Интерференция

где n =vc - показатель преломления среды. Произведение геометрического пути s напоказательпреломлениясреды n называетсяоптическойдлинойпути

L =s n .	(1.12)
Обозначимразностьоптическихпутейчерез ∆
(s1n1 −s2n2 ) = ∆ = L1 −L2	(1.13)

иназовёмоптическойразностьюхода.

Заменив ωc через 2πνc = 2πλ0 , (использовали v = nc ; ω= 2πν ; cν =λ0 -

длинаволныввакууме) выражениюдляразностифазможнопридатьвид:

δ = 2π	∆	.	(1.14).
	λ0

Формула(1.14) устанавливаетсвязьмеждуразностьюфаз δ иоптическойразностьюхода ∆ . Разность фаз равна числу 2π, умноженному на число длин волн ввакууме, укладывающихсявоптическойразностихода.

Формулу(1.14) можнопереписатьтакжеввиде:

	∆	=	δ	.	(1.14а)
	λ
			2π
Определение. Отношение	∆	называют порядком интерференции и обычно
	λ

обозначаютбуквой m .

Из формул (1.4), (1.9) и (1.14) следует, что максимум амплитуды результи-

рующей волны будет в том случае,			когда разность фаз δ складываемых волн
равначётномучислу π (cosδ =1):
δ = 2π	∆	= ±2mπ.		(m = 0, 1, 2, 3,……).		(1.15)
	λ0
Отсюдаследуетусловиемаксимума:				λ0 .
		∆ = ±2m				(1.16)
				2
Соответственно, разностьфаз δ, равнаянечётномучислу π (cosδ = −1),
		δ = 2π	= ±(2m +1)π			(1.17)
		λ
0
соответствуетусловиюминимума			2m +1)λ0 .
		∆ = ±(			(1.18)
				2

Таким образом, условие минимума и максимума в терминах оптической разности хода звучит следующим образом: если оптическая разность хода ∆ равна целому числу длин волн в вакууме (чётному числу полуволн), то в этой точке пространства наблюдается максимум, а если оптическая разность хода ∆ равна нечётному числу полуволн - в этой точке пространства наблюдается минимум.

11

Отметим, что максимумы и минимумы освещённости, наблюдаемые в интерференционных картинах, не связаны с какими-либо превращениями энергии света — в местах минимумов световая энергия не переходит в другие форма энергии, происходит лишь перераспределение светового потока, в результате чего максимумы освещённости в одних местах компенсируются минимумами в других. Закон сохранения энергии при этом не нарушается.

Излучение обычных (не лазерных) источников света представляет собой наложение огромного числа несогласованных между собой цугов волн, т.е. беспорядочные некогерентные колебания, которые не могут интерферировать. Действительно, каждая частотная компонента немонохроматического излучения создает свою интерференционную картину (полосы) в плоскости наблюдения. Эти полосы накладываются друг на друга, причем максимумы одной картины могут совпадать с минимумами другой. В результате освещённость экрана оказывается однородной, т.е. интерференция исчезает. Поэтому для наблюдения интерференции с использованием немонохроматического света приходится прибегать к различным ухищрениям: применять спектральные фильтры, располагать источники таким образом, чтобы их можно было считать точечными, и другим.

Наблюдать интерференцию света от некогерентных источников можно, если разделить излучение на два или несколько пучков, а затем свести их вместе. Хотя в каждом из пучков за время наблюдения фазовые соотношения между цугами хаотически изменяются, эти изменения одинаковы в разных пучках. Интерференционная картина будет наблюдаться, если разность хода между пучками не превышает длины отдельного цуга.

2. ОПЫТ ЮНГА.

РАСЧЁТ ИНТЕРФЕРНЦИОННОЙ КАРТИНЫ ОТ ДВУХ ЩЕЛЕЙ

В оптике явление интерференции впервые наблюдалось Юнгом в 1801 г. (рис. 2.3). Здесь свет от источника проходит сначала через маленькое отверстие в экране S, а затем падает на другой экран с двумя маленькими отверстиями S1 и S2, разнесенными на некоторое расстояние d . Прошедший через отверстия свет падает на экран Э, где и наблюдается интерференционная картина. Опыт Юнга был первым убедительным доказательством того, что наложение света может образовать темноту, а наблюдение интерференции в опыте Юнга явилось экспериментальным доказательством волновой природы света.

12

y

		l	Рис. 2.4.
	Рис. 2.3. Опыт Юнга.

