10) Спектры мощности.
Временная функция мощности сигнала в общей форме определяется выражением:
w(t) = s(t) s*(t) = |s(t)|2.
Спектральная плотность мощности, соответственно, равна преобразованию Фурье произведения s(t)·s*(t), которое отобразится в спектральном представлении сверткой Фурье-образов этих функций:
(3.15)
Но для всех текущих значений частоты f интеграл в правой части этого выражения равен произведению S(f)·S*(f), так как для всех значений сдвига v ≠ 0 в силу ортогональности гармоник S(f) и S*(f - v) значения их произведения равны нулю. Отсюда:
W(f) = S(f) * S*(f) = |S(f)|2. (3.16)
Спектр мощности – вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности.
Для функций мощности взаимодействия сигналов в частотной области соответственно имеем частотные спектры мощности взаимодействия сигналов:
Wxy(f) = X(f) Y*(f),
Wyx(f) = Y(f) X*(f),
Wxy(f) = W*yx(f).
Функции мощности взаимодействия сигналов комплексные, даже если обе функции x(t) и y(t) вещественны, при этом Re[Wxy(f)] – четная функция, а Im[Wxy(f)] – нечетная. Отсюда полная энергия взаимодействия сигналов при интегрировании функций мощности взаимодействия определяется только реальной частью спектра:
и всегда является вещественным числом.
11) Равенство Парсеваля. Полная энергия спектра сигнала:
(3.17)
Так как координатное и частотное представление по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует равенство Парсеваля:
т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра – сумме энергий всех частотных составляющих сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия сигналов:
Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:
(x(t),y(t)) = (X(f),Y(f)), ||x(t)||2 = ||X(f)||2.
Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по ω) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2π.
4. Сигналы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова
4.1. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова
Как отмечено ранее, любые сигналы конечной длительности теоретически имеют бесконечно широкий спектр частот. В то же время доля энергии, передаваемая на высоких частотах, очень мала и ею при расчете полной энергии сигнала можно пренебречь. Следовательно, сигналы с ограниченным спектром являются удобными математическими моделями реальных сигналов.
В 1933 году В. А. Котельников доказал, что сигнал х(t) с ограниченной полосой частот, не имеющий спектральных компонент с частотами, которые превышают значение ωв = 2πFв, однозначно определяется значениями, выбранными через равные промежутки времени [1]
Δt = π/ωв = 1/2Fв.
Рис. 4.1. Временные диаграммы непрерывного сигнала s(t) и дискретизированного sд(t)
Важно, что не надо передавать непрерывно исходный сигнал s(t), достаточно передавать отсчёты s(kt). Это первый шаг перехода от непрерывного сигнала к цифровому. С точки зрения математики теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда:
(4.1)
Ряд Котельникова – это разложение сигнала s(t) в ряд по ортогональным функциям φk(t).
(4.2)
Теоретически дискретизация осуществляется с помощью -импульсов.
Рис. 4.2. Временная диаграмма одиночного -импульса
Спектр одиночного -импульса получим, используя преобразование Фурье:
Использовано "фильтрующее" свойство дельта-функций:
Следовательно, спектр одиночного дельта-импульса имеет вид:
Рис. 4.3. Спектр одиночного δ-импульса
Чтобы получить отсчёты функции s(t) перемножим функцию s(t) на периодическую последовательность дельта-импульсов с периодом Т = t.
Рис. 4.4. Временная диаграмма периодической последовательности
δ-импульсов
Так как сигнал периодический, то его спектр будет дискретным.
(4.3)
;
Т = t; ωд – частота дискретизации.