Квантовый гармонический осциллятор (2)

Решение уравнения (6) ищем в виде

			f ( ) ak m (7)
Производные						k 0
	df ( )		kak k 1	,	d 2	f ( )		k(k 1)ak k 1	(8)
	d	2			d		2

Подставляя (8) в (6) получим

k(k 1)ak k 2 2 kak k 1 ( 1) ak k 0 (9)

Реккурентная формула для коэффициента k имеет вид

a		2k 1	a		(10)
		(k 2)(k 1)
k 2				k
Для того чтобы решение при 0		было конечным и стремилось к (5) необходимо

чтобы ряд (7) обрывался на каком-то члене, т.е., начиная с какого-то числа n, это условие будет выполнено, если

2n 1 0 (11)

где n – целое число

Квантовый гармонический осциллятор (3)

Подставляя (11) в соотношение (2), получим

		1
	En n			(12)
		2

Энергия осциллятора может принимать только дискретные значения. Волновая функция, соответствующая n-возбужденному состоянию

n ( ) 4	m	1		e 2 2 fn ( )
			n!n2

где fn ( ) - полином Чебышева-Эрмита

fn ( ) Hn ( ) ( 1)n e 2 d ne n 2 d

H0 ( ) 1

H1 ( ) 2

H2 ( ) 4 2 2

H3 ( ) 8 3 12

H4 ( ) 16 4 48 2 12