Интерференция

тем больше и длина когерентности, тем больше наблюдается максимумов на интерференционной картине. Для солнечного света lког =5λ, для луч-

ших (не лазерных) источников удалось получить lког порядка несколько десятков сантиметров. Лазеры позволили получить излучение с lког поряд-

ка сотен метров (и даже нескольких километров)!

Отсюда следует, что для получения интерференционной картины необходимо, чтобы оптическая разность хода складываемых волн была меньше длины когерентности: ∆ <lког .

В заключение заметим, что длина когерентности связана с так называемым временем когерентности τc - промежутком времени, в течение кото-

рого случайные изменения фазы световой волны достигают значения порядка π.

На примере интерференции от двух щелей понятие временной когерентности можно интерпретировать следующим образом. Каждая частотная компонента, присутствующая в спектре света, создает в пространстве свою интерференционную картину — периодические полосы. Результирующую картину интенсивности в плоскости наблюдения можно рассматривать как результат сложения этих распределений. Распределения, созданные различными частотными компонентами, будут иметь различную пространственную периодичность. Поэтому с увеличением времени задержки между двумя пучками интерференционная картина будет становиться все менее и менее различимой, так как минимумы одного распределения будут налагаться на максимумы другого. В результате картина окажется однородной, так как в ней не будет выраженных максимумов и минимумов интенсивности, т.е. интерферограмма не формируется. Это происходит, когда время задержки ∆t становится больше времени когерентности τc ( ∆t ≤ τc ), и интерференционные полосы исчезают.

3.2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ. ШИРИНА КОГЕРЕНТНОСТИ

Понятие «точечный источник» — это такая же идеализация, как и монохроматическая волна. Все реальные источники являются протяженными, а это приводит к уменьшению контраста интерференционной картины. Опыт показывает, что при увеличении размеров источника видимость интерференционной картины постепенно уменьшается и при достаточно больших размерах интерференционные полосы полностью исчезают. Качественно характер изменения видимости полос при увеличении размеров источника можно понять, если предположить, что протяженный источник состоит из независимых излучателей (Рис. 3.3).

21

Рис.3.3. Интерференция от протяженного источника.

Действительно, весь источник света можно «разбить» на малые площадки ∆Si с линейным размером много меньше длины волны, состоящие

из атомов, излучающих независимо от атомов другой площадки ∆Sj (i ≠ j ), поэтому волны, излучаемые этими площадками, являются не-

когерентными и интерференции между ними не будет.

Этот же случай можно рассмотреть на примере с двойной щелью. До сих пор щель S в опыте Юнга, по умолчанию, предполагалась весьма узкой (часто говорят бесконечно узкой). Расширение же щели, как и уменьшение степени монохроматичности света, приводит к ухудшению (размытию) интерференционных полос и даже к полному их исчезновению. Чтобы выяснить роль ширины щели S , рассмотрим теперь на примере опыта Юнга другой крайний случай: излучение монохроматическое, щель не узкая.

Интерференционную картину на экране Э (рис. 3.4 и рис. 3.5) можно представить как наложение интерференционных картин от бесконечно узких щелей, на которые мысленно разобьём щель S .

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Пусть положение максимумов на экране Э от узкой щели, взятой около верхнего края щели S – точки 1 — таково, как отмечено сплошными

22

отрезками на рис. 3.4. А максимумы от узкой щели, взятой около нижнего края щели S — точки 2, будут смещены вверх, они отмечены пунктирными отрезками на этом же рисунке. Интервалы между этими максимумами заполнены максимумами от промежуточных узких щелей, расположенных между краями 1 и 2.

При расширении щели S расстояния между максимумами от её крайних элементов будут увеличиваться, т. е. интервалы между соседними максимумами от одного края щели будут постепенно заполняться максимумами от остальных элементов щели.

Для простоты будем считать, что в схеме (рис. 3.5) расстояния a =b . Тогда при ширине щели s , равной ширине интерференционной полосы ∆y (s ≈ ∆y ), интервал между соседними максимумами от края 1 будет

целиком заполнен максимумами от остальных элементов щели, и интерференционные полосы исчезнут.

Итак, при расширении щели S интерференционная картина постепенно размывается и при некоторой ширине щели практически исчезает.

Это наблюдаемое явление можно объяснить и иначе, а именно: интерференционная картина исчезает вследствие того, что вторичные источники

– щели S1 и S2 становятся некогерентными. Сказанное позволяет говорить

о ширине когерентности падающей на щели S1 и S2 световой волны – ширине hc , на которой отдельные участки волны в достаточной степени коге-

рентны и дают интерференционную картину. Во избежание недоразумений уточним: под шириной когерентности понимается характерное для данной установки расстояние между точками поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны.

