физика лекции по оптике

Волновая оптика	111

	p2	h	k2 .	(4.2)
		2

Так как частота волн при отражении и преломлении не изменяется, то частицы в каждой из волн имеют одинаковую энергию

W = W1 = W2 = h .

(4.3)

Если предположить, что на границу раздела двух сред падает одна частица, то возникает вопрос, в какой из волн, отраженной или преломленной, она окажется.

Корпускулярно волновое описание (в отличие от волнового описания, позволяющего падающей волне разделиться на две) не допускает разделения одной падающей частицы на две, т. к. при этом нарушился бы закон сохранения энергии.

Согласно теории вероятности, частица может быть случайным образом, либо в отраженной волне, либо в преломленной волне.

Обозначим символом x состояние частицы, возникающее в результате взаимодействия падающей частицы с границей раздела двух сред, а символами p1 и p2 состояния частицы, отвечающие отраженной и преломленной волнам с единичными амплитудами.

Поэтому в состоянии x существует вероятность обнаружить частицы, как в отраженной, так и преломленной волне.

Описание процесса в терминах корпускулярных представлений может быть получено, если состояние x является суперпозицией состояний p1

и p2 , т. е.
x	= С1	p1	+ С2 p2 ,		(4.4)
причем квадраты коэффициентов С1		2 и С2		2 пропорциональны вероятностям
обнаружить частицу в соответствующих состояниях.
Суперпозиция состояний	(4.4)		принципиально		отличается от

суперпозиции каких либо полей или волн.

Для того чтобы корпускулярное объяснение сохранило фазовые соотношения между соответствующими волнами, необходимо, чтобы в качестве коэффициентов С1 и С2 в (4.4) использовать комплексные числа и, что физический смысл имеет разность фаз комплексных чисел.

Таким образом, для полного описания волнового явления с корпускулярных позиций необходимо приписать физический смысл не только вероятностям С1 2 и С2 2, но и самим коэффициентам С1 и С2,

Волновая оптика	112

называемыми амплитудами вероятности, с точностью до общей фазы.

При этом для измерения разности фаз амплитуд вероятности необходимы

интерференционные опыты.
Таким образом, если возможными являются состояния		1, 2, …, n, то
существуют также состояния
	n
Ш	cn Шn ,	(4.5)
i	1

где сn (n = 1, 2, …) некоторые комплексные числа.

Суперпозиция тех состояний (р), которые определяются значениями некоторой физической величины р, изменяющейся непрерывно, а не дискретно, находится не суммированием, а интегрированием:

Ш c(p) Ш(p)dp,

(4.6)

где с(р) некоторая комплексная функция переменной р.

Суперпозицию состояний, отличающихся значениями внутренней характеристики частиц, называют поляризацией состояний.

Поляризация представляет собой чисто волновое свойство, поскольку она определяется направлением колебаний в волне.

Тем не менее, частицам, соответствующим волне с определенной поляризацией, можно приписать дополнительную степень свободы, принимающую различные значения для разных состояний поляризации.

Принцип суперпозиции состояний существует и в классической физике (например, при одновременном распространении волн малых амплитуд они складываются, не влияя друг на друга).

В квантовой физике принцип суперпозиции состояний имеет качественно новое содержание, из за корпускулярно волновых свойств частиц.

Например, принцип суперпозиции состояний допускает смешивание двух взаимоисключающих с классической точки зрения состояний частицы, в одном из которых импульс частицы противоположен импульсу частицы в другом состоянии.

Однако в этом отношении суперпозиция квантовых состояний лишена наглядности.

8.2. Волновая функция

Для описания вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства вводят волновую функцию

(амплитуду вероятности) (х, у, z, t).

Поэтому вероятность dw того, что частица находится в элементе объема

Волновая оптика	113

dV, пропорциональна 2, т. е.

		dw =						2dV
или
		dw =						2dxdydz.		(4.7)
	Физический смысл имеет не сама волновая функция								(х, у, z, t), а квадрат
ее	модуля
	2 =					*,
где	* функция, комплексно сопряженная с					, т. е.			величина	2 имеет
смысл плотности вероятности
		dw						2
								,		(4.8)
		dV

которая определяет вероятность появления частицы в данной точке пространства.

