2-Гидромеханика 1

101

3. Есливо2-йтрубетеченияводынет(бак2 нейтрален), тоy =H2, тогдаQ1= Q3 иопределяютсяизнезависимыхуравнений

H1 − H2 = 0,0827Q2λ 1 L1 ,

1 d15

H2 − H3 = 0,0827Q2λ 3 L3 .

3 d35

Чтобыустановить,какойизтрехперечисленныхвариантовимеет местовданномконкретномслучае, поступаемследующимобразом:

1) задаемсяусловновеличинойу, равнойH2,

y = H2;

2) в этом предположении, отвечающем случаю, когда бак 2 нейтрален, определяемнапорy ′вузловойточке

′	−			(H1 − H3 )					;
y = H1			λ			L3	d15	+1
				3
			λ
				1		L d5
					1		3

3) сопоставляем между собой найденные y,′H1 и H2. Если

оказывается, что

y′=H2,

тобак2 вдействительностинеработает(оннейтрален).

Еслиоказывается, что

y′>H2,

то бак 2 питается из бака 1, и, следовательно, вода по 2-й трубе поднимается вверх.

Если оказывается, что

y′<H2,

тобак2 питаетбак3, причемводаво2-йтрубедвижетсявниз.

Трубопроводы с непрерывным расходом по длине (трубы орошения)

Предположим, что имеется трубопровод, на одном из участковкоторогопроисходитнепрерывнаяравномернаяраздача жидкости(рис. 8.6). Диаметртрубопровода– d идлина– l.

В начало участка поступает расход Q. Часть этого расхода потребляетсянаучастке, ачастьпроходитдальше. Первуюизних называют путевым (расход раздачи) расходом Qр и вторую тран-

102

зитнымQт. Рассмотримтрубопроводснепрерывнымрасходомпо длинеQр /l.

	l	H
x
	M
		Qm
Рис. 8.6	Qр

Изсказанноговышеследует

Q = Qm + Qp.

РасходвточкеM

QM = Qm + Qp − Qlp x .

Влюбомместетрубопроводагидравлическийуклон

= Q2 ,

Ix x

Kx2

дляквадратичнойзоныипостоянногодиаметрапринимаемKx=K. Ввиду того что на рассматриваемом участке общий расход

является непостоянным, можно написать выражение для потери напоралишьвдифференциальнойформе(см. рис. 8.6) Дляэлемента dx усеченияM

Q

+ Q

−

Qp

x 2

2

p

m

l

Ix

= dH

=

QM

=

,

K 2

K 2

dx

2Qp

2

dH = I

dx =

1

(Q

+ Q

)2 −

(Q

+ Q

)x +

Qp

x2 dx.

x

K

2

m

p

l

m

p

l2

ПринимаярасходнуюхарактеристикуK 2= const, запишем

l

2Qр

2

H =

1

(Q + Q

)2

−

(Q + Q

)x +

Qp

x2 dx.

K 2 ∫

m

p

l

m

p

l2

0

Послеинтегрированияполучим

H =

l

Q2 + Q

Q

+

1 Q2

≈

l

(Q + 0,55Q )2

,

K 2

m

ρ

K 2

m

ρ

m

3 p

где(Qm+ 0,55Qp ) – расчётныйрасход.

103

Формулавтакомвидевстречаетсявсправочнойлитературе. Вчастномслучае, когдаимеетсятолькораздача(Qm= 0),

H = 13Qp2 Kl 2 .

Принепрерывнойраздачерасходатребуетсянапорав3 раза меньше, чемпритранзитетакогорасхода.

Трубопроводы с насосной подачей жидкости

Дано минимально допустимое абсолютное давление перед входомвнасоср1, итребуетсянайтиоднуизследующихпредельно допустимыхвеличинH1max, Qmax, dmin илиp0min.

