геометрия

9. Планиметрия Лобачевского и ее непротиворечивость. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) основана на аксиомах групп 1-4 абсолютной геометрии и на следующей аксиоме Лобачевского: пусть а – произвольная прямая, а А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Лемма 1. Если АВ ||CD, то существует ось симметрии прямых AB и CD. Теорема 1. Если АВ||CD, то CD||АВ. Теорема 2. Если АВ ||EF, EF||CD и прямые AB и CD не совпадают, то АВ||CD. Теорема 3. Две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся. Следствие. На плоскости Лобачевского не существует общего перпендикуляра двух параллельных прямых. Лемма 2. Пусть лучи и лежат в одной полуплоскости с границей PQ, угол PQ прямой, а угол QP прямой или тупой (рисунок). Тогда если М – переменная точка луча , а Н – проекция этой точки на прямую , то функция МН=f(МР) является монотонной, неограниченно возрастающей функцией.

10.Аксиоматическое определение топологического пространства. Непрерывные отображения. Компактность, связность, отделимость. Пусть - непустое множество. - семейство его всевозможных подмножеств. Выделим некоторое подмножество и потребуем, чтобы выполнялись следующие условия: 1)семейство включает в себя пустое множество и множество ; 2) семейство включает в себя всевозможные объединения множеств из семейства ; 3) семейство включает в себя всевозможные пересечения конечного числа множеств из семейства . Эти требования называются аксиомами топологического пространства. Если они выполняются, то совокупность множеств называется топологией на множестве , а пара - топологическим пространством. При этом множество называется основным множеством топологического пространства , его элементы – точками топологического пространства , элементы - открытыми на множествами. Множество называется замкнутым в топологическом пространстве , если его дополнение до основного множества этого пространства открыто. Окрестностью точки в топологическом пространстве называется любое открытое множество , содержащее эту точку. Точка , называется внутренней точкой множества А, если существует окрестность этой точки целиком лежащая во множестве А. Примеры топологического пространства: тривиальная топология, дискретная топология, естественная топология, концентрическая топология. Непрерывные отображения. Пусть и - два топологических пространства. Отображение называется непрерывным в точке , если для любой окрестности образа точки существует окрестность точки , образ которой целиком лежит в , то есть . Отображение называется непрерывным, если оно непрервно в каждой точке множества . Теорема (критерий непрерывности отображения). Отображение из топологического пространства в топологическое пространство непрерывно тогда и только тогда, когда для любого открытого множества из его полный прообраз является открытым в множеством. Непрерывное отображение называется гомеоморфизмом, если оно является биекцией и обратное ему отображение - непрервно. Топологическое пространство называется гомеоморфным (топологически эквивалентным) топологическому пространству , если существует гомеоморфизм . Обозначение: . Топологическим инвариантом называется свойство топологического пространства, сохраняющееся при гомеоморфизме. Связность. Топологическое пространство называется связным, если его основное множество нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых множеств. (Например, однополосный гиперболоид является связным топологическим пространством, а гиперболический цилиндр не является связным в топологии, индуцированной из Е3). Подмножество евклидова пространства линейно связно, если любые две его точки можно соединить ломаной, принадлежащей этому множеству. Отделимость. Топологическое пространство называется отделимым (хаусдорфовым), если у любых его различных точек существуют непересекающиеся окрестности, т.е. . (Например, евклидово пространство с естественной топологией, порожденной метрикой, является отдельным, а пространство с концентрической топологией не является отделимым). Компактность. Система множеств топологического пространства называется его покрытием, если . Покрытие топологического пространства называется открытым, если . Отделимое топологическое пространство называется компактным, если каждое его открытое покрытие имеет коечное подсемейство , которое само является покрытием топологического пространства .

11.n-мерное топологическое многообразие. Эйлерова характеристика двумерного многообразия. Классификация компактных двумерных многообразий без края. n-мерным топологическим многообразием называется связное топологическое пространство, для каждой точки которого существует окрестность, гомеоморфная n-мерному евклидовому пространству. n-мерным топологическим многообразием с краем называется связное топологическое пространство, для каждой точки которого существует окрестность, гомеоморфная либо n-мерному евклидовому пространству, либо n-мерному евклидовому замкнутому полупространстсву. Краем n-мерного топологического многообразия с краем называется множество точек этого многообразия, у которого не существует окрестности, гомеоморфной n-мерному евклидовому пространству. Эйлерова характеристика двумерного многообразия. В евклидовом пространстве двумерные многообразия называются поверхностями. Клеткой называется двумерное многообразие с краем, гомеоморфное выпуклому многоугольнику. Точки, гомеоморфные вершинам многоугольника называются вершинами клетки, а линии, гомеоморфные сторонам многоугольника – сторонами (или ребрами) клетки. Клеточным разбиением двумерного многообразия называется совокупность конечного числа клеток , , …, такая, что: 1)= … ; 2)пересечение любых двух различных клеток есть их общая вершина, либо общее ребро, либо это пересечение пусто. Среди n-мерных топологических многообразий различают компактные и некомпактные многообразия. Компактное n-мерное топологическое многообразие называют также замкнутым, подразумевая его ограниченность по умолчанию. Здесь и далее под замкнутым многообразием мы будем понимать компактное многообразие. ТЕОРЕМА. Любое двумерное замкнутое многообразие допускает клеточное разбиение. Рассмотрим двумерное замкнутое многообразие и его клеточное разбиение , , …, . Обозначим: - число вершин (нульмерных клеток); - число сторон (одномерных клеток); – число клеток (двумерных клеток) этого клеточного разбиения. Для каждого клеточного разбиения можно вычислить значение -+. Это число называется эйлеровой характеристикой клеточного разбиения. Эйлеровой характеристикой двумерного замкнутого многообразия называется эйлерова характеристика любого его клеточного разбиения. Двумерное замкнутое многообразие называется ориентируемым, если возможна такая ориентация всех клеток его клеточного разбиения, при которой любые две его соседние клетки будут одинаково ориентированы. Клетка называется ориентированной, если задано направление обхода её контура. Две клетки, имеющие общую сторону, называются одинаково ориентированными, если направления обхода общей стороны в этих клетках являются противоположными. Классификация двумерных замкнутых многообразий. ТЕОРЕМА. Любые два ориентируемых двумерных замкнутых многообразия, имеющие одинаковую эйлерову характеристику, гомеоморфны. В один класс будем включать ориентируемые двумерные замкнутые многообразия, имеющие одинаковую эйлерову характеристику. 1 класс. Все многообразия гомеоморфные сфере, . 2 класс. Все многообразия гомеоморфные тору, . 3 класс. Все многообразия гомеоморфные кренделю, . Тор можно рассматривать как замкнутую поверхность, имеющую одно отверстие. У кренделя уже два таких отверстия. К 4 классу будут относится многообразия, гомеоморфные замкнутой поверхности, имеющей три отверстия.