Следовательно, 2 определяет интенсивность волн де Бройля. Пребывание частицы, где либо в пространстве достоверное событие и

его вероятность равна единице, т. е. должно выполняться условие нормировки

			2 dV 1.	(4.9)
Вывод: Волновая функция (амплитуда вероятности)				(х, у, z, t)

является основной характеристикой состояния квантовой системы.

Движение любой квантовой частицы можно описать волновым уравнением.

Статистическое истолкование волн де Бройля и соотношений неопределенностей Гейзенберга указывают на то, что уравнение движения частицы в квантовой механике должно быть таким, чтобы оно позволяло объяснить наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц.

Состояние частицы в данный момент времени в пространстве определяется в квантовой механике заданием волновой функции (х, у, z, t), точнее величиной 2, определяющей вероятность нахождения частицы в некоторой точке с координатами х, у, z в данный момент времени t.

Поэтому основное уравнение квантовой механики должно быть уравнением относительно волновой функции (х, у, z, t) и играть роль волнового уравнения, решения которого позволяли бы объяснить эксперименты, например, по дифракции микрочастиц, указывающих на их волновые свойства.

Следует отметить, что процессе экспериментов выявился факт

Рис. 4.1

Волновая оптика	114

взаимодействия микрочастицы с измерительным прибором, т. е. сам человек, проводящий эксперимент влияет на результат опыта.

8.3. Прохождение микрочастицы через двухщелевой интерферометр

Рассмотрим интерференцию света на двух щелях (рис. 4.1), размеры которых соизмеримы с длиной волны. Источник света S точечный. В этом случае на экране Э будут наблюдаться интерференционные полосы. При корпускулярной интерпретации данного результата это означает, что в т. М (минимум интерференции) фотоны не попадают. С точки зрения классической физики, движущиеся по траекториям частицы (фотоны) не должны попадать в т. М ни по пути SАМ, ни по пути SВМ.Но это противоречит опыту: если закрыть щель В, то можно наблюдать некоторую освещенность в т. М, что указывает на возможность распространения фотонов по пути SАМ.

Такая же картина наблюю-дается, если закрыть щель А. Классическая физика не может объяснить, почему фотоны, способные попадать в т. М как по пути SАМ, так и по пути SВМ в отдельности, не попадают в нее, когда открыты обе щели (минимум интерференции)? Представление о том, что между фотонами, движущимися по разным

направлениям, существует взаимодействие, обуславливающее интерференционные явления, опровергается опытом, из которого следует, что картина интерференции не зависит от интенсивности источника S. Причиной возникшего парадокса является предположение о том, что каждый фотон движется по вполне определенной траектории. Действительно, фотоны движутся порциями, подобно классическим частицам. Вероятность попадания этих порций на экране распределена так же, как и интенсивность световых волн при интерференции. Действительно, как уже отмечалось, используя комплексные амплитуды вероятности, для результирующей вероятности получим интерференционную формулу в виде

wрез = w1 + w2 + 2 w1w 2 cos( 1 2),

где последнее слагаемое описывает интерференцию амплитуд вероятности, т. к. для классической частицы это слагаемое отсутствует.

Вывод: Все материальные микрообъекты (электроны, протоны, нейтроны и др. элементарные частицы) обладают двойственной природой корпускулярно-волновой. При проведении экспериментов с микрочастицами было обнаружено, что и сами приборы и экспериментатор влияют на результат опыта. В результате был сформулирован принцип: невозможно

Волновая оптика	115

придумать аппарат для определения того, через какое отверстие проходит фотон (микрочастица) не возмущая фотон до такой степени, что интерференционная картина пропадает.

Лекция 11

5. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

5.1. Временное и стационарное уравнения Шредингера

Любое состояние микрочастицы в квантовой механике определяется волновой функцией (амплитудой вероятности).

В нерелятивистском случае уравнением движения микрочастицы является временное уравнение Шредингера

i

h

h2

Wp (x, y, z, t) ,

(5.1)

2

t

8 2 m

2

2

2

где

x2

y2

z2

оператор Лапласа; i = 1

мнимая единица;

h постоянная Планка;

Wp(x, y, z, t) потенциальная энергия частицы в силовом поле; m

масса

частицы;

= (х, у, z, t) =

(r, t) волновая функция частицы; r = (х, у, z)

пространственная координата и время t.

Справедливость уравнения Шредингера (оно постулируется, а не выводится) доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные на основании этого уравнения в атомной и ядерной физике, находятся в полном согласии с экспериментальными данными.