H

3

3 pа

Ха

2 H2

рактерист

а

p

ик

1

а

о

д

н

а

о

о

в

1

с

с

р

а

п

р

о

2

б

ра

у

H

по

т

0

а

го

н

1

H1

япотребно

Крива

pа

H0

0

0

Рис. 8.7

Qр

Q

Рис. 8.8

Запишем уравнение Бернулли для движения жидкости по напорномутрубопроводу, т. е. длясечений2–2 и3–3:

	p	2	+	v2	= H2	+	p	+ ∑ hтр2−3.
				2			3
	ρ g			2g			g
						ρ

Леваячастьуравненияпредставляетсобойэнергиюжидкости на выходе из насоса, отнесенную к единице веса.

Аналогичная энергия жидкости перед входом в насос может быть вычислена по уравнению

	p	+	v2	=	p	− H1 − ∑ hтр0−1.
	1		1		0
	ρ g		2g		g
				ρ

Найдемприращениеэнергиижидкостивнасосе, т. е. определим ту энергию, которую приобретает, проходя через насос, каждая единицавесажидкости. Этаэнергиясообщаетсяжидкостинасосом, поэтому она носит название напора, создаваемого насосом, и обозначаетсяобычноHнас.

104

Для нахождения Hнас вычтем последнее уравнение из пре-

дыдущегоуравнения

p

2

v2

p

v2

p

−

p

0

+ ∑ hтр0−1

+ ∑ hтр2−3,

+

2

1

+

1

= H1 + H2 +

3

Hнас =

ρ g

−

ρ g

2g

ρ g

2g

или

H нас = ∆ z+	p3 − p0		+ KQm ,
	ρ g

где ∆ z – полная геометрическая высота подъема жидкости, KQ m – сумма гидравлических потерь во всасывающем и напорномтрубопроводах.

Есликдействительнойразности∆ z уровнейдобавитьразность пьезометрическихвысот( р3– p0)/(pg), томожнорассматриватькакбы увеличеннуюразностьуровней

H0 = ∆ z + p3ρ−gp0

иформулупереписатьтак

Hнас=H0+Σhтр0–3.

Сравнимполученноевыражениесформулойдляпотребного напора. Очевидно, что

Hнас=Hпотр.

Это равенство можно распространить на все случаи устойчивой работы насоса, соединенного с трубопроводом, и сформулироватьввидеследующегоправила: приустановившемся течениижидкостивтрубопроводенасосразвиваетнапор, равный потребному.

Наэтомравенствеосновываетсяметодрасчетатрубопроводов, питаемыхнасосом, которыйзаключаетсявсовместномпостроении, водномитомжемасштабеинаодномграфикедвухкривых, напора Hпотр= f1(Q) ихарактеристикинасосаHнас= f2(Q) ивнахожденииих точкипересечения(рис. 8.7).

Вточкепересечениякривойпотребногонапораихарактеристики насоса имеем равенство между потребным напором и напором, создаваемымнасосом. Этаточканазываетсярабочейточкой, таккак всегдареализуетсярежимработынасоса, ейсоответствующий. Чтобы получитьдругуюрабочуюточку, необходимоилиизменитьоткрытие регулировочногокрана(вентиля, задвижки), т. е. изменитьхарактеристикутрубопровода, илиизменитьчастотувращенияваланасоса.

105

Указанныйрасчетныйприемдлянахождениярабочейточки применимвтомслучае, когдачастотавращенияприводанасосанe зависит от мощности, им потребляемой, т. е. от нагрузки на валу насоса. Это имеет место, например, при соединении насоса с электродвигателем переменного тока или с иным двигателем, мощность которого во много раз больше мощности насоса.

Разомкнутая сеть (трубопровод с концевой раздачей)

Заданыконцевыерасходы, необходимоопределитьнапорH и диаметрытрубdi.

F

5

l5

Q=5 л/с

Q=10 л/с

A

l1

8

l2 10

l3

5

Q=15 л/с

B

10

C

D

l4

Q=5 л/с

E

Рис. 8.9

10

Q=2 л/с

Кромеэтогоизвестны ∆ – высотаположенияточек, l1 = 1000 м,

l2 = 500 м, l3 = 1000 м, l4 = 200 м, l5 = 500 м.

Определяемрасчетомрасходынаучасткахосновноймагистрали: налинииAC – расход=37 л/с=Q1,

налинииCD – расход=22 л/с=Q2,

налинииDB – расход=15 л/с=Q3.

