1. Аксиоматическое построение основ теории вероятностей. Вероятностное пространство (пространство событий). Условные вероятности. Формула полной вероятности и теорема Байеса.

(В.-вероятность) Рассм. Осн-е понят. теории В. Пусть  —мн-во всех возм-х исходов некот-го испыт-я (опыта, экспер-та). Кажд. Элемент  мн-ва , т.е. , наз. элементарным соб-ем (элем. исходом), а само мн-во  - простр-вом эл-х соб-й. Любое событие А рассм-ся как некот. подмн-во мн-ва  (А). Простр-во элем-х соб-й представляет соб-е, происход-е всегда (при любом элементарном исходе ), и наз. достоверным соб-ем. К простр-ву  элем-х соб-й добавляется еще пустое мн-во , рассматриваемое как соб-е (невозможн. соб-е). Суммой неск-х соб-й А₁, А₂ ,.., А_п наз. объед-е мн-в А₁ … A_n. Произвед. неск. соб. А₁, А₂ ,.., А_п наз. пересечение мн-в А₁  …  А_п. Соб. , противоположным соб. А, наз. дополнение мн-ва А до , т.е. \A. Неск. событий образуют полную группу, если в рез-те испытания появиться хотя бы одно из них. События равновозможные, если ни одно из них не явл-ся более возможным. Элем-е исходы, в кот. интересующее нас событие наступает, наз. благоприятствующими. Вер-тью соб-я А наз. отн-е числа благопр-х исходов к общему числу всех исходов P(A)=m/n (класс-ое опр-е В.) Св-ва В.: 1. В. достовер-го соб-я=1 2. В. невозм-го соб-я =0. 3. В. случ.соб-я 0< P(A)<1. 4. В. любого соб-я удовл-ет нер-ву 0 P(A)  1. 5. В. суммы несовместных соб-й = сумме вер-стей этих соб-й Р(А₁+А₂+...+А_п) = Р(А₁)+...+Р(А_п). Аксиомы теории вер-стей позволяют вычислить вер-сти любых событий через вер-сти элем-х соб-й (если их конечное или счетное число). Множ-во наз. счетным, если его элементы м. перенумеровать нат-ми числами. Относ-й частотой соб-я наз отн-е числа испытаний, в кот. соб-е появилось к общему числу фактически произвед-х испытаний W(A) = m/n. В. выч-ют до опыта, а отн.част – после опыта. Классич-е опр-е вер-ти неприменимо, когда число возм-х исходов бесконечно. Тогда исп-ют статист-ое опр-е: в кач-ве стат. Вер-ти соб-я принимают относ-ю частоту или число близкое к ней. Геом-ая В. – В. попадания точки в область (отрезок, часть пл-ти и т.д.) Геом вер-тью согб.А наз отношение меры области, благоприят. Появл-ю соб. А к мере всей области. Понятие вероятн-го простр-ва, определяется тройкой компонент (символов) (, S, Р), где  — пространство элем-х соб-й, S — а(сигма)-алгебра событий, Р — вер-сть. а-алгебра событий — представляет собой некоторую сис-му подмнож-в простр-ва элем-х исходов (событий) . Вер-ть Р на (, S) наз. распределением вер-тей на .

Обозначим В. – вероятность Произведением двух событий А и В наз. событие А В, состоящее в совместном появлении этих соб-й. Н-р, если А-деталь годная, В-дет. окрашенная, то АВ-дет. годна и окр.. Произв-ем неск-их событий наз. событие, сост-е в совместном появлении всех этих событий. Случ. событие – соб., кот. при осуществлении совок-ти условий S может произойти или не произойти. Если никаких ограничений, кроме усл-й S, не налагается, то В. называют безусловной; если налаг-ся доп. усл, то В. события условная. Условной В. наз. В. соб-я В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Выч-ся по ф-ле Теор.(умножения В.) В. совместного появления двух событий А и В равна произведению В. одного из них на усл. В. другого, вычисл-ю в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А) . Д-во. По опр. усл.. В. =Р(АВ)/Р(А).Отсюда Р(АВ) = Р(А) (*) Замеч. Применив ф-лу (*) к соб-ю ВА, получим Р(ВА)=Р(В) , т.к. соб-е ВА не отличается АВ, значит спр-во рав-во Р(А) = Р(В) . След-е. В. совместного появления неск-х событий = произведению В. одного из них на условные В. всех остальных, причем В. каждого последующего соб-я выч-ся в предположении, что все предыдущие соб-я уже появились: Р(А₁А₂А₃…А_п) =Р (А₁)

