7. Расчёт переходного процесса при заданном воздействии операторным методом

Операторный метод основан на замене функций времени e(t), u(t), i(t), которые принято называть оригиналами, соответствующими функциями комплексного переменного E(p), U(p) и I(p), которые принято называть операторными изображениями. Здесь - есть комплексный оператор (комплексная функция или число). Связь между оригиналомf(t) и его изображением F(p) устанавливается посредствам преобразования Лапласа, т.е. вычислением определённого интеграла

.

Соответствие между оригиналом и изображением устанавливается условной записью. В расчётной практике применение операторного метода не сопряжено с процедурой интегрирования, т.к. существуют таблицы таких интегралов. Ниже приведена таблица функций, которые могут встретиться при выполнении курсовой работы.

Таблица преобразования Лапласа.

Оригинал	Изображение

Использование операторных изображений токов и напряжений позволяет устанавливать соотношения между ними в алгебраической форме. Дифференцированию оригинала по времени, на комплексной плоскости соответствует умножение изображения на оператор р, т.е.

а интегрированию - деление на р:

Структурные уравнения по законам Кирхгофа и компонентные уравнения для операторных изображений формируются так же, как и для оригиналов. Величины иназываются операторными сопротивлениями: резистора, индуктивности и ёмкости. Следует помнить, что при формировании уравнений учитывается запас энергии цепи на момент коммутации. На рисунке 8 операторные схемы

Рис.8

замещения индуктивности и ёмкости при и . Соответственно операторные изображения напряжений на этих элементах: и .

Расчёт переходного процесса операторным методом представляет следующую последовательность:

а) Определяются начальные условия, т.е. по законам коммутации находятся токи на индуктивностях и напряжения на ёмкостях.

б) Составляется операторная схема замещения, представляющая собой схему исходной цепи после коммутации с дополнительными источниками, если начальные условия не нулевые.

в) Для операторной схемы замещения формируется необходимое количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. В итоге получается система структурных алгебраических уравнений.

г) Посредствам компонентных операторных уравнений и алгебраических преобразований из системы находятся операторные изображения токов и напряжений, подлежащих определению.

д) Находятся оригиналы (функции времени), соответствующие полученным изображениям. Пользование для этой цели таблицами бывает затруднено в силу сложности изображения. В этом случае следует применить процедуру обратного преобразования Лапласа, либо воспользоваться теоремой разложения.

Рассмотрим расчёт на примере той же цепи (раздел 6, рис.6) при таком же воздействии (Гц. или 1/с) и с теми же (нулевыми) начальными условиями. Если, как и в предыдущих примерах, требуется найти выходное напряжение, то следует использовать полученные в разделе 1 (определение операторной передаточной функции) алгебраические преобразования. Не трудно заметить, что эти преобразования есть реализация пунктов б, в, и г, поскольку передаточная функция определяет напряжение на выходе цепи (на нагрузке) . Изображение входного напряжения при в соответствии с приведённой таблицей. Таким образом, изображение напряжения на нагрузке

.

Последний пункт д - переход к оригиналу, можно выполнить:

а) посредствам обратного преобразования Лапласа. Трудности расчётного характера просто разрешаются с помощью стандартной процедуры Mathcad`а (invlaplace). Её применение требует определённого преобразования выражения , что продемонстрировано в приложении 8. Не трудно убедиться в идентичности решения с решением методом переменных состояния.

б) с помощью теоремы разложения. Операторное изображение реакции есть дробно-рациональное выражение

Если полином знаменателя не имеет кратных корней и корней, равных корням полинома числителя, то дробь можно представить в виде суммы

,

где - корни полинома(полюса изображения ). Оригиналомбудет функция времени

,

где коэффициенты А_к находятся по формулам:

или .

В приложении 9 показана такая реализация обратного преобразования Лапласа для рассмотренного выше примера.