Общая схема решения задачи. По расходам Q подбираются оптимальные диаметры труб d1, d2 и d3. По диаметрам определяются расходныехарактеристики K1, K2, K3.

Используютсярасчетныеформулыводопроводногоуравнения

H

AC

= Q2

l1

,

H

CD

=

Q2

l2

, H

DB

=

Q2

l3

,

K

2

K

2

K

2

1

2

3

1

2

3

H = H AC + HCD + HDB + hсв, hсв = 5 м,

K5 = Q5

HCF

,

K4 = Q4

HDE

,

l5

l4

hсв – запаснапора.

106

По расходной характеристике можно определить диаметр трубопровода.

Расчет магистрали. По таблице находим рекомендуемые диаметры:

дляQ1=37 л/с,

d1=250мм,

дляQ2=22 л/с,

d2=200мм,

дляQ3=15 л/с,

d3=150мм.

Расходныехарактеристики(трубынормальные)

K1 = 644, K2 = 355, K3 = 165,

K 2

= 4,15 105 , K

2

= 1,26 105 , K 2 = 2,72 104.

1

2

3

Потеринапоранаотдельныхучастках

H

AC

= Q2

l1

= 372

1000

= 3,23 м,

K 2

4,15 105

1

1

H

CD

= Q2

l2

= 222

500

= 1,92 м,

1,26 105

2 K22

H

DB

= Q2

l3

=152

1000

= 8,27 м.

2,72 104

3 K32

Полнаяпотерянапора

HA=13,42

HAB = HAC + HCD + HDB =

= 3,23 +1,92 + 8,27 =13,42 м.

A

C

D

B

Необходимыйнапор

10

H = H AB + hсв

= 13,42 м+ 5 = 18,42 м.

8

10

5

Высотанапорногосооружениявточке

Рис. 8.10

А

H A = 5 +18,42 −10 = 13,42 м.

Расчетбоковыхветвей

НапорвточкеC

HC = 13,42 − 3,23 + 2 = 12,19 м.

Потеря напора на участке CF должна быть

HCF = 12,19 м+ 3 - 5 = 10,19 м,

K5 =

Q5

=

10

=

10

= 70 л с, d5 ≈ 150 мм.

HCF

0,143

l5

10,09 500

107

НапорвточкеD HD=13,42–3,23–1,92=8,27 м.

ПотерянапоранаучасткеDE должнабыть

					HDE = 8,27 − 5 = 3,27 м,
K4	=	Q4		=	2	=	2	=15,6 л с, d4	≈ 75 мм.
		HDE			3,27		0,128
			l4			200

Величины допустимых скоростей течения жидкости в трубах разных диаметров и их расходные характеристики

Диаметр,	Допустимая			2	2	2
мм	скорость, м/с	Расход, л/с	K, л/с	K	, л	/с
50	0,75	1,5	8,5		72
75	0,75	3,3	25	625
100	0,75	6	56	3130
150	0,80	14	165	2,72 104
200	0,90	28	355	1,26 105
250	1,00	49	644	4,15 105
300	1,10	78	1050	1,10 106
400	1,25	157	2260	5,09 106
500	1,40	275	4000	16,00 106

Гидравлический удар в трубопроводах

Явление гидравлического удара открыл и теоретически разработалН. Е. Жуковский. Исследуячастыеавариимосковского трубопровода он пришел к выводу, что аварии происходят из-за быстрого закрытия задвижек в трубопроводной сети. При этом кинетическая энергияпотокапереходитвпотенциальнуюэнергию давления. Потенциальнаяэнергиядавлениярасходуетсянасжатие жидкостиинарасширениестеноктрубопровода.

Комплексявлений,возникающихвтрубопроводевсвязисрезким изменениемскороститеченияжидкостиисопровождающихсярезким изменениемдавления, называетсягидравлическимударом.

Гидравлическийударвызываетдополнительноеповышениеили понижениедавления, достигающеезначительныхвеличин. Например, дляметаллическоготрубопроводаприрезкомуменьшениискорости

108

теченияводына1 м/сдополнительноедавлениепригидравлическом ударевозрастаетпримернона10 ат.

