Билет 5
Вопрос 1
Вопрос 2
Условия равновесия механических систем.
Согласно принципу возможных перемещений (основному уравнению статики), для того, чтобы механическая система, на которую наложены идеальные, стационарные, удерживающие и голономные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы:
(1)
где Qj - обобщенная сила, соответствующая j - ой обобщенной координате;
s - число обобщенных координат в механической системе.
Если для исследуемой системы были составлены дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа II - го рода, то для определения возможных положений равновесия достаточно приравнять обобщенные силы нулю и решить полученные уравнения относительно обобщенных координат.
Если механическая система находится в равновесии в потенциальном силовом поле, то из уравнений (1) получаем следующие условия равновесия:
(2)
Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения.
Виды равновесия:
Устойчивое: При малом отклонении тела от положения равновесия возникает сила, стремящаяся возвратить тело в исходное состояние.
Безразличное: При малом отклонении тело остается в равновесии.
Неустойчивое: При малом отклонении тела из положения равновесия возникают силы, стремящиеся увеличить это отклонение.
В положении устойчивого равновесия тело обладает минимальной потенциальной энергией. При выведении тела из этого положения его потенциальная энергия увеличивается. Если работу над телом совершает только сила тяжести, то в положении устойчивого равновесия центр тяжести тела находится на наименьшей высоте.
Все тела стремятся к минимуму потенциальной энергии. (Потенциальная яма).
Равновесие тел на опоре: линия действия силы тяжести проходит через площадь опоры (Пизанская башня). Чем ниже центр тяжести, тем более устойчиво равновесие
Билет 7
Вопрос 1
Если голономная
механическая
система описывается лагранжианом 
(
— обобщённые
координаты, t — время,
точкой обозначено дифференцирование по
времени) и в системе действуют
только потенциальные
силы,
то уравнения Лагранжа второго рода
имеют вид
где i = 1, 2, … n (n — число степеней свободы механической системы). Лагранжиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.
Если в системе действуют непотенциальные силы (например, силы трения), уравнения Лагранжа второго рода имеют вид
где 
— кинетическая
энергия системы, 
— обобщённая
сила.
Такие уравнения можно составить, рассматривая изменение каждой из обобщенных координат.
Число уравнений Лагранжа определяется числом степеней свободы системы.
Уравнения, по сути, являются алгоритмом получения дифференциальных уравнений движения точки, тела или системы тел в тех обобщенных координатах, которые выбраны исследователем.
Для применения этого алгоритма необходимо:
1) уметь определять кинетическую энергию системы тел, как функцию обобщенных скоростей,
2) уметь определять виртуальную работу сил на каждом из рассматриваемых возможных перемещений
3) уметь выполнять стандартные, и весьма простые, математические операции с получаемыми выражениями.
По сравнению с ур-ниями в декартовых координатах (см., напр., ур-ния Лагранжа 1-го рода) ур-ние обладает тем важным преимуществом, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от кол-ва входящих в систему материальных частиц или тел; кроме того, при идеальных связях из ур-ний (3) автоматически исключаются все наперёд неизвестные реакции связей. Л. у. 2-го рода, дающими весьма общий и притом достаточно простой метод решения задач, широко пользуются для изучения движения разл. механич. систем, в частности в динамике механизмов и машин, в теории гироскопа ,в теории колебаний и др.