2. Вращательное движение тела

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела, лежащие на некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются во время движения неподвижными, рис. 5.

Рис. 5	11

Эта прямая называется осью вращения. Траекториями всех точек, не лежащих на оси вращения, будут окружности, плоскос- ти которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Все прямые тела, параллельные оси вращения (например, прямая mm' на рис. 5), движутся поступательно, оставаясь параллельными этой оси.

Рис. 5	12

С вращательным движением тела вокруг неподвижной оси мы постоянно сталкиваемся в повседневной жизни: вращательное движение барабана стиральной машины или бетономешалки, вращающиеся лопасти вертолёта или вентилятора и др.

Чтобы задать в пространстве положение тела при его вращательном движении рассмотрим тело D, вращающееся вокруг неподвижной оси, рис. 6.

Связи, наложенные на это тело: в точке А расположен подпятник, в точке В – цилиндрический шарнир.

Через ось вращения Az проведём две полуплоскости: неподвижную Р и подвижную Q (связанную с вращающимся телом), рис. 7.

Рис. 6

13

Рис. 7

В процессе вращения тела D вокруг неподвижной оси полуплоскость Q вращается вокруг оси вместе с телом. Следовательно уголмежду полуплоскостями P и Q изменяется с течением времени и по его алгебраической величине можно судить о положении вращающегося тела в произвольный момент времени

Угол принимается положительным, если со стороны положительного направления оси вращения видно, что тело вращается против хода часовой стрелки. В противном случае уголсчитается отрицательным

Измеряется угол в радианах, градусах или оборотах. Уравнение вращения тела в общем виде имеет такой вид:

f t	(5)
	14

3. Угловая скорость тела

Угловая скорость характеризует быстроту и направление вращения тела.

Допустим, что за промежуток времени

t t2 t1
тело совершает поворот на угол
2 1.
Средняя угловая скорость тела за этот промежуток времени
будет численно равна		.
ср		t
Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется

предел, к которому стремится значение ср при стремлении промежутка времени t к нулю:

lim		d .	(6)
t 0	t	dt	15

Таким образом, угловая скорость тела в данный момент времени равна первой производной по времени от угла поворота

тела.	(7)
d .
dt

Знак определяет направление вращения тела. Из (6) следует: если > 0, то, вращение тела со стороны положительного направления оси происходит против хода часовой стрелки; если< 0 то, вращение тела со стороны положительного направления оси происходит по ходу часовой стрелки .

Размерность угловой скорости равна радиан/время или 1/время. Так как радиан – величина безразмерная, то единица измерения угловой скорости обычно записывается так: 1/с.

16

4. Угловое ускорение тела

Угловым ускорением тела называется величина, которая характеризует изменение угловой скорости с течением времени.

Допустим, что за промежуток времени

t t2 t1

угловая скорость тела изменится на величину

2 1.
Среднее угловое ускорение тела за этот промежуток времени
будет равно	.
ср
Угловым ускорением тела	вt данный момент времени t

называется предел, к которому стремится значение ср при

	стремлении промежутка времени			t к нулю:
	lim			d		d 2	.	(8)
		t		dt		dt2
	t 0							17

Таким образом, угловое ускорение тела в данный момент времени равно первой производной по времени от угловой скорости тела, или второй производной по времени от угла поворота тела.

d d 2 2 . dt dt

Размерность углового ускорения будет 1/время2, единица измерения ускорения обычно записывается так: 1/с2.

Вращение тела будет ускоренным, если и имеют одинаковые знаки, и замедленным, когда знаки разные.

18

5. Равномерное вращение

Если угловая скорость тела во всё время движения остаётся постоянной ( = const), то вращение тела называется равномер- ным.

Найдём закон равномерного вращения. Представим угловую

скорость так d

dt .

Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении.

d dt.

Интегрируем это равенство, учитывая начальные условия

вращения: t = 0; = 0
	d 0t dt.
	0
В результате интегрирования и преобразований получим
	0 t.	(9)
		19

6. Равнопеременное вращение

Если угловое ускорение тела во всё время движения остаётся постоянным ( = const), то вращение тела называется равнопере- менным.

Найдём закон равнопеременного вращения тела, считая, что в начаьный момент времени при t = 0, = 0, = 0.

Представим угловое ускорение так:

ddt .

Разделим переменные в этом уравнении.

d dt.

Выполним интегрирование этого равенства с учётом начальных

условий.		t
	d dt.		20
	0	0