, то, решив систему алгебраических уравнений

c + c	2	= −		1	(из уравнения (24) при t = 0 );
1			δ p
c + c	2	=	T ′+T ′′			,
1		T ′−T ′′

получаем T ′ −T ′′ = −aδ p . Из системы уравнений

T ′ −T ′′ = −aδ p ,

T ′+T ′′ = a

получим числовые значения

	T	′	=	a −δ pa	и	T	′′	=	a +δ pa	.
				2					2

Далее, подставив значения T ′ и T ′′ в выражения (25), получим значения Tpa и Tk . Коэффициент усиления звена k

определится как отношение значения выходной координаты к значению входной k = xy после завершения переходного

процесса и, следовательно,

δ p = 1k .

АФЧХ звена есть геометрическое место точек конца вектора передаточной функции при p = iω

W (iω) =			1	=		1	. (26)
	2	2	+Tka (iω) +δ p		(δ p −ω	2 2
Tpa (iω)						Tpa ) +iωTka

Передаточная функция может быть представлена в виде комплексного числа W (iω) = u + iv = Re+ Im ,

86

где u(Re) - вещественная часть, iv(Im)- мнимая часть пере-

даточной функции.

Умножив и разделив выражение (26) на разность

((δ −ω2Tpa2 ) −iωTka ),

получим формулу для

Re и

Im:

Re =

δp −ω2Tpa2

;

T 4 ω4

+ (T 2

− 2T 2 δ

p

)ω2

+δ 2

pa

ka

pa

p

Im = −

ωTka

.

T 4 ω4 +(T 2

−2T 2

δ

p

)ω

2 +δ

2

pa

ka

pa

p

По полученным значениям Re и Im можно построить

АФЧХ, аналогичную изображенной на рис. 41, в.
АЧХ ( A(ω)	или	a	(ω) ) получается как вектор W (iω) в
		A
системе координат ReIm при условии 0 < ω < ∞
A(ω) = Re2 (ω) + Im2 (ω) =						+ (T 2	1			)ω2	+δ 2 .
			T 4		ω4		− 2T 2 δ		p
				pa		ka		pa			p
ФЧХ (γ (ω) )	определится как
	γ (ω) = −arctg				ωTka			,
						2	2
				δ p −ω Tpa

где 0 < ω < ∞.

Предполагается, что статическая характеристика звена в рассматриваемом диапазоне линейна. Как правило, для наиболее распространенных в судовой практике двухъемкостных апериодических звеньев при «скачкообразном» возмущении на входе это предположение вполне оправдано.

87

§ 5. 4. Колебательное звено (двухъемкостное, 2-го порядка)

Пример такого звена представлен на рис. 42, а. Но в отличие от апериодического звена, описанного в разделе 5.3, при соответствующих условиях характер переходного процесса является колебательным, т.е. при определенном соотношении коэффициентов уравнения движения звено из апериодического превращается в колебательное.

Вид уравнения движения при этом сохраняется:

T 2	d 2 y	+T	dy	+ y = kx.
			dt
p dt 2		k

Условием колебательного переходного процесса являет-

ся выражение	(	Tk	)2 <		1	.
		2Tp2
				Tp2

Тогда корни характеристического уравнения становятся комплексно-сопряженными p1,2 =α ±iβ ,

где i - мнимая единица, i = −1;

α -вещественная часть выражения, α = − Tk ;

2Tp2

β -мнимая часть выражения, β = 1	− ( Tk	)2 .
Tp2	2Tp2

Решение уравнения движения выполним путем подстановки

y = c e p1t +c	2	e p2t = c e(α +iβ)t +c				2	e(α −iβ)t
1				1
или
y = eαt (c1eiβt +c2e−iβt ).							(27)
Введем соотношения Эйлера для комплексной области
eiβt = cos βt + isin βt			и	e−iβt	= cos βt −isin βt .

