3. Среда наполнена атомами, атомные оболочки заполнены электронами (z – электронов на атом).
Плотность среды - ρ г/см3,
плотность атомов: nат= ρ·NА/A см-3, где NА- число Авогадро,
плотность электронов: ne =Z·nат= Z/A ·ρ·NА см-3 .
Если частица проходит в среде путь dx, то она взаимодействует почти одинаково со всеми электронами, которые располагаются на одном и том же расстоянии b от ее траектории, и каждому из них передает энергию Te. Количество таких электронов на пути dx будет определяться плотностью электронов и объемом кольцевого цилиндра длиной dx с внутренним радиусом b и внешним радиусом b+db . Объем этого цилиндра – 2πbdbdx. Электронов в нем будет:
ne=2bdbdxZ nат.
Каждому из этих электронов пролетающая частица передает энергию E, а всем электронам, находящимся на расстоянии b от нее в слое db на пути dx, частица передает энергию
*
ne=2bdbdxZ
nат
.
Энергия частицы при этом взаимодействии уменьшается, и поэтому производная dE(b)/ dx
отрицательна.
4. Чтобы найти ионизационные потери частицы на пути dx со всеми электронами среды, с которыми она взаимодействует с разными параметрами удара, надо проинтегрировать по всем возможным параметрам удара от bmin до bmax:
Пределы интегрирования должны быть конечны, так как из самых общих физических соображений удельные потери энергии (потери энергии на единицу длины пути) dE/dx должны иметь конечную величину - частица с конечной энергией не может потерять бесконечно большую энергию. Отсюда следует, что bmin≠0 и bmax≠ ∞. Рассмотрим, какими факторами
определяются величины предельных параметров удара bmin и bmax.
bmin
Минимальному значению параметра удара соответствует максимальная передаваемая энергия. Ранее был получено соотношение, связывающее передаваемую электрону
энергию с параметром удара b: Te
= | E | =
=
.
Откуда имеем: b2 =
и, следовательно,
b2min
=
.
Если сталкиваются две частицы с массами М и me и M » me,
то максимальная передаваемая энергия будет:
.
Следовательно:
и
.
В релятивистском случае в выражении
для bmin появляется коэффициент
,
так как максимальная передаваемая
энергия будет расти со скоростью частицы:
,
а
.
Итак, мы получили выражение для bmin с точки зрения классического подхода.
Можно найти минимальный параметр удара b′min с помощью квантово-механичеcкого
подхода, используя для этого соотношение
неопределенностей
.
Так как
,
то для b′min получаем:
в нерелятивистском случае
в релятивистском случае.
Обычно b′min > b min , поэтому используется классическое
выражение для bmin.
bmax
Чем больше параметр удара, тем меньше передаваемая электрону энергия Emin.
bmax соответствует случаю, когда передаваемая энергия близка к энергии связи этого электрона с ядром. Поскольку энергия связи разных электронов атома различна, то вводится обычно некоторая усредненная характеристика энергии связи электронов в атомах данного элемента (A,Z), называемая средним потенциалом ионизации I .
Для разных элементов I = I0·Z , где I0 слабо зависит от Z вещества.
В табл. приведены значения I0 для некоторых элементов.
|
вещество |
Be |
C |
Воздух |
Al |
Cu |
Pb |
|
I0, эВ |
16.0 |
13.0 |
12.8 |
12.8 |
11.1 |
10.0 |
Выбираем в качестве максимального прицельного параметра такой, при котором электрону передается энергия, равная среднему потенциалу ионизации: Emin = I. Так как
, то
.
Теперь можно найти выражение для
.
Подставляя найденные нами значения bmax и bmin , получаем:
и
Выражение для удельных ионизационных потерь энергии частицы
(или линейная тормозная способность вещества):
приобретает вид:
- формула Бора
Нильс Бор
(1885 - 1962)
Вывод этой формулы на основе классических представлений первоначально был предложен Н.Бором в 1915 г., поэтому она и называется формулой Бора в этом виде или в уточненном варианте:
- формула Бора в уточненом виде.
Ханс Бете Феликс Блох
(1906 - 2005) (1905 - 1983)
Позднее Г.А.Бете проделал аналогичные вычисления на основе квантовой механики.
В 1930-1933 гг. Г.А.Бете и Ф.Блохом были теоретически вычислены и получены из многочисленных экспериментальных данных величины bmin и bmax. Кроме того, в
1933 г. Ф.Блохом было предложено несколько иное выражение для среднего потенциала ионизации: I (Z) = Iн Z, где Iн = 13,5 эВ – энергия, соответствующая частоте Ридберга.
Формула для ионизационных потерь энергии, выведенная Бете и Блохом с учетом квантовых и релятивистских эффектов, называется их именем (формулой Бете-Блоха) и имеет вид:
- формула Бете-Блоха.
(*)
"Bethe equation"
PDG http://pdg.lbl.gov/2013/reviews/rpp2013-rev-passage-particles-matter.pdf
(**)
=
=
Варианты (*) и (**) можно совместить.