3. Теорема сложения ускорений при переносном вращательном движении

Рассмотрим точку, которая движется по вращающемуся телу.

Свяжем с неподвижным телом систему координат O1x1y1z1.

С вращающимся телом свяжем систему Oxyz. Начало подвижной системы координат выберем на оси вращения тела.

В относительном движении положение точки определяется радиусом-вектором

, в абсолютномr движении – радиусом- вектором .

11

Запишем формулы для относительной, переносной и абсолютной скоростей, которые были получены выше.

r

r dx

r dy

r dz

vr

i

dt

j

dt

k

dt

r

dr0

di

x y

dj

dk

z;

ve

dtr

dt

dt

dt r

r

va

vr

ve

Учитывая, что в нашем случае радиус-вектор r0 во времени не меняется, запишем формулу для переносной скорости в таком виде:

	r	r		r		r
		di	x y	dj		dk	z
	ve	dt		dt		dt

12

Остановим переносное движение (вращение тела). В этом случае выполняются условия:

r0 const; i , j,k const.

Найдём относительное ускорение точки:

vr ivx jvy kvz .

r

r

r d

2

x

r d

2

y

r d

2

z

dvr

ar

dt

i

dt

2

j

dt

2

k

dt

2

Остановим относительное движение точки. В этом случае выполняются условия:

x, y, z const.

Найдём переносное ускорение точки:

13

r

di

x

dj

y

dk

z;

ve

dt

dt

dt

r

dve

d 2i

d 2

j

d 2k

ae

2

x

2

y

2

z.

dt

dt

dt

dt

При сложном движении точки относительные координаты и единичные векторы подвижной системы отсчёта являются функциями времени.

Учитывая это, найдём абсолютное ускорение точки, дифференцируя по времени вектор абсолютной скорости.

14

	r r dx		r dy		r dz
	vr i	dt	j	dt	k	dt

r	di	x	dj	y	dk	z
ve	dt		dt		dt

x, y, z, i , j, k функции времени.

r

r

r

d

r

r

r d

2

x

r

r d

2

y

dva

vr

ve

di dx

dj

aa

i

dt2

j

dt2

dt

dt

dt

dt

dt

r

r

r d 2 z

r

dx

d 2

r

r

dk dz

d 2i

x

di

j

y

dj dy

k

dt

2

dt

dt

dt2

dt

dt

dt

2

dt dt

d

2 r

r

r

r

r

r

r

k

z

dk dz

di dx

dj dy

dk dz

dt

2

dt

dt

ar

ae 2

dt

dt dt

dt

dt

dt

dydt

15

r r r				dj dy		dk dz
	di dx
aа ar ae 2				dt dt				dt dt
	dt dt
Рассмотрим движение вектора			k.
	r		dk	r	r		;
	vA		dt	e k
			di	r		r
			dt	e	i .
		dj		r	r			;
		dt		e j

16

di	r	r	dj	r	r	;	dk	r	r	;
dt	e i .		dt	e j			dt	e k

Подставим эти зависимости в формулу абсолютного ускорения.

r aа

r r r				dj dy		dk dz
	di dx
aа ar ae 2		dt		dt dt		dt dt
	dt

r r ar ae

r

2 e

r dx

r dy

r dz

r

r

r

r

;

i

j

k

a

r

a

e

2 v

dt

dt

dt

e

r

r

r

r

r

aа

ar ae aC

Теорема. При сложном движении точки её абсолютное ускорение равно геометрической сумме трёх ускорений:

относительного, переносного и ускорения Кориолиса.	17

Векторы относительного и переносного ускорений раскладываются на два ускорения: касательное и нормальное. Поэтому абсолютное ускорение равно сумме пяти слагаемых

r r r r r r

aа ar arn ae aen aC

aаx ar x aаy ar y aаz ar z

arnx ae x aenx aCx ;

arny ae y aeny aCy ;

arnz ae z aenz aCz ;

aa aax2 aay2 aaz2 .

18

4. Ускорение Кориолиса

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости твёрдого тела, с которым связана подвижная система отсчёта, на скорость относительного

движения точки.	a	2 v	;
	C	e r	·r	r
	aC =2×we ×vr ×sin(we ,vr ).

Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского.

Правило Жуковского. Чтобы определить направление ускорения Кориолиса, достаточно спроецировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, и полученную проекцию повернуть на

90 градусов в направлении вращения.

19

Пример.

vr const; const.

20