Найдём формулу для вычисления hc . В рассматриваемой схеме опыта Юнга очевидно, что минимальная ширина когерентности hс падающей волны не может быть меньше расстояния между щелями dщ , т.е. условие, при котором щели S1 и S2 становятся когерентным, есть следующие:

hc ≈dщ ,

(3.4)

где dщ - расстояние между щелями. Кроме того, мы выяснили, что интер-

ференционная картина исчезнет когда, когда ширина первичной щели s равна ширине интерференционного максимума ∆y (т.е. условие, при ко-

тором щели становятся не когерентными):
s ≈ ∆y .	(3.5)

Ширина интерференционного максимума, согласно формуле (2.7), равна ∆y = λld . Из этих трёх равенств получим:

	hc ≈d =	λl	≈	λl	=	λ	=	λ	,	(3.6)
		∆y		s		(s l )		ϕ

23

где ϕ - угловая ширина щели S относительно диафрагмы с двумя щелями. Итак, ширина когерентности

hc ≈	λ
	ϕ.	(3.7)

Таким образом, ширина когерентности пропорциональна длине волны и обратно пропорциональна угловой ширине источника относительно интересующего нас места (в опыте Юнга – относительно места расположения двух щелей). Сказанное поясняет рис. 3.6.

Рис. 3.6

Если в качестве источника использовать непосредственно Солнце (его угловой размер ϕ = 0,01 рад и λ = 0,5 мкм.), то ширина когерентности, согласно (3.6), hc ≈ 0,05 мм. Для получения интерференционной картины от

двух щелей с помощью такого излучения расстояние между двумя щелями должно быть меньше 0,05 мм, что сделать практически невозможно.

Из сказанного в предыдущем разделе следует, что временная когерентность связана с разбросом значений λ, и, следовательно, с разбросом зна-

чений модуля волнового вектора k = 2λπ ek , где ek единичный вектор,

совпадающий с направлением распространения световой волны. Про-

странственная когерентность связана с разбросом направлений вектора k , который характеризуется величиной ∆ek .

Формула (3.4) по существу лежит в основе метода, предложенного Физо и осуществленного Майкельсоном, по определению угловых размеров звёзд путем измерения ширины когерентности. Попытки провести эти измерения, помещая экран с двумя щелями перед объективом телескопа, оказались безуспешными: полосы интерференции оставались четкими даже при наибольшем расстоянии между этими щелями. Майкельсон преодолел эту трудность с помощью звездного интерферометра (рис. 3.7). Расположенные против щелей зеркала З0 – З0 — неподвижны, а зеркала З —З

можно одновременно раздвигать, меняя расстояние h между ними. Видимость полос зависит от степени когерентности световых колебаний на зеркалах З —З , в то время как ширина полос ∆y определяется расстоянием

между щелями. Постепенно раздвигая зеркала З — З , обнаруживают, что

24

при определенном расстоянии между ними интерференционная картина исчезает. Это значит, что расстояние hmax между этими зеркалами оказа-

лось таким, что hmax ≈hc . Остается по формуле (3.4.) вычислить ϕ. При

максимальном расстоянии h ≈ 6 м. можно было измерить угловой диаметр объекта ϕ ≈ 0,02 угл. сек.

Рис. 3.7

Первой звездой, угловой диаметр которой удалось определить, была Бетельгейза (0,047 угл. сек.). Измерив, кроме того, расстояние до неё (по параллаксу), определили диаметр этой звезды-гиганта (он оказался больше диаметра земной орбиты!).

Объём когерентности. Всё пространство, занимаемое волной, можно разбить на части, в каждой из которых волна приблизительно сохраняет когерентность. Объём такой части пространства, называемой объёмом когерентности, по порядку величины равен произведению длины когерентности lc на площадь круга, радиуса равного ширине когерентности hc

V	=l	c	πh 2 .	(3.5)
ког			c

Общие выводы. Для получения устойчивой интерференционной картины с использованием обычных (не лазерных) источников света необходимо исходную световую волну расщепить подходящим способом на две части, которые затем в области перекрытия и дадут систему полос, но лишь в том случае, если у исходной световой волны:

1) длина когерентности lc превышает оптическую разность хода ∆

складываемых колебаний и

2) ширина когерентности hc превышает расстояние dщ между щелями.

Насколько больше должны быть эти величины общепринятого соглашения нет. Будем считать, например, вдвое. Тогда можно записать:

lc ≥ 2∆	(3.6)
hc ≥ 2dщ .	(3.7)

Выполнение этих условий гарантирует получение интерференционной картины с достаточно хорошей видимостью полос.

