§6.Частные производные высших порядков.

Частные производные ,i = 1,2, . . . ,nназываютчастными производными первого порядка.Их можно рассматривать как функции отX=(x₁,x₂,. . . x_n). Эти функции могут иметь частные производные, которые называютсячастными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

(1),

где i = 1, 2, . . . , n иk = 1, 2, . . . , n.

Если i  k, то частная производная (1) называетсясмешанной частной производной второго порядка.Еслиi = k, то частная производная второго порядка обозначается следующим образом:

(2).

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и т.д. порядков.

Функция y = f (x₁,x₂…x_n)называетсяm раз дифференцируемой в точкеМ₀(x₁⁰, x₂⁰. . . ,x_n⁰),если все её частные производные(m-1)-го порядка являются дифференцируемыми функциями в этой точке.

Теорема Шварца

Если функция y = f (X) дифференцируема m раз в точке M (x₁, x₂.. x_n), то смешанные производные m- го порядка в этой точке, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для функции z = f (x,y)имеем.

§7. Экстремумы функции нескольких переменных

п.1 Определение и необходимые условия локального экстремума

Пусть функция y = f (X)определена на некотором множестве, аM₀ (x₁⁰,x₂⁰.. x_n⁰)– некоторая точка этого множества.

Df.1

Функция y = f(X) имеет в точке М₀ локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки М₀ ,что для любой точки М(x₁,x₂ .. x_n) из этой окрестности выполняется неравенство .

Так же, как и в случае функции одной переменной,точка М₀называется критической точкой функцииy = f(X), если все частные производные функции в этой точке равны нулю или какая-нибудь из них не существует.Точка М₀ называется стационарной точкойфункции, если она есть внутренняя точка области определения и все частные производные функции в этой точке равны нулю.

Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции многих переменных):

Если функция y = f(x₁, x₂, . . . ,x_n) имеет во внутренней точке М₀(x₁⁰,x₂⁰.. x_n⁰) экстремум и частные производные первого порядка, то все эти частные производные равны нулю в точке М₀:

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых все частные производные равны нулю или какая-нибудь из них не существует; в случае, если функция всюду имеет частные производные, то координаты этих точек можно найти, решив систему уравнений:

(2).

п.2 Достаточное условие экстремума

Для функции многих переменных достаточный признак экстремума намного более сложен, чем для функции одной переменной (Если в точке х =х₀: f(x₀)=0, тогда еслиf”(x₀) < 0то в этой точке функция имеет максимум, а если f”(x₀) > 0то - минимум).