- •А.А. Колоколов «Механика и молекулярная физика»
- •1. Динамика материальной точки
- •Задача № 1
- •Решение
- •Задача №2
- •Решение
- •Задача №3
- •Решение
- •2. Гармонические колебания. Кинематика гармонических колебаний. Свободные незатухающие колебания
- •Задача №4
- •Решение
- •Задача №5
- •Решение
- •Задача №6
- •Решение
- •3. Динамика вращательного движения твердого тела. Закон сохранения момента импульса
- •Задача №7
- •Решение
- •Задача №8
- •Решение
- •Задача №9
- •Решение
- •Молекулярная физика.
- •4. Первое начало термодинамики
- •Задача №10
- •Задача№11
- •5. Второе начало термодинамики
- •Задача №12
- •Задача №13
- •Задача №14
- •6. Процессы переноса
- •В равновесном состоянии ,, поэтомуи, а потоки частиц и теплоты обращаются в нуль. Задача №15
- •Решение Задача нахождения величины Dрешается с помощью закона Фика
- •Плотность потока теплоты
Решение
Уравнение моментов относительно оси вращения маховика имеет вид
, |
(3.8.1) |
где μF – сила трения скольжения между маховиком и тормозной колодкой и
|
(3.8.2) |
-момент инерции маховика относительно его оси симметрии.
Разделим переменные ω и t в дифференциальном уравнении (3.8.1)
|
(3.8.3) |
и проинтегрируем левую часть полученного равенства по ω от начальной угловой скорости ωо до текущей угловой скорости ω(t), а правую часть по t от начального момента времени t=0 до текущего момента t
(3.8.4) |
Выполняя интегрирование, получим зависимость угловой скорости маховика от времени
. |
(3.8.5) |
Время t1, через которое маховик остановится, находится с помощью уравнения
. |
(3.8.6) |
Отсюда следует, что время остановки маховика
. |
(3.8.7) |
Ответ: ,.
Задача №9
Однородный цилиндр массой с m и радиусом R скатывается без проскальзывания по наклонной плоскости с углом наклона α относительно горизонтали (рис.9.1). Ускорение свободного падения g. Определите ускорение центра масс цилиндра. Как со временем изменяется скорость υ центра масс цилиндра, если его начальная скорость равнялась нулю?
Рис.9.1
Решение
1.Определим все силы, которые действуют на цилиндр согласно условиям задачи: сила тяжести , сила реакции опорыи сила трения покоя, поскольку цилиндр скатывается без проскальзывания.
2. Запишем уравнение движения центра масс цилиндра в векторной форме
. |
(3.9.1) |
Кроме поступательного движения цилиндр совершает вращение вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью ω, которая меняется со временем. Соответствующий вращающий момент создает только сила трения покоя, поскольку векторы силы тяжести и силы реакции опоры проходят через ось вращения и поэтому их вращающие моменты равны нулю.
Поскольку ось вращения перемещается в пространстве таким образом, что все время остается параллельной самой себе в разные моменты времени, то уравнение моментов записывается точно так же, как для неподвижной оси:
, |
(3.9.2) |
где
|
(3.9.3) |
- момент инерции однородного цилиндра относительно его оси симметрии.
3. Перейдем от векторной формы записи уравнения (3.9.1) к скалярной, используя проекции на направление вектора ускорения ,
. |
(3.9.4) |
При этом выполняется равенство
, |
(3.9.5) |
поскольку центр масс цилиндра не имеет ускорения в направлении, перпендикулярном к наклонной плоскости.
Уравнения поступательного (3.9.4), (3.9.5) и вращательного (3.9.2) движений цилиндра содержат 4 неизвестных величины: a, N, и . Следовательно, на основе условий задачи и законов физики необходимо найти четвертое уравнение, связывающее неизвестные величины.
4. Согласно условиям задачи цилиндр скатывается без проскальзывания, поэтому в области касания поверхности цилиндра с наклонной плоскостью скорость элементов поверхности цилиндра равна нулю и поэтому справедливо соотношение
, |
(3.9.6) |
где υ - скорость поступательного движения цилиндра, равная скорости движения центра масс, и ωR - линейная скорость элементов поверхности цилиндра, связанная с его вращением вокруг оси симметрии.
Дифференцируя уравнение (3.9.6) по времени, получим связь между величинами линейного ускорения a и углового ускорения цилиндра ε
a-εR=0 . |
(3.9.7) |
Таким образом, полная система уравнений для 4 неизвестных величин имеет вид:
|
(3.9.8) |
, |
(3.9.9) |
, |
(3.9.10) |
. |
(3.9.11) |
5. Решая систему уравнений (3.9.8) – (3.9.11), получим
. |
(3.9.12) |
Сила трения покоя не должна превышать силу трения скольжения, поэтому должно выполняться условие
, |
(3.9.13) |
или
. |
(3.9.14) |
Только при выполнении условия (3.9.14) возможно скатывание цилиндра без проскальзывания.
Ответ: ,, μ – коэффициент трения скольжения между цилиндром и наклонной плоскостью.