,где - В. соб-я А_п, вычисленная при усл-и, что соб-я А_1, А₂, ..., А_п-1 наступили. Н-р, для трех соб-йР(АВС) = Р(А) . Порядок, в кот. распол-ны события, м. б. выбран любым.

Пр. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллипт-х валиков. Он взял один валик, а затем второй. Найти В. того, что 1-й из взятых валиков - конусный, а 2-ой – эллипт-й. Р-е. В. того, что 1-й валик окажется конусным (соб. А), Р (А) =3/10. В. того, что 2-ой валик окажется эллипт-м (соб В), вычисленная в предположении, что первый валик - конусный, т. е. условная вероятность = 7/9. По теор. умн-я, искомая В. Р (АВ) = Р (А) = (3/10)(7/9) = 7/30. Ф-ла полн. В. Теор. В. соб-ия А, кот. м. наступить лишь при усл-и появл-я одного из несовм-х соб-й В₁, В₂,..., В_п, образ-х полн. группу, = сумме произведений В.-тей каждого из этих соб-й на соотв-щую условную В. соб. А: - ф-ла полн. В. Д-во. По усл., соб. А м. наступить, если наступит одно из несовм-х соб-й В₁, В₂, ..., В_п. По теор. сложения получ. Р(А) = Р (В₁А) + Р (В₂А) + ...+Р (В_пА). (*). По теор. умн-я вер-тей зависимых соб-й: P(B₁А) = ; Р (В₂А) = ;...;Р(В_пА) = .Подставив пр. части этих рав-в в соотн-е (*), получим ф-лу полн. В.

Ф-ла Байеса. Пусть соб. А м. наступить при усл-и появл-я одного из несовм-х соб-й В₁, В₂, ..., В_п, образ-х пол-ю группу. (неск. событий образуют полную группу, если в рез-те испытания появиться хотя бы одно из них). Т.к заранее неизвестно, какое из соб-й наступит, их наз. гипотезами. В. появл-я соб. А опред-ся по ф-ле полн. В.: Пусть произведено испытание, в рез-те кот. появилось соб. А. Определим, как изменились (когда соб А уже наступило) В. гипотез, найдем усл. В-сти По теор. умн-я Отсюда Заменив Р(А) по ф-ле (*) получ:

Ан-но выводятся ф-лы для ост-х гип-з, т. е. усл. В. любой гип-зы B_i(i=1.2, ...,n) выч-ся

- ф-лы Байеса Они позволяют переоценить вер-сти гип-з, когда становится извест. рез-т испытания, в итоге кот. появилось соб. А.

2. Дискретные и непрерывные случайные величины. Таблица распределения вероятностей, многоугольник распределения, функция распределения, плотность распределения и их свойства. Математическое ожидание. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

(С.В.)Случайной наз. вел-ну, кот. в рез-те испыт-я примет только одно возможное знач-е, наперед не известное и зав-ее от случ-х причин, кот. заранее не м. б. учтены. Дискр-й (прерывной) наз. с. в., кот. принимает отдельные, изолир-е возм-е знач-я с опред-ми вер-ми. Число возм-х знач-й дискр-й с. в. м. б. конечным или бескон-м (Кол-во очков выпавшие при бросании игральной кости). Непрерывной наз. с. в., кот. м. принимать все знач-я из некот-го конечного или беск-го. Промежутка (время безотказной работы прибора). Число возм-х знач-й непрер-й с. в. беск-но. Дискр. с. в. принимает конеч-е или счетное число знач-й. Пр. Число родившихся мальчиков среди ста новорожд-х есть с. в., кот. имеет след-е возм-ые знач-я: 0,1,2, ...,100.