Когерентные световые волны можно получить, разделив (с помощью отражений или преломлений) волну, излучаемую одним источником, на две части. Если потом заставить эти две волны пройти разные оптические пути, а потом наложить друг на друга, наблюдается интерференция. Разность оптических длин путей, проходимая интерферирующими волнами, не должна быть очень большой, так как складывающиеся колебания должны принадлежать одному и тому же результирующему цугу волн.

Рассмотрим две сферические или цилиндрические световые волны, исходящие из источников S1 и S2 , имеющих вид светящихся точек или ще-

лей, расположенных на расстоянии d (Рис. 2.4). Экран Э параллелен щелям и находится от них на расстоянии l , при этом l>>d . Область, в которой волны перекрываются, называется полем интерференции.

Найдём положение максимумов и минимумов на интерференционной картине от двух щелей. Интенсивность в произвольной точке А, находящейся на расстоянии y от центра интерференционной картины в точке О ,

определяется разностью хода двух волн:
∆ =s2 −s1 .		(2.1)
Из геометрических построений на рис. 2.4 видно, что:
s22	=l 2 +(y +d 2)2 ,	(2.2)
s2	=l 2 +(y −d 2)2 .
1

Вычитая из первого уравнения второе и пренебрегая членом d2 4 , получим:

s2	−s2	= (s		2	+s )(s			2		−s ) = 2yd .
2	1					1				1
Отсюда:						2yd
∆ =s			−s =								.	(2.3)
						s	+s
		2	1						2
						1

13

Из условия l>>d следует s1 +s2 2l , поэтому оптическая разность хода в точке А равна:

∆ =y d .	(2.4)
l

Подставив выражение для разности хода (2.4) в условие наблюдения максимума (1.16) и минимума (1.18), получим выражение для расстояний от центра ymax и ymin для максимумов и минимумов интенсивности света:

	положение максимумов при						∆ =y d	=mλ0		отсюда:
				l			l
	y	max	=m		λ	0	(m = 0,±1,±2,±3,........),				(2.5)
				d
							∆ =y d			λ0
	положение минимумов при							= (2m	+1)
							l			2

ymin = m + 1 dl λ0 (m = 0,±1,±2,±3,........). (2.6)

2

2.1.ШИРИНА ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ ПОЛОСЫ

Из (2.5) следует, что в точке y = 0 расположен максимум, соответст-

вующий нулевой разности хода. Для него порядок интерференции m = 0 . Это центр интерференционной картины. При переходе к соседнему максимуму m меняется на единицу и y — на величину ∆y . Расстояние между

двумя соседними максимумами (или минимумами) ∆y = (ym+1 −ym ) назы-

вается шириной интерференционной полосы. Из формулы (2.5) или (2.6) легко получить:

∆y =ym+1 −ym =(m +1)dl λ0 −m dl λ0 = dl λ0 .

Отсюда следует, что ширина интерференционной полосы определяется выражением:

	∆y =	l	λ	0	(2.7)
		d

Согласно формуле (2.7), расстояние между полосами растёт с уменьшением расстояния между щелями d и с увеличением расстояния до экрана l . При d , сравнимом с l , расстояние между полосами было бы одного порядка с λ, и составляло бы несколько десятка мкм. В этом случае отдельные полосы были бы совершенно неразличимы, поскольку разрешающая способность глаза ≈ 0,1мм, а длина волны света ≈ 0,5мкм, т.е. на три порядка меньше. Для того чтобы интерференционная картина стала отчётливой, необходимо соблюдение упоминавшегося выше условия l>>d .

Период, положение и контрастность интерференционных полос зависят от основных параметров источников излучения: их длины волны (или час-

14

тоты), начальной фазы, соотношения амплитуд, а также от взаимного расположения источников. Проследим это влияние на модельных экспериментах.

Влияние расстояния между источниками излучения на интерференционную картину продемонстрировано на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Влияние расстояния между источниками на ширину интерференционных полос: в случае (а) расстояние в два раза больше, чем в случае (б).

На этом рисунке полосы от двух точечных источников в области чередования тёмных и светлых участков (гребней и впадин волн) соответствуют максимумам интерференционной картины, а расходящиеся веером серые полосы — интерференционным минимумам. Как и следует из формулы для ширины интерференционной полосы (2.7), при сближении источников (рис. 2.5б) период интерференционной картины возрастает.

Изменение длины волны источников моделируется на рис. 2.6. При неизменном расстоянии между ними с увеличением длины волны (рис. 2.6б) ширина интерференционной полосы возрастает, чтобы набрать прежнюю разность хода, теперь нужно большее расстояние.

