- •§1. Основные понятия.
- •§2. Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.
- •§3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§3. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.
- •Геометрический смысл полного дифференциала.
- •§5. Производная по направлению, градиент функции.
- •§6.Частные производные высших порядков.
- •§7. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции многих переменных):
§2. Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.
Многие понятия, определенные для функции одной переменной, почти без изменения переносятся на функции нескольких переменных, заданных в евклидовом пространстве. Так, функция одной переменной может быть четной, нечетной, возрастающей, убывающей, ограниченной и т.д. Как выглядят эти понятия для функции нескольких переменных?
Прежде чем дать определение возрастающей (убывающей) функции на множестве Еп, должно быть определеноотношение порядка:Х1 < Х2 понимается как строгое неравенство для всех компонент векторов:x11< x12, x21< x22, . . . , xn1< xn2.Тогда определение возрастающей (убывающей) функции нескольких переменных полностью аналогично соответствующему определению для функции одной переменной:
Df.Функцияy(X) называется возрастающей (убывающей) на множествеD Еп, еслиХ1, Х2 D, таких чтоХ1 < Х2 следует, чтоy(X1) < y(X2) (y(X1)>y(X2));функцияy(X) называется неубывающей (не возрастающей) на множествеD Еп, еслиХ1, Х2 D, таких чтоХ1 Х2 следует, чтоy(X1) y(X2) (y(X1) y(X2)).
Df.Функцияf(X), область определения которой(D(f))симметрична относительно нуля называется четной (нечетной), еслиf(-X) = f(X) (f(-X) = -f(X))для любогоX D(f).
Df.Функцияf(X)называется ограниченной сверху (снизу) на множествеD, если существует такоечисло m, чтоf(X) m (f(X) m) X D.
Df.Функцияf(X), ограниченная и сверху и снизу на множествеDназывается ограниченной на этом множестве, еслиm1 f(X) m2, X D(m1, m2 – некоторые числа).
Замечание.Из функции нескольких переменных можно получить несколько функций одной переменной: пусть функцияy = f(x1, x2, . . . , xn)– функцияnпеременных. Зафиксируем значения переменныхx2 = x20, x3 = x30, . . . , xn = xn0, ах1– пусть изменяется. Тогда получим функцию одной переменной: y1 = f(x1, x20, x30, . . . , xn0) = y1(x1).Аналогично можно получить функциюy2(x2), зафиксировав значения переменныхх1, х3, . . . ,хn, и т.п. Значит, выражение «функцияy = f(x1, x2, . . . , xn)возрастает пох1» означает, что возрастает функцияy1(x1)приx2 = x20, x3 = x30, . . . , xn = xn0.
Графическое изображение функции более чем двух переменных невозможно. В случае же если функция f– функция двух переменныхx иy, а значения ееz, тоz = f(x,y) и график этой функции – поверхность в пространствеR3, состоящая из точек(x,y,z), где(x,y) D(f) (D(f) – область определения функции).
Например.
z = x2 + y2 – параболоид.
Область определенияD(z)– множество всех точек плоскостиOXY.
Область значений E(z): [0; +).Z
Y
О
X
2) - эллиптический конус.
Область определения D(z)– множество всех точек плоскостиOXY.
Область значенийE(z): (-; +).Z
O Y
X
3) x2 + y2 + z2 = R2– сфера с центром в точкеО(0;0;0)и радиусаR.
Z
O Y
X
4)- эллипсоид с центром в точкеО(0;0;0).
Z
Y
O O
X
Для образного представления функции многих переменных используются линии заданного уровня.
Df. Линией уровня функции двух переменных z = f(x,y) называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции с плоскостью, параллельной плоскости OXY: z = C, где C = const.
Из определения следует, что линия уровня – это линия, в каждой точке которой значение функции не изменяется ( = С ).
Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям С, проецируются на плоскостьOXY, тогда с их помощью можно исследовать характер поверхности, описываемой функциейz = f(x,y). Т.о. линии уровня функцииz = f(x,y)– это семейство кривых на координатной плоскостиOXY, описываемые уравнениями вида f(x,y)= С.
Аналогично вводится понятие поверхности уровнядля функцииnпеременных:
Пусть y = f(x1, x2, . . . , xn)– функцияnпеременных иС– какое-либо число, тогда f(x1, x2, . . . , xn)=С – уравнение поверхности уровняС.
В частности, если n= 3:u = f(x, y, z)– функция 3-х переменных, то уравнение поверхности этой функции уровняC:f(x, y, z)=С– это уравнение поверхности в 3-ех мерном пространстве