25

4. ПОЛОСЫ РАВНОГО НАКЛОНА

Рассмотрим интерференцию в тонких пластинках. Пусть из воздуха (n0 = 1) на плоскопараллельную прозрачную пластинку с показателем пре-

ломления n и толщиной d под углом i падает плоская монохроматическая волна (рис.4.1а).

Рис. 4.1

В точке О луч частично отразится (1), а частично преломится и, после отражения на нижней поверхности пластины в точке С, выйдет из пластины в точке В (2). Вообще, в случае плоской пластинки будет наблюдаться многократное отражение и преломление от внутренних поверхностей пластинки, но мы этим пренебрежём из-за слабой интенсивности этих многократно отражённых лучей. Лучи 1 и 2 параллельны и с помощью собирающей линзы их можно свести в точке Р.

Необходимо отметить важную особенность отражения электромагнитных волн (и в частности, оптических лучей) при падении их на границу раздела двух сред из среды с меньшей диэлектрической проницаемостью. При отражении света от более плотной среды (n0 < n ) фаза изменяется на

π. Изменение фазы на π равносильно потере полуволны при отражении. Такое поведение электромагнитной волны на границе двух сред следу-

ет из граничных условий, которым должны удовлетворять тангенциальные компоненты векторов напряженности электрического и магнитного поля на границе раздела: Eτ1 =Eτ2 , Hτ1 = Hτ2 . С учетом этого оптическая раз-

ность хода:

∆ =n (OC +CB )−(OA −λ2).

Из рис. 4.1 видно, что OC =CB =dcosr и

OA =OB sini = 2d tgr sini = 2dn tgr sinr .

Последнее выражение записано, используя закон преломления sini =n sinr .

26

λ0

2dn

2

r

∆ −

=

−

2dn tgr sinr = 2dn

1

− sin

= 2dn cosr

cosr

или

2

cosr

cosr

λ0

∆ −

= 2dn cosr .

(4.1)

2

Так как n cosr =n

1−sin2 r =

n2 −n2 sin2 r =

n2 −sin2 i , то в итоге по-

лучаем формулу, определяющую разность хода между отражённой и преломлённой волной на тонкой пластинке:

∆ = 2d n2 −sin2 i ±	λ .	(4.2)
	2

Если отражённые волны 1 и 2 (рис. 4.1б) когерентны между собой, то в точкенаблюдения P будутнаблюдаться максимумыотражения при условии:

2d	n2	−sin2 i ±	λ0	= 2m λ0 .			(4.3)
			2	2
В точке P будет интерференционный минимум, если
2d	n2	−sin2 i ±	λ0	= (2m +1)	λ0	,	(4.4).
			2		2

где m = 0,±1,±2,±3..... - целое число (порядок интерференции).

Меняя угол падения, мы будем наблюдать последовательную смену максимумов и минимумов отражения. (Заметим, что при минимуме отражения наблюдается максимум проходящего через пластинку света, и наоборот.) Если бы обе отражённые волны были некогерентными, то такого явления мы не наблюдали бы: по мере увеличения угла падения интенсивность отраженного света монотонно уменьшалась бы.

Теперь выясним условия, при которых отражённые волны будут когерентными и смогут интерферировать. В предыдущем разделе мы установили, что для этого должны выполняться соотношения между длиной ко-

герентности и разностью хода:
lког ≥ 2∆	(3.6)
hког ≥ 2dщ .	(3.7)

Здесь dщ - расстояние между щелями в опыте Юнга, т.е. источниками вторичных волн. Для нашего случая под dщ нужно понимать поперечное

смещение между отражённым и преломлённым лучами (расстояние AB на рис.4.1).

Проиллюстрируем ситуацию с помощью рис. 4.2. Выделим в падающей волне некоторую область когерентности lког hког (она слегка затенена на

рисунке) и проследим за её дальнейшей судьбой. После расщепления падающей волны расщепится и выделенная область когерентности, причем так, что в отражённых волнах эти области когерентности сместятся относительно друг друга (рис.4.2а). Если они при этом перекрываются (на ри-

27

сунке более тёмный участок), интерференция будет наблюдаться и тем более отчетливо, чем больше степень перекрытия.

Нетрудно заметить, что для пластинки с большей толщиной область перекрытия когерентных участков уменьшается (рис. 4.2б), и интерференция будет наблюдаться все менее отчетливо. Начиная с некоторой толщины пластинки, интерференция исчезнет совсем.

Рис. 4.2

Из рис. 4.2 видно, что смещение расчленённых частей области когерентности происходит как вдоль распространения волны (оно не должно превосходить длину когерентности lког ), так и поперёк распространения

волны (смещение не должно превосходить ширину когерентности hког ).