Рис. 2.6. Влияние длины волны на ширину интерференционных полос: в случае (а) длина волны в два раза меньше, чем в случае (б).

15

Введём в рассмотрение угол ψ - угол, под которым видны щели S1 и S2

из центра интерференционной картины. Из рис. 2.7 видно, что ψ = dl , по-

этому формулу для ширины интерференционной полосы (2.7) можно переписать в виде:

∆y =	λ0 .			(2.8)
	ψ
				y

Рис. 2.7

Таким образом, ширина интерференционной полосы пропорциональна длине волны λ0 и обратно пропорциональна углу, под которым видны ис-

точники волн из центра интерференционной картины.

2.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ

Рассмотрим идеализированный случай, когда два одинаковых источника S1 и S2 в опыте Юнга строго монохроматические. В интересующую нас

точку экрана колебания от этих источников будут приходить практически с одинаковой амплитудой A1 = A2 = A0 . Тогда согласно формуле (1.3)

A2 = 2A2	+ 2A2	cosδ = 2A2	(1+ cosδ)= 4A2 cos2	(δ 2),	(2.9)
0	0	0	0

где δ — разность фаз. Последнее выражение записано, используя формулу половинного угла из тригонометрии (1+ cosα)= 2cos2 (α2).

Разность фаз согласно формуле (1.14) равна δ= 2π ∆ .

λ0

Поскольку интенсивность I0 ~A02 , из (2.8) получим:

I = 4I	0 cos	2		π	∆	,	(2.10)
					λ

где m = ∆λ - порядок интерференции.

16

Из формулы следует, что если интерференция наблюдается, то интен-

сивность в максимумах равна I = 4I0 при значении cos	2		π	∆	=1, а в ми-
				λ

нимумах I = 0

при cos

2

π

∆

= 0 . При отсутствии интерференции

I = 2I0 ,

λ

так как

cos

2

π

∆

=1 2

λ

cos2 π∆λ

m = ∆λ

Рис. 2.8. Распределение интенсивности на интерференционной картине от двойной щели в случае монохроматической волны.

Естественно, что показанное на рис. 2.8 идеализированное распределение интенсивности I (y) существенно отличается от реального. Эти отли-

чия обусловлены: во-первых, степенью монохроматичности и степенью пространственной когерентности используемого света, и, во-вторых, дифракционными явлениями.

В случае белого света интерференционная картина от двойной щели представляет собой чередование тёмных и разноцветных полос, параллельных друг другу (Рис. 2.9.).

Центральная полоса или нулевой максимум (m = 0 ) белого цвета, поскольку соответствует нулевому сдвигу фаз для всех компонент белого света. Остальные максимумы разложены в спектр. Но, начиная со второго максимума, интерференционные полосы перекрываются и далее исчезают.

Рис. 2.9.

Появление разноцветных полос, очевидно, связано с тем, что условия интерференции (1.16 и 1.18) для различных частотных компонентов белого

17

света соблюдаются в пространственно различных точках экрана (ymax λ0 и ymin λ0 ). Чем больше длина волны, тем дальше от центра располагается

максимум или минимум для данной длины волны.

Из формулы ширины интерференционной полосы (2.7) следует, что:

λ0	= d	∆y .	(2.11)
	l

Измерив, расстояние между полосами ∆y = (ym+1 −ym ) , а также расстояние

от щелей до экрана l и расстояние между центрами щелей d можно вычислить λ0 . Именно из опытов по интерференции света впервые Юнгом

были определены длины волн для световых лучей разного цвета.

3. КОГЕРЕНТНОСТЬ

При объяснении явления интерференции важным понятием является понятие когерентности света. Исторически оно возникло в связи с интерференционными опытами. Появление интерференционной картины в опыте Юнга (и в других опытах) зависит от того, какой свет падает на экран с двумя точечными отверстиями.

Если это свет точечного источника, каковым является маленькое отверстие в экране S или узкая щель, то интерференция есть. Если же это свет от протяженного источника или свет, рассеянный матовой пластинкой, то интерференции нет. Способность света давать интерференционную картину называют когерентностью. Когерентность связана со структурой света: когерентный свет — это свет, структура которого близка к плоской или сферической гармонической волне. Про такой свет говорят, что он имеет высоко упорядоченную структуру. Понятию когерентности соответствует понятия: «согласование», «корреляция». В противоположность этому некогерентный свет — это свет, не способный давать интерференцию и подчиняющийся закону сложения интенсивностей. Такой свет представляет собой случайно модулированную волну, т.е. волну, у которой амплитуда и фаза описываются случайными функциями.