При гидравлическом ударе кинетическая энергия потока расходуетсянаработупорасширениюстеноктрубыA1 инаработупо сжатиюжидкостиA2

Rк.э.= A1+ A2.

Из этого уравнения определим величину дополнительного давлениявтрубе, котороевозникаетпригидравлическомударе.

Найдемприращениеработыпридеформациирадиусатрубыr навеличинуdr

dA1=2πrlpdr.

Вэтойформулеl–длинарассматриваемогоучасткатрубы,2πrlp–си- ла, деформирующаятрубу, dr – путь, проходимыйсилой.

Выразимперемещениеdr через приращениедавленияdp. Для этогозапишемформулудляприращениянапряженияdσ придействииdp

dσ = dp22t r= dprt ,

гдеt – толщинастенкитрубы.

Тожеприращениенапряженияdσ , выраженноечерезотносительное удлинениепериметратрубыεимодульупругостиметалла

стенкитрубыE,

dσ =εE,

где

ε = 2∆πlr = 2π2πdrr = drr ,

dr

δr r

l

dp

	d=2r
t	t

Рис. 8.11

109

поэтому

dσ =

dr

E.

r

Приравнявдвазначенияdσ

dp r

=

dr

E

найдем

t

r

dpr

2

dr =

.

Тогда

Et

r3

dA = 2πl

pdp.

1

Et

ПолнаяработаA1,затраченнаянадеформациюстенкитрубыпри повышениидавленияот0 доp,

		r3	p	πlr	3	2
A	= 2πrl		pdp =		p		.
1		Et ∫0		Et

При изменении давления внутри трубы на бесконечно малую величину dp радиус трубы деформируется на бесконечно малую величину dr. При изменении давления от 0 до p радиус деформируется на конечную величину δ r, которая в расчетах не используется.

Приращениеработы, затраченнойнасжатиежидкостивтрубе, равноприращениюобъема, умноженномунавеличинудействующего

давления,

dA2= dVp.

Далее используем известное положение физики, что отношение приращения объемажидкости кпервоначальному объему равно отношению приращения давления к модулю упругости

жидкости E1		dV	=		dp			,
		V			E
откуда						1
				dp
	dV =						V ,
				E
где			1
тогда		V = πr2l,
			πr2l
	dA =						pdp.
	2		E1

110

Полнаяработа, затраченнаянасжатиежидкостивтрубе,

	πr2l p		πr2l	2
A2 =		∫ pdp =	2E	p	.
	E
	1	0	1

Кинетическаяэнергиямассыжидкостиm=ρπ r2l, движущейсясо скоростьюv,

R	=	mv2	= ρ	πr2lv2	.
к.э.		2		2

ПодставимэтовыражениеинайденныеA1 иA2 висходноеуравнение:

πr2lv2

πlr

2

πr2l

2

ρ

=

Et

p +

2E p

,

2

откуда

1

v

2

r

1

ρ

=

+

p2 .

2

Et

2E1

Из этого равенства получим формулу для определения повышениядавлениявнутритрубыпривнезапнойостановкепотока жидкости, движущегосясоскоростьюv,

p =

ρ 2v2

= ρ vc,

2ρ

r

+

1

Et

2E1

где c =

1

=

E1

ρ

– скоростьраспространенияудар-

2r

E d

ρ

+

1

1

+1

E t

Et

E1

c =

E1

ной волны в трубопроводе,

– скорость распространения

1

ρ

ударнойволнывжидкости(скоростьраспространениязвука). Для

водыc1 = 1425 м/с, E1 = 2,03 109 Н/м2 = 2,07 108 кгс/м2.

Полноедавлениевтрубесостоитизначальногостатическогоp0 и давления, возникающего в результате гидравлического удара p,

p ′= p 0 + p .

Проверка прочности из условия гидравлического удара является необходимой частью практического расчета трубопроводов, т.к. напряжения при этой проверке в трубах могут оказатьсявесьмазначительными.