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид

8	2 m		[W W (x, y, z)] 0	,	(5.2)
	h2		p

где W = const полная энергия частицы.

Уравнение (5.2) справедливо для любой квантовой частицы движущейся со скоростью v < c и характеризуется следующими свойствами:

1)	функция	должна быть однозначной, непрерывной, конечной;
2)	производные			,		,		,		непрерывны;
			x		y		z		t
3)	функция	2	должна иметь конечный интеграл.

Волновое уравнение Шредингера (волн де Бройля) имеет аналогичный вид, как и все волновые уравнения любой физической природы.

Таким образом, электрон в атоме существует не в виде частицы, а в виде волны де Бройля (волны вероятности).

Движение электрона (любой другой микрочастицы) должно подчиняться

Волновая оптика	116

волновому уравнению Шредингера.

В случае движения частицы вдоль оси Х волна де Бройля имеет вид плоской волны:

2	8		2m	[W Wp (x)] 0	,	(5.3)
x 2			h 2

где Wp(x) потенциальная энергия взаимодействия электрона и ядра, удаленные на расстояние х.

Из классической физики следует, что уравнение колебаний, например, струны, описывается формулой

d2s

02s 0

dt 2

или

d 2 s

2

2

s 0 ,

(5.4)

dx2

где

k

2

0

vф

волновое число; 0 собственная циклическая частота колеблющейся системы.

Некоторые решения уравнения (5.4) [функции s(x)] приведены на рис. 5.1, а. Графики имеют вид синусоид, и смысл их очевиден: они изображают форму струны в какой-то момент времени, т. е. моментальную фотографию процесса ее колебаний.

Форма колебаний струны определяется числом узлов k, т. е. числом точек, остающихся неподвижными в процессе колебания.

Им соответствует бесконечный набор решений s(x), которые различаются только числом узлов.

Уравнение Шредингера (5.3) можно представить в виде

	2			2	2
					0			,			(5.5)
	x 2			(x)
	(x)				h				h
где									mv .		(5.6)
				2m[W Wp (x)]

Следовательно, по форме уравнение (5.5) мало отличается от уравнения струны (5.3).

Если электрон движется свободно, то Wp(x) = 0, поэтому его полная энергия W = Wk, и следовательно, длина волны электрона постоянна:

Волновая оптика	117

(x)	h		h
	p		mv

иравняется длине волны де Бройля.

Вэтом случае уравнение Шредингера в точности совпадает с уравнением струны.

а

б

Рис. 5.1

При движении электрона в атоме он взаимодействует с ядром (например, с протоном в атоме водорода) по закону Кулона и его потенциальная энергия

Wp	(x)		e2	,	(5.7)
	4		0 x

где е элементарный заряд, равный заряду протона и электрона (по модулю). В этом случае длина волны де Бройля

(x)			h
						(5.8)
				e 2
		2m(W			)
				4 0 x

не имеет определенного значения и меняется от точки к точке.

Несколько решений уравнения (5.5), т. е. функции n(x), изображено на рис. 5.1, б, где n = 1, 2, 3, ... главное квантовое число, характеризующее энергию электрона в атоме.

В теории колебаний струны возникает такой случай: если колеблется струна со всевозможными грузами и утолщениями на ней, то ее колебания описываются аналогичным волновым уравнением.

Таким образом, уравнение Шредингера имеет решение не всегда, а только при определенных значениях энергии Wn, которым соответствуют

Волновая оптика	118

собственные функции n(x), зависящие от n.

Дискретные значения энергии Wn стационарных состояний электрона в атоме, характеризуются квантовым числом n, т. е.

		Wn		1 Z2me4
										,
				n	2		8	2	2
								0h
где 0	электрическая	постоянная;	Z				порядковый номер элемента в
периодической системе		Д.И. Менделеева;					m	масса электрона; е заряд

электрона.

Согласно квантовой механике атом не имеет определенных размеров, который определяется состоянием электронов в атоме.

Положение электрона в атоме подчиняется вероятностным законам. Электрон в атоме представляется в виде электронного облака, и где он

находится, в данный момент времени точно указать нельзя, т. е. понятие орбиты в квантовой механике не имеет смысла.

Причина устойчивости атома заключается в его движении и неизменности квантово механических законов, управляющих этим движением.