Монохроматические волны считаются когерентными, если они имеют одинаковые частоты, а разность фаз между ними остается неизменной с течением времени. Такие волны интерферируют. Подчеркнем, что интерференция имеет место для волн одинаковой поляризации.

3.1. ВРЕМЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ. ДЛИНА КОГЕРЕНТНОСТИ

Различают временную и пространственную когерентность или, в дру-

гих терминах, различают длину и ширину когерентности. Понятие временной когерентности (или длины когерентности) связано со степенью монохроматичности света, поскольку идеального монохроматического света не существует. В опыте Юнга интерференционная картина по мере удаления

18

от её середины размывается, видны несколько полос, но далее постепенно они исчезают. Очевидно, это связано с тем, что степень когерентности складываемых в этих точках экрана волн постепенно уменьшается, по мере увеличения разности хода между ними.

Например, мы наблюдаем четыре порядка интерференции (4 полосы - mmax = 4 ), а затем полосы исчезают. Исчезновение полос с m >4 означает,

что, пока разность хода между волнами ∆ =mλ = 4λ, волны когерентны (этот вывод следует из условия минимумов и максимумов). Это значит, что вдоль распространения волны когерентными между собой будут только участки волны в этом интервале lc ≈ ∆. Данный интервал и называется

длиной когерентности lc . В рассматриваемом случае lc = 4λ. Заметим, что в данных условиях это простейший способ оценки длины когерентности:

lc =mmax λ,

(3.1)

где m max - максимальный порядок интерференции, соответствующий ещё

видимой светлой полосе. Всё это можно схематически представить с помощью рис. 3.1.

Свет, падающий на обе щели, имеет какую - то длину когерентности lког . Обе щели создают две волны с такой же длиной когерентности, но,

поскольку они достигают разных точек экрана с различными разностями хода, то участки когерентности обеих волн постепенно сдвигаются относительно друг друга и, начиная с m =5 , перестают перекрывать друг друга.

Рис. 3.1

Складываемые волны перестают быть когерентными, и интерференционные полосы исчезают. Всё сказанное справедливо при условии, что «первичная» щель достаточно узка. При расширении щели вступает в действие другой эффект, связанный с пространственной когерентностью (шириной интерференции).

Найдём выражение, определяющее lког . Известно, что строго монохро-

матический свет – это идеализация. Реальный свет остаётся в той или иной степени немонохроматическим, представляющим собой набор монохроматических компонент в некотором конечном интервале длин волн ( λ + ∆λ). Будем считать, что монохроматические компоненты равномерно заполняют этот интервал.

19

Как показывает формула (2.1) ∆y = dl λ0 ширина интерференционной

полосы ∆y пропорциональна λ (без более тонких деталей). Изобразим

положение максимумов для длин, соответствующих крайним значениям спектрального интервала ( λ + ∆λ), сплошными отрезками – для λ, пунктирными для - λ + ∆λ. Максимумы же промежуточных длин волн заполняют интервал между крайними максимумами каждого порядка интерференции. В результате промежуточные максимумы, как видно из рисунка, будут постепенно размываться, и полосы постепенно исчезнут.

С помощью рисунка рис. 3.2 можно заключить, что полосы исчезнут при таком максимальном значении m , где m -ый максимум самой длинной волны совпадёт с (m +1) - максимумом более короткой волны:

mmax (λ+ ∆λ)≈(mmax +1)λ,

здесь mmax - предельный порядок интерференции, начиная с которого по-

лосы исчезают. Отсюда максимальный порядок интерференции:
mmax ≈	λ
		.	(3.2)
	∆λ

Величина λ∆λ характеризует степень монохроматичности света: чем

она больше, тем больше и степень монохроматичности, тем больше чётких максимумов наблюдается на интерференционной картине.

Рис. 3.2

Таким образом, мы нашли то значение mmax , при котором интерферен-

ция исчезает, т.е. складываемые колебания становятся уже не когерентными. Заметим, что установить точное значении mmax затруднительно из-за

того, что полосы размываются и исчезают постепенно.

Найденное значение mmax (3.2) связано с длиной когерентности (3.1) как lког ≈mmax λ. Отсюда следует, что

lког ≈	λ		λ2
		λ =		.	(3.3)
	∆λ		∆λ

Мы видим, что длина когерентности световой волны непосредственно связана со степенью монохроматичности (λ∆λ): чем больше последняя,

20