С. в. обозн-т пропис-ми букв. X, Y, Z, а их возможные знач-я - соовет-ми строч букв. х, у, z.

Законом распред-я дискр-ой с. в. наз. соотв-е между возм-ми знач-ми c. в.и их вер-тями; его м. задать таблично, аналит-ки (в виде ф-лы) и графич. При табличном задании 1-ая строка табл. содержит возм-е знач-я, а 2-ая - их вер-ти:X х₁ х₂ ... х_п

р р₁ р₂ ... р_п В одном испыт-и с. в. принимает только одно возм-е знач-е, соб-я Х = х₁,.., Х=х_n образуют полн. группу. Если мн-во возм-х знач-й X беск-но (счетно), то ряд p₁ + p₂+ … сходится и его сумма =1.

Пр. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 50 руб. и 10 по 1 руб. Найти закон распр-я с. в. X - стоимости возможного выигрыша для влад-ца 1-го лотер-го билета. Р-е. Возм-ные знач-я X: х₁ = 50, х₂ = 1, х₃ = 0. Вер-ти этих возм-х знач-й -: р₁=0,01, Р₂= 0,1, р₃ = 1 - (P₁ + Р₂) = 0,89.Закон распределения:X 50 10 0

р 0,01 0,1 0,89 Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

Для наглядности з. распр-я дискр. с. в. м. изобр-ть и граф-ки. В прямоуг. сис-ме корд-т строят точки (x_i, p_i) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру наз. многоуг-ком распр-я

Мат. ожид-ем (генеральное ср. ) M(X) дискр. с.в. Х наз ее ср.знач., выч-е по ф-ле Свойства мат. ожид. 1. Мат. ожид-е пост-ой = самой этой пост: М(С) = С. Д-во: Пусть С –дискр.с.в., кот. им. одно возм-е знач. С и принимает его с вер-тью p=1. След-но М(С) = С*1=С

2. Пост. множ-ль м. выносить за знак мат. ожид.: M(CX)=CM(X) Д-во: Пусть с.в. Х задана з. распред-я В.: X х₁ х₂ .х_п

р р₁ р₂ ... р_п

Напишем з.распред. с.в. СX Сх₁ Сх₂ ... Сх_п

р р₁ р₂ .. р_п

Мат.ожид. с. в. СХ: M(CX)=Сх₁ р₁ + …+ Сх_n р_n =C(x₁p₁ + …+ x_n p_n)=CM(X) 3. Мат.ожид.произв-я двух незав-х с. в. = произв-ю их мат. ожид-й: M(XY)=M(X)M(Y) След-е Мат.ожид.произв-я неск-х взаимно незав-х с. в. = произв-ю их мат. ожид-й. 4. Мат.ожид.суммы двух с. в. = сумме их мат. ожид-й слагаемых M(X+Y)=M(X)+M(Y)

Теор Дисперсия - разности между мат.ожид-ем квадрата с. в. Х и квадр-м ее мат. ожид. D(X)=M(X²)-[M(X)]² Д-во. Мат.ожид-е M(X) – пост-я вел-на, след-но, 2M(X) и M²(X) также пост.вел-ны D(X)=M[X-M(X)]² = M[X² -2XM(X)+M²(X)]=M(X²)-2M(X)M(X)+M²(X)=M(X²)-2M²(X)+M²(X)= M(X²) - M² (X) D(X)= M(X²) – [M(X)]²

3. Дисперсией дискр. с. в. X наз. число D(X) = M(X-M(X))², т.е. мат. ожид-е квадрата отклонения с. в. X от ее мат. ожид-я М(Х). Св-ва дисп-и Р(Х): 1. D(C) = C для любого C=const. 2.D(X + Y) = D(X) + D(Y) для любых незав-х с.в. X 3.Y.D(CX) = C²D(X). Зам-я 1. Если с. в. X прин-ет конечное число знач-й, то D(X) = (x₁ -М(Х))²р₁ + (х₂ -М(Х))²р₂ + ... + (x_n -М(Х))²р_n 2. Если с. в. X принимает счетное число знач-й, то D(X) = (х_i -М(Х))² p₁.

