Задача №7

В устройстве, показанном на рис.7.1, определите ускорения тел с массами m₁ и m₂ (m₁ > m₂), связанных невесомой, нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Блок представляет собой однородный цилиндр с массой М и радиусом R. Нить по блоку не проскальзывает, трение в оси блока пренебрежимо мало. Ускорение свободного падения g.

Рис.7.1

Решение

1. Определим все силы, действующие на тела системы с отличной от нуля массой: силы тяжести , , , силы натяжения нити ,,,и сила реакциикрепления блока.

2. Запишем в векторной форме уравнения поступательного движения тел 1 и 2

,	(3.7.1)
.	(3.7.2)

Для блока поступательное движение отсутствует, поэтому

.

(3.7.3)

Блок совершает вращательное движение вокруг своей оси симметрии, проходящей через центр масс блока перпендикулярно плоскости рисунка. Уравнение моментов относительно оси вращения блока имеет вид

(3.7.4)

где момент инерции однородного блока относительно его оси симметрии

(3.7.5)

3. Перейдем от векторной формы записи уравнений (3.7.1) - (3.7.2) к скалярной, используя проекции этих уравнений на направления ускорений тел и

,	(3.7.6)
,	(3.7.7)
,	(3.7.8)

которая содержит 7 неизвестных величин: .

4. Получим полную систему из 7 независимых уравнений, используя законы физики и условия задачи.

Благодаря нерастяжимости нити величины ускорений тел одинаковые:

.

(3.7.9)

Поскольку нить не проскальзывает по поверхности блока, то в каждой точке контакта линейные скорости элементов нити υ и поверхности блока ωR равны по величине

υ=ωR .

(3.7.10)

Отсюда получаем, что величины ускорения a тел и углового ускорения ε блока связаны соотношением

.

(3.7.11)

Согласно условию задачи нить невесомая, поэтому сила натяжения одинаковая во всех точках нити слева от блока

,

(3.7.12)

и во всех точках нити справа от блока

.

(3.7.13)

На основе уравнений (3.7.6) – (3.7.13) приходим к полной системе из 4 независимых уравнений для нахождения 4 неизвестных величин:

,	(3.7.14)
,	(3.7.15)
,	(3.7.16)
.	(3.7.17)

5. Решая систему уравнений (3.7.14) – (3.7.17), находим величину ускорения тел

.

(3.7.18)

Согласно полученному результату учет массы блока уменьшает ускорение тел.

Ответ: .

Задача №8

Маховик в виде однородного диска с массой m=10кг и радиусом R=0,2м вращается вокруг своей оси симметрии с начальной угловой скоростью ω₀=100рад/с. В момент времени t=0 к маховику начинают прижимать две тормозные колодки с силой F=50H каждая (рис.17.1). Коэффициент трения скольжения между маховиком и тормозными колодками μ=0,3. Определите изменение во времени угловой скорости ω(t) вращения маховика. Через какое время t₁ маховик остановиться?

Рис.8.1