Тогда, подставив соотношения Эйлера в уравнение (27), получим

y = eαt [(c	+ c	2	)cos βt + i(c		− c	2	)sin βt].	(28)
1				1
Обозначив c1 + c2 = c sin γ и				i(c1 − c2 ) = c cosγ ,				получим
значения новых постоянных γ				и c

88

c = 2 c c	2	и	γ = arctg	c1 + c2	.
1				i(c1 − c2 )

Окончательно после простых преобразований уравнения

(28) получим

y = ceαt sin(βt +γ )

или

Tk

−

t

1

T

2T

2

2

y = ce

p

sin

T 2

−(

k

)t +γ

(29)

(

2T 2 )

.

p

p

На рис. 45 представлен переходный процесс:

а) при «толчкообразном» возмущении, б) при «скачкообразном» возмущении. Здесь T - период колебаний, T = 2βπ ,

при этом частота колебаний процесса f = 2βπ .

Рис. 45. Переходные процессы двухъемкостного колебательного звена второго порядка

Передаточная функция, АЧХ, ФЧХ и АФЧХ аналогичны предыдущему случаю (см. раздел 5. 3).

89

§ 5. 5. Интегрирующее звено

Простейшее интегрирующее звено представлено на рис. 32. Зависимость между входной и выходной координатами определяется уравнением (9). Это же уравнение можно представить как

	1 t2
y =		∫xdt + y0 .	(30)
	T
	c t
1

Переходный процесс интегрирующего звена и его характеристики приведены на рис. 46. Так, при «скачкообразном» возмущении, например, при x =1

		t2
y =	1	t	+ y0	=	t2 −t1	+ y0 .
	Tc				Tc

t1

Отклонение выходной величины пропорционально интегралу отклонения входной координаты x , поэтому такие звенья называют интегрирующими.

a x

б

a

Im

A

АЧХ

1

t

ω

Re

ω = ∞

x =1

γ

ω → 0

ФЧХ

y0

ω

t

Tc

t2 t

− π

1

2

Рис. 46. Переходный процесс интегрирующего звена и его характеристики

Передаточную функцию интегрирующего звена получим из уравнения (9), записанного в операторной форме

90

x = T py	и	W ( p) =	y	=	1	.
c			x	Tc p
АФЧХ при подстановке в W ( p)				p(iω) определится

при условии 0 < ω < ∞

	W (iω) =	1
		T (iω)
		c

	=	a		(ω)exp[iγ (ω)].	(31)
		A

	АФЧХ	АЧХ ФЧХ
	Выделив Re и Im, получим	W (iω) =	1	exp(−i	π ) .
			T ω
					2
			c

§5. 6. Дифференцирующее звено

Видеальном дифференцирующем звене (см. рис. 47, а) зависимость между входной и выходной координатами определяется уравнением

y = k

dx

.

(32)

dt

В операторной форме уравнение движения

y = kpx .

Передаточная функция W ( p) =

y

= kp,

откуда

x

π ) .

W (iω) = k(iω) = kω exp(i

(33)

2

АФЧХ

АЧХ ФЧХ

Уравнение движения дифференцирующего звена показывает, что при «ступенчатом» возмущении (см. рис. 47, б) переходный процесс начинается мгновенным импульсом бесконечной (теоретически) амплитуды. Но так как длительность времени изменения входной координаты стре-

мится к нулю, то сразу же за установлением dxdt = 0 выход-

ная координата также принимает нулевое значение y = 0 .

91

Звено состоит из катаракта 1 и пружины 2 (см. рис. 47, а). В технике такое звено принято называть изодромом. Если через изодром (дифференцирующее звено) проходит обратная связь, то ее называют изодромной или гибкой обратной связью (ГОС).

a	x	y	б x

2

1

t

y

t

в a

АЧХ

γ

Im

A

ФЧХ

ω → ∞

π

АФЧХ

2

ω = 0

ω

ω

Re

Рис. 47. Дифференцирующее звено, его переходный процесс

ихарактеристики

§5. 7. Звено чистого запаздывания

Звеном чистого запаздывания называется звено, в котором изменения выходной координаты y полностью повто-

ряют изменения входной координаты x , но смещены относительно ее во времени, т.е. происходят с некоторым запаздыванием τ (рис. 48, а).

Реально такое звено не существует. Путем искусственного введения в цепочку САР звеньев запаздывания удается приблизить их математическое описание к реальным про-