При выч-и дисп-и иногда удобно польз-ся ф-лой D(X) = M(X²)-(M(X))²

Ср. квадр-м откл-ем случайной величины X наз корень квадратный из дисп-и

Непрерывные случайные величины, ф-ция распределения, плотность рапредления и их св-ва. Матем-ое ожид-е.

Непрер-я СВ-это велич-а, бесконечное мн-во знач-й кот-й есть некот-й интер-л числовой оси. Ех. Дальность полета артиллерийского снаряда, расход электроэнергии на предприятии за месяц.

СВ Х наз-ся непрерывной, если ее ф-ция непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек. Рас. СВ Х, возмож-е знач-я которой сплошь заполняют интервал (а,b).Можно ли сост-ть перечень всех возмож-х знач-й Х? Нет, поэтому и вводят ф-цию распределения вероятностей СВ. Ф-цией распред-я наз-т ф-цию F(x), определ-ую вероят-сть того, что СВ Х в рез-те испытания примет знач-е, меньшее х, т.е. F(x)=P(X<x). Геомет-ки это равенство можно истолковать так: F(x) есть вер-сть того, что СВ примет знач-е, кот-е изобр-ся на числовой оси точкой, лежащей левее точки х. Сво-ва: 1) Знач-я ф-ции распред-я [0,1].Док-во: Св-во вытекает из опр-я ф-ции распределения как вероятности: вероят-сть всегда есть неотрицательное число, не превышающее 1.2) F(x)-неубывающая ф-ция, т.е. F(x₂)>F(x₁), если х₂>x₁. Следствие: a) Вер-сть того, что СВ примет знач-е, заключенное в интер. (а,b), равна приращению ф-ции распредел-я на этом интер.: P(a X<b)=F(b)-F(a); b) Вер-сть того, что непрерывная СВ Х примет одно опред-е знач-е, равна нулю. 3) Если возможные знач-я СВ принадлежат интервалу (а,b), то: а) F(x)=0 при х а; b) F(x)=1 при х b.

Непрер-ю СВ можно также задать, используя другую ф-цию, которую наз-т плотностью распределения или плотностью вероятности-ф-ция f(x)-первая производная от ф-ции распределения F(x): f(x)= .

Зная плотность распред-я, можно выч-ть вероят-сть того, что непрер-я СВ примет значение, заданному интервалу. Th: Вероятность того, что непрерывная СВ Х примет значение, (а,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взмтому в пределах от а до b: P(a<X<b)= f(x)dx. Док-во. Используя соотношение P(a X<b)= f(x)dx=F(b)-F(a). По формуле Ньютона-Лейбница, F(b)-F(a)= dx= f(x)dx. Т.о. P(a X<b)= f(x)dx. Т.к. P(a X<b)= P(a<X<b), то окончательно получим P(a<X<b)= f(x)dx. Чтд.

Геометрически полученный рез-т можно истолковать так: вероятность того, ято непрерывная СВ примет значение, (а,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.

Св-ва: 1) Плотность распределения-неотриц-я ф-ция f(x) 0. 2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до равен 1.

Распрастроним определенные числовые хар-ки дискретных величин на величины непрерывные.

Пусть непрерывная СВ Х задана плотностью распределения f(x). Допустим, что все возможные значения Х [ а,b]. Разобьем этот отрезок на n частичных отрезков длиной x₁, x₂,…, x_n и выберем в каждом из них произвольную точку x_i; составим сумму произведений возможных значений x_i на вероятности попадания их в интервал x_i: . Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный интеграл xf(x)dx.

Мат-ким ожиданием непрер-й СВ Х, возможные знач-я которой [а,b], назы-т определенный интеграл М(х)= xf(x)dx. Если возможные знач-я всей оси ОХ, то М(х)= xf(x)dx

Дисперсией непрер-й СВ называют математич-е ожидание квадрата ее отклонения. Если возмжные значения Х [ а,b], то D(x)= [x-M(x)]²f(x)dx. Если возможные значения всей оси ОХ, то D(x)= [x-M(x)]²f(x)dx.

Сред-е квадр-е отклонение непрер-й СВ определ-ся, как и для величины дискретной, равенством  (X)= .