- •§1. Основные понятия.
- •§2. Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.
- •§3. Частные производные функции нескольких переменных.
- •§3. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.
- •Геометрический смысл полного дифференциала.
- •§5. Производная по направлению, градиент функции.
- •§6.Частные производные высших порядков.
- •§7. Экстремумы функции нескольких переменных
- •Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции многих переменных):
Геометрический смысл полного дифференциала.
Для функции одной переменной y = f(x)в точкеx0 геометрический смысл дифференциала означает приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссойx0при переходе к точкеx0 + x. А дифференциал функции двух переменных в этом плане является приращениемаппликатыкасательнойплоскости, проведенной к поверхности, заданной уравнениемz = f(x,y), в точкеM0(x0, y0) при переходе к точкеM(x0 + x, y0 + y).Дадим определение касательной плоскости к некоторой поверхности:
Df.Плоскость, проходящая через точкуР0поверхностиS, называетсякасательной плоскостью в данной точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через две точкиР0иР(любая точка поверхностиS), стремится к нулю, когда точкаРстремится по этой поверхности к точкеР0.
Пусть поверхность Sзадана уравнениемz = f(x,y).Тогда можно показать, что эта поверхность имеет в точкеP0(x0, y0, z0)касательную плоскость тогда и только тогда, если функцияz = f(x,y)дифференцируема в этой точке. В этом случае касательная плоскость задается уравнением:
z – z0 = + (6).
§5. Производная по направлению, градиент функции.
Частные производные функции y=f(x1,x2..xn)по переменнымx1, x2 . . . xn выражают скорость изменения функции по направлению координатных осей. Например,есть скорость изменения функции пох1 – то есть предполагается , что точка, принадлежащая области определения функции, перемещается лишь параллельно осиОХ1, а все остальные координаты остаются неизменными. Однако, можно предположить, что функция может изменяться и по какому-нибудь другому направлению, не совпадающему с направлением какой либо из осей.
Рассмотрим функцию трех переменных: u=f(x,y,z).
Зафиксируем точку М0(x0,y0,z0)и какую-нибудь направленную прямую (ось)l, проходящую через эту точку. ПустьМ(x,y,z) - произвольная точка этой прямой иМ0М- расстояние отМ0доМ.
u = f (x,y,z) – f(x0,y0,z0)– приращение функции в точкеМ0.
Найдем отношение приращения функции к длине вектора :
Df.Производной функцииu = f (x,y,z)по направлениюl в точкеМ0называется предел отношения приращения функции к длине вектораМ0Мпри стремлении последнего к 0 (или, что одно и то же, при неограниченном приближенииМкМ0):
(1)
Эта производная характеризует скорость изменения функции в точке М0в направленииl.
Пусть ось l (векторМ0М) образует с осямиOX, OY, OZуглысоответственно.
Обозначим x-x0= ;
y - y0 = ;
z - z0 = .
Тогда вектор М0М = (x - x0, y - y0, z - z0)= и его направляющие косинусы:
;
;
.
(4).
(4) – формула для вычисления производной по направлению.
Рассмотрим вектор, координатами которого являются частные производные функции u=f(x, y, z)в точкеМ0:
grad u - градиент функцииu=f(x, y, z)в точке М(x, y, z)
Свойства градиента:
Производная функции u=f(x, y, z)в данной точке М(x, y, z)по направлениюlимеет наибольшее значение, если направлениеlсовпадает с направлением градиента функции в этой точке.
Наибольшее значение производной функции u=f(x, y, z)по заданному направлению в данной точкеМ(x, y, z) равно длине градиента функции в этой точке:.
Вывод: длина градиента функцииu=f(x, y, z) – есть наиболее возможное значениев данной точкеМ(x, y, z), а направление вектораgrad uсовпадает с направлением вектора, выходящего из точкиМ, вдоль которого функция меняется быстрее всего. То есть, направление градиента функции grad u - есть направление наискорейшего возрастания функции.