Почему релятивизм не проявился в коэффициенте перед логарифмом в формуле?

Причина в том, что этот коэффициент, как видно из вывода формулы, определяется величиной переданного импульса pe = F t. В случае релятивистских скоростей максимальное значение силы F, действующей со стороны частицы на электрон, увеличивается на множитель .

(Как указано в Теории поля, Ланд., Лифшиц закон Кулона пишется в особой системе координат, «сжатой» вдоль оси координат, вдоль которой движется частица )

С другой стороны время взаимодействия t уменьшается на множитель γ. Произведение их остается неизменным.

Рис. 3 Зависимость средних удельных ионизационных потерь энергии тяжелых частиц в свинце от энергии. Вся сложная кривая рисунка разделена буквами А, В, С, D, E, F

на отдельные участки с характерным для них поведением этой зависимости.

Зависимость ионизационных потерь от параметров частицы

(важное уточнение: до остановки частицы еще далеко)

1. Удельные ионизационные потери энергии (или линейная тормозная способность вещества):

пропорциональны квадрату заряда частицы: .

Это означает, что при одинаковой скорости ядро железа (z=26) теряет на ионизацию вещества в 676 раз больше энергии, чем протон.

2. Удельные потери не зависят от массы частицы М. Это получается из-за того,

что происходит взаимодействие электрических зарядов частиц, а не их масс. Однако, если сопоставлять потери на ионизацию различных частиц с одинаковой кинетической энергией, тогда в коэффициент перед логарифмическим членом неизбежно

войдет масса частицы, так как V²~ E/M. Поскольку в нерелятивистском случае ионизационные потери обратно пропорциональны квадрату скорости частицы:

, то .

Следовательно, частицы с одинаковой кинетической энергией теряют ее на ионизацию тем больше, чем больше их масса. Например, на единице своего пути дейтрон теряет на ионизацию энергию в 2 раза большую, чем протон с такой же кинетической энергией, а мюон в ~ 9 раз меньшую.

Рис. 1. Зависимость удельной потери энергии в воздухе от энергии частицы для нескольких типов частиц

Другой вариант иллюстрации ионизационных потерь энергии частицами с различными массами в кремнии представлен на рис. 2. (Почему в кремнии?)

Здесь потери энергии приведены не на единицу длины пути (в см), а на толщу вещества мг/см² – т.е. .

Массовая тормозная способность:

Рис.2. Ионизационные потери заряженных

частиц в кремнии .

3. Удельные потери энергии на единице пути являются довольно сложной функцией скорости (и, следовательно, кинетической энергии) частицы. Эта зависимость схематически изображена на рис.3 , где по оси абсцисс отложена кинетическая энергия в единицах своей собственной энергии массы покоя Mc², а по оси ординат – средние удельные потери энергии этой частицей на ионизацию среды.

Рис. 3 Зависимость средних удельных ионизационных потерь энергии тяжелых частиц в свинце от энергии. Вся сложная кривая рисунка разделена буквами А, В, С, D, E, F

на отдельные участки с характерным для них поведением этой зависимости.

(BC). Участок (ВС) соответствует случаю, когда с, одной стороны, частица нерелятивистская, т.е. E < Mc² и  < 1, другой стороны, она настолько быстрая, что все электроны атомов могут считатьсясвободными. Поведение кривой в этой области (ВС) определяется коэффициентом перед квадратными скобками в формуле Бете-Блоха:

т.е. .

Такая зависимость в нерелятивистской области получилась из-за того, что переданный электрону импульс pe = F t, зависит от времени взаимодействия t, которое, в свою очередь, обратно пропорционально скорости частицы t ~ 1/ V. Переданная же

электрону энергия, потерянная частицей ~ 1/ V² , и , следовательно , ~ 1/E.

Зависимость имеет место вплоть до релятивистских скоростей. При V ≈ c коэффициент перед скобкой принимает минимальное значение.

(CD). На участке (СD) кривой (см. рис.4) удельные ионизационные потери начинают увеличиваться. Этот рост потерь обусловлен ростом величины логарифмического члена, так как при 1 .

Поскольку этот множитель стоит под знаком логарифма, то и рост потерь наблюдается медленный - "логарифмический". Логарифмическое возрастание с увеличением энергии обычно называют релятивистским подъемом ионизации. Он начинается после того, как достигнет минимальной величины при V  0.96с. Частично этот подъем

происходит за счет близких столкновений, так как увеличивается максимальная передаваемая энергия Emaх , а частично за счет далеких столкновений из-за релятивистского увеличения bmax. Рост потерь, обусловленный вторым фактором, происходит из-за релятивистского сжатия кулоновского поля частицы в продольном направлении (вдоль траектории частицы) и возрастания поля в поперечном направлении. Рис.5 иллюстрирует сказанное: для нерелятивистских частиц эквипотенциальная поверхность имеет сферически симметричную форму (а), а форма эквипотенциальной поверхности поля релятивистских частиц другая (б): расстояние в продольном направлении уменьшается в раз, а в поперечном - увеличивается в  раз, получается эллипсоид, "блин", который с увеличением скорости частицы все более сплющивается в продольном направлении и увеличивается в поперечном. Это означает, что все большее число электронов среды попадает в поле воздействия летящей частицы. Растет bmax и все большему числу электронов частица передает свою энергию. Следовательно, и потери энергии частицей на единице ее пути растут.

Рис. Форма эквипотенциальной поверхности кулоновского поля: (а) для нерелятивистской, (б) релятивисткой скорости частицы