Задача д-3. Теоремы динамики точки

а. Условие задачи.

Шарик, принимаемый за материальную точку массой m, движется с начальной скоростью v_Aвнутри изогнутой трубки с радиусом закругления R, расположенной в вертикальной плоскости. Движение начинается из положения А, в котором шарик соприкасается с пружиной жесткостиc, сжатой на величину h₀. Пройдя путь h₀, шарик отделяется от пружины и движется под действием силы тяжести, а на прямолинейных участках и под действием силы трения.

Определитьскорость шарика в положениях В и Д, учитывая время движения t на участке ВД и коэффициент трения f на прямолинейном участке.

Численные данные приведены в табл.3.3, схемы по всем вариантам на рис.3.3.

Таблица 3.3.

№ вариантов	m, кг	vА, м/с	t, с	R, м	, град.	, град.	f	c, H/м	h0, м
0	0,5	10	0,2	0,5	90	45	0,1	100	0,4
1	0,2	8	0,1	0,4	30	90	0,2	50	0,2
2	0,3	9	0,1	0,6	90	90	0,2	80	0,3
3	0,4	10	0,1	0.8	60	90	0,1	100	0,4
4	0,4	12	0,2	0,6	45	45	0,2	80	0,4
5	0,2	8	0,1	0,5	90	30	0,1	80	0,2
6	0,3	9	0,2	0,6	90	0	0,1	60	0,6
7	0,8	10	0,1	0,8	0	90	0,2	120	0,4
8	0,6	12	0,2	0,6	90	60	0,1	90	0,3
9	0,5	8	0,1	0,5	45	90	0,2	100	0,5

Рис.3.3.

Пример решения задачи.

Дано:Шарик, принимаемый за материальную точку массой m = 0,2 кг, движется внутри трубки с радиусом закругления R = 1 м, расположенной в вертикальной плоскости. Шарик начинает движение со скоростью v_A= 4 м/с. из положения А, в котором он соприкасается с пружиной жесткости с = 100 Н/м, сжатой на величину h₀= 0,2 м (рис.1а). Пройдя путь h₀, шарик отделяется от пружины и движется , не испытывая трения, по криволинейным участкам трубки. Коэффициент трения на прямолинейных участках f = 0,2, время движения по участку ВД равно 0,1 с.

Рис.1.

Найти скорость шарика в положениях В и Д.

Решение. Для определения скорости шарика в точке В используем теорему об изменении кинетической энергии материальной точки.

На шарик действуют сила тяжести и нормальная реакция трубки на всем пути АВ, сила упругости и сила трения – на пути h₀, (рис.1б).

Суммарная работа сил

А(N) = 0.

Работа силы упругости пружины

А_упр.= -

где: - начальная деформация пружины,;

- конечная деформация пружины,

Работа силы трения

А_ТР.= - F_тр.h₀= -mgfh₂.

Работа силы тяжести

А_тяж. = mgH; A_тяж. = mgR(I + cos60),

где: Н - высота, на которую опустился шарик по вертикали на пути АВ (см.рис.3б)

H = (R + Rcos60).

Произведя подстановку, получим

Решая уравнение, находим скорость точки В:

Отсюда находим

v_B= 8,04 м/с.

Для определения скорости шарика в точке Д применяем теорему об изменении количества движения материальной точки на участке ВД в проекциях на оси координат, так как известно время движения шарика на этом участке (рис.3б):

mv_Дx-mv_Bx=S_xi;

mv_Дy- mv_By=S_уi.

На шарик действует сила тяжести, нормальная реакция и сила трения. Оси координат направим по прямой ВД и перпендикулярно к ней.

Так как скорости направлены по прямой ВД, то

mv_Д - mv_В= (-mgcos30– f mgcos60)t_ВД;

0 = (N – mqcos60)t_ВД.

Определив нормальную реакцию N = mgcos60и силу трения F_тр= mgfcos60, находим скорость шарика в точке Д:

v_Д = v_В – g(cos30 + fcos60) t_ВД = 8,04 – 9,8(0,866 + 0,20,5)0,1 = 7,09 м/c.

Значит

v_Д = 7,09 м/c.