Причем квантовая устойчивость атома значительно надежнее, чем динамическая устойчивость классической механики, так как разрушенный атом восстанавливает свою структуру.

Вывод: Каждая квантово механическая система характеризуется своим энергетическим спектром.

В зависимости от вида потенциальной энергии (т. е. от характера взаимодействия в системе) энергетический спектр может быть либо дискретным (как у свободной частицы), либо смешанным (например, энергетические уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергий ионизации, дискретны, а при больших энергиях непрерывны).

Характер квантово механического движения можно понять на примере одномерного движение частицы (например, вдоль оси X) в случае, когда потенциальная энергия Wp зависит только от координаты х.

Уравнение Шредингера (5.5) сводится к уравнению

2		4		2p2 (x)	0	,	(5.9)
	x2			h2
где выражение
	р2(х) =			2m[W Wp(x)]

совпадает с формулой квадрата классического импульса частицы в точке с координатой х.

Таким образом, волновая функция и является той величиной, которая позволяет отыскать все вероятности.

Волновая оптика	119

Из всех квантовых вероятностей в учебном пособии используется только одна, которая описывает распределение координат частиц.

Для одномерного движения:

вероятность нахождения частицы в интервале (х, х + dx) в момент

времени t равна

(х, t) 2dx,

где

(х, t)

квадрат модуля волновой функции [ * (х, t) комплексное сопряжение С помощью волновой функции

определяется по формуле

2 =	* (х, t) (х, t)
волновой функции (х, t)].
(х,	t) среднее значение координаты

x(t)	xw (x, t)dx	x		Ш(x, t)		2 dx .

5.2.Движение квантовой частицы

встационарном силовом поле

Простым видом движения квантовой частицы является свободное движение. Потенциальная энергия частицы в этом случае обращается в ноль,

т. е. Wp(x) = 0.

Для свободной частицы, движущейся, например, вдоль оси Х, стационарное уравнение Шредингера

2

8 2m

[W

Wp

(x)]

0

x 2

h 2

или

h2

2 ш(x)

W ш(x).

(5.10)

8 2m

x2

Функция (х) = Аеikx, где А =

соnst

и

k =

const,

является частным

решением этого уравнения с энергией

W = h2k2/(8

2m).

(5.11)

В общем случае для зависящей от времени волновой функции получаем

(x, t) = Ae-i

t |+ikx.

(5.12)

Это решение представляет собой плоскую	монохроматическую волну с
циклической частотой и волновым числом k,	которая называется волной де

где

Волновая оптика	120

Бройля.

Координаты свободной квантовой частицы распределены с плотностью вероятности

w(x) = (х) 2 = A 2 = const.

Так как плотность вероятности постоянна, то существует одинаковая вероятность обнаружить свободную частицу в любых точках пространства, т. е. область движения свободной частицы неограниченно велика, что

естественно.
Согласно корпускулярно-волновому свойству частиц
= 2 W / h;	= W / h, k = 2 p / h,
где р импульс частицы.
Тогда волна де Бройля запишется в виде:
(x, t) = A exp( 2	iWt / h + 2 ipx / h).	(5.13)

Причем зависимость энергии частицы от импульса оказывается обычной для нерелятивистских частиц:

W(p) = p2 / 2m.

Таким образом, энергетический спектр свободной квантовой частицы (не путать со спектрами испускания или поглощения атома), которая при р 0 является простейшей квантовой системой с неограниченной областью движения, непрерывен и ограничен снизу значением энергии W = 0.

5.3. Одномерное движение электрона в потенциальном ящике

Примером движения электрона в потенциальном ящике является движение коллективизированных электронов в металлах.

В этом случае энергия электрона вне и внутри потенциального ящика имеет следующие значения:

Wp= 0 при 0 x ,

Wp=

при x 0 и x , (5.14)

ширина потенциального ящика.

Согласно классической теории вне металла потенциальная энергия электрона равна нулю, т. е. Wp = 0, а внутри металла она отрицательна и численно равна работе выхода электрона из металла (Wp = Ав ).

Следовательно, движение электрона ограничено потенциальным барьером прямоугольной формы с плоским дном (рис.

5.2).

Для квантового описания движения электрона в таком потенциальном ящике применим стационарное уравнение Шредингера

2	8		2m	[W Wp (x)] 0 .
x 2			h 2

Это уравнение имеет решение, если волновая функция

Рис. 5.2