4. Расчёт установившегося режима при периодическом несинусоидальном воздействии. Спектральный анализ

а) Всякое периодическое воздействие можно представить суммой синусоидальных составляющих – рядом Фурье:

. (*)

Одним из основных принципов, используемых при анализе линейных цепей (ЛЭЦ) был принцип наложения. Полная реакция цепи на сложное воздействие может быть определена как наложение реакций от отдельных составляющих воздействия. Это свойство позволяет использовать при анализе несинусоидального периодического режима в цепи (рис.1) ту же последовательность расчёта, которая использовалась в предыдущем разделе.

Пусть на вход цепи подаётся периодическое напряжение . Составляющие напряжения: постоянная, первая и третья гармоники можно рассматривать как отдельные, независимые воздействия. При выполнении этого раздела кратные частоты гармоник следует выбрать таким образом, чтобы частотные свойства цепи наиболее ярко проявились в гармоническом составе выходного напряжения. Для этого первая или третья гармоника должны оказаться в точках максимума или минимума на амплитудно – частотной характеристике (раздел 2). ( Выбор частот может быть осуществлён самостоятельно или по рекомендации преподавателя). В данном примере частоту первой гармоники примем равной Гц (1/с), где значениепрактически равно нулю. Соответственно1/с. Полную реакцию цепи (выходное напряжение) можно определить в виде наложения реакций на отдельные составляющие воздействия

,

причём расчёт каждой можно выполнить по методике, изложенной в разделе 3 а или б. Для этой цели можно воспользоваться программой Mathcad 13 (предыдущий раздел) при частотах: , и. Для расчёта нулевой гармоники (постоянной составляющей) нет необходимости обращаться к программе, т.к. все ёмкости следует заменить разрывами, а индуктивности короткими замыканиями. При входном напряжении выходное напряжение равно В. Обращение к вышеуказанной программе определяет действующие значения первой гармоники напряжения на нагрузке В, и третьей В. Начальные фазы:,. Соответственно, в напряжении на нагрузке практически отсутствует первая гармоника

(её амплитуда несоизмеримо меньше других составляющих и её можно полагать равной нулю). Ниже (рис.3) показаны графики входного напряжения (сплошная линия) и увеличенное в 10 раз напряжение на нагрузке (пунктирная линия).

Рис.3

б) Аналогичный результат можно получить, посредствам анализа частотных спектров. Если входное воздействие определяется рядом Фурье (*), то реакцией будет такой же ряд:

. (**)

Ниже, на рисунке 4, изображён амплитудный спектр входного напряжения . Здесь же, в том же масштабе по частотной оси, АЧХ цепи рисунка 1. Умножая составляющие спектра на значения АЧХ при соответствующих частотах, получим составляющие амплитудного спектра напряжения на нагрузке:

В; В; В.

На рисунке 5 фазовый спектр входного напряжения (начальные фазы всех гармоник равны нулю), и ФЧХ цепи. Складывая составляющие спектра со значениями ФЧХ при соответствующей частоте, получим составляющие фазового спектра на нагрузке:

; ;.

Рис.4

Такой метод анализа при значительно меньшем объёме вычислений, позволяет получить результат идентичный, полученному ранее. Естественно, для этого необходимо иметь частотные характеристики анализируемой цепи.

Рис.5