Интерференция будет наблюдаться лишь в том случае, когда будут удовлетворены оба эти условия. Напомним, что для лучшей видимости мы договорились брать половины значений lког и hc . Перейдем к расчёту. Со-

гласно	(3.6) lког ≥ 2∆, необходимо, чтобы		оптическая	разность хода
∆ ≤lког	2 . Следовательно,	λ0
	2d n2 −sin2 i −		≤lког 2.	(4.5)
		2

Для оценки необходимого значения толщины пластинки d будем считать, что корень в этом выражении равен величине порядка единицы (что

обычно и бывает), а также пренебрежем λ 2 . Тогда получим
2d ≤lког 2,	(4.6)

т. е. необходимо, чтобы удвоенная толщина пластинки была не более половины длины когерентности используемого излучения. Например, если λ = 600 нм, а ∆λ = 3 нм, то толщина пластинки

	d ≤		λ2	=3 104нм =30мкм .
		4	∆λ

Далее, поперечный сдвиг частей области когерентности не должен превосходить половины ширины когерентности hc . Этот сдвиг, как видно из

рис. 4.1, равен отрезку АВ. Значит, необходимо, чтобы AB ≤hког 2 . Из рис. 4.1 следует, что

28

	AB = 2d tgr cosi =d	sin 2i		.
		n2	−sin2 i

Видно, что это смещение существенно зависит от угла падения i . Чем меньше угол падения, тем меньше смещение AB , тем меньше может быть hког . И основную роль в этом случае будет играть длина когерентности.

При i = 0 смещение происходит только вдоль распространения волн, поперёк — оно равно нулю, и ширина когерентности hког , становится практи-

чески не существенной.

Обратимся к вопросу, что следует понимать под словами тонкая пластинка. Когда говорят, что интерференция происходит при отражении от тонкой пластинки, то имеют в виду, что её толщина (в той или иной степени) меньше lког и hког (если i ≠ 0 ). Причем — это важно — при нормальном падении интерференция обеспечивается только соотношением между толщиной пластинки и lког . Для солнечного света (lког ≥ 2∆) пла-

стинка будет тонкой, если ее толщина порядка нескольких длин волн. Длину когерентности можно увеличить с помощью светофильтров, соответственно увеличивается и толщина пластинки, которую мы называем тонкой. Для лазерного же излучения тонкой будет пластинка в десятки сантиметров и метров (в зависимости от длины когерентности излучения используемого лазера).

Из формул (4.3) и (4.4) следует, что при падении плоской световой волны на плоскопараллельную тонкую пластинку интенсивность отражённого света зависит от угла падения. Изменяя этот угол, мы будем наблюдать чередование максимумов и минимумов отражённого света. Это можно использовать для получения интерференционной картины в виде привычной системы полос. Достаточно использовать в качестве падающего рассеянный монохроматический свет (он содержит волны, падающие на пластинку одновременно под разными углами), а на пути отраженного света поставить линзу и в ее фокальной плоскости экран (рис.4.3).

Рис. 4.3

29

Максимумы на экране будут располагаться в местах, соответствующих условию (4.3)

2d n2 −sin2 i + λ20 = 2m λ20 .

Полоса данного порядка интерференции обусловлена светом, падающим на пластинку под одним и тем же углом i , но с разных направлений. Поэтому такие полосы называют полосами равного наклона. При расположении линзы как показано на рис. 4.3, эти полосы имеют вид концентрических колец с центром в ее фокусе F.

Порядок интерференции m растёт с уменьшением угла падения i , и в центре картины он максимален. Поскольку для наблюдения интерференционной картины в данном случае экран помещают в фокальной плоскости линзы, т. е. так, как его располагают для получения на нем изображения бесконечно удаленных предметов, то говорят, что полосы равного наклона локализованы в бесконечности. Роль линзы и экрана может играть хрусталик и сетчатка глаза. В этом случае для наблюдения полос равного наклона глаз нужно аккомодировать (настраивать) так, как при рассмотрении удаленных предметов.

В белом свете интерференционные полосы окрашены. Поэтому такое явление называют цвета тонких пластинок.

5. ПОЛОСЫ РАВНОЙ ТОЛЩИНЫ

Клиновидные пластинки. Пусть стеклянная пластинка имеет форму клина с углом раствора α 1, и на неё падает плоская монохроматическая световая волна. Теперь отражённые от поверхностей клина световые волны будут распространяться не в одном направлении, а под некоторым углом (рис. 5.1). Выясним, прежде всего, где будет локализована интерференционная картина. Это проще всего сделать с помощью рис. 5.2, на котором показано, что происходит с областью когерентности после расщепления волны при отражении от поверхностей клина.

Рис.5.1

Рис. 5.2

Из рисунка видно, что при небольших значения длины lког и ширины hког

когерентности область перекрытия когерентных частей отраженных волн локализована, в основном, вблизи поверхности клина. Это область стано-

30