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Вуз:

Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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VII Кратные интегралы

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x dx dy dz;

V
5.1. V : y	10 x,				y	0,		x 1,
z	xy,		z			0.
15	y 2				z 2	dx dy dz;
V
5.3. V : z	x			y,		x	y	1,
x	0, y				0, z			0.
1	2 x3				dx dy dz;
V
5.5. V : y	9 x,			y		0,	x	1,

z		xy ,			z	0.

y dx dy dz;

V
5.7. V : y	15 x,		y	0,		x 1,
z	xy,	z		0.
3x 2		y 2		dx dy dz;
V
5.9. V : z	10 y,		x	y		1,
x	0, y		0, z			0.
4	8 z 3			dx dy dz;
V
5.11. V : y	x, y			0,	x	1,

z		xy ,		z	0.

			dx dy dz								;

				x		y			z	4
V	1			x		y			z

		3			4				8
		3			4				8
5.2. V : 1			x		y			z		1,

		3			4		8
		3			4		8
x		0, y				0, z 0.

4 y

dx dy dz;

5.4. V : y

5 x2

y 2

, z

54 y 3

dx dy dz;

5.6. V : y

xy , z

dx dy dz

;

5.8. V :

0, y

15 x

30 z

dx dy dz;

5.10. V : z

3 y 2 , z

2 x3

dx dy dz;

5.12. V : y

36 x,

x 1,

xy ,

21xz dx dy dz;


V
5.13. V : y				x, y					0, x	2,
z			xy,			z			0.
x 2					3 y 2				dx dy dz;
V
5.15. V : z				10 x,				x	y	1,
x			0, y					0, z		0.
	10			x		5			dx dy dz;
				x					dx dy dz;
V		3				3
V
5.17. V : y				9 x,			y		0, x	1,

z					xy ,			z	0.

3 y 2	dx dy dz;
V
5.19. V : y	2 x,	y	0, x 2,
z	xy,	z	0.

x 2 dx dy dz;

V
5.21. V : z	10 x	3 y	, x y 1,
x	0, y	0, z	0.

63 1			2	y	dx dy dz;
V
5.23. V : y	x,		y	0,	x 1,

z		xy ,		z	0.

				dx dy dz								;

					x			y		z	6
	V	1			x			y		z

				10		8			3
				10		8			3
5.14.	V :		x		y		z		1,

		10		8		3
		10		8		3
		x		0, y		0, z					0.

60 y

90 z

dx dy dz;

5.16. V : y

y 2 ,

18 z

dx dy dz;

5.18. V : y

4 x, y

xy ,

dx dy dz

;

5.20. V :

0, y

0, z

12z

dx dy dz;

5.22. V : y

3x2

2 y 2 , z

dx dy dz;

5.24. V : y

30 x2

60 y 2 , z 0.

					dx dy dz						;

						x		y	z	6
	V	1				x		y	z

				6			4		16
				6			4		16
5.25.	V :		x		y			z	1,
5.25.	V :								1,
		6		4			16
		x		0, y				0, z		0.

y 2 dx dy dz;

V
5.27. V : z	10 3x	y	, x y 1,
x	0, y	0, z	0.

x 2	4 y 2	dx dy dz;
V
5.29. V : z	20 2 x		y	, x y 1,
x	0, y	0,	z	0.

x 2 z dx dy dz;

xyz dx dy dz;

V
5.26. V : y	x,	y	0, x 2,
z	xy,	z	0.

			5 x						3z					dx dy dz;

						2
	V					2
	V
5.28. V : y						x,				y	0,				x		2,
	z					x2				15 y 2 , z							0.
							dx dy dz											;

								x					y			z	6
	V			1				x					y			z

						8					3				5
						8					3				5
5.30.	V :	x					y					z			1,
5.30.	V :														1,
	8					3					5
	x				0, y								0, z				0.

5.31. V : y	3x,	y	0, x 2,
z	xy,	z	0.

Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

6.1.	y	3		x,	y		4e x ,		y	3,		y	4.

6.2.	x		36			y 2 , x			6		36		y 2 .
6.3.	x2	y 2			72, 6 y					x2		y	0 .
6.4.	x	8		y 2 ,		x		2 y.

6.5. y	3	, y 8e x , y 3, y 8.

	x

6.6. y

, y

, x

16.

2 x

6.7. x

y 2 ,

4 y.

6.8. x2

y 2

12,

6 y

0 .

6.9. y

x2 , y

x2 , x

2 3

0 .

, x

6.10. y

x , y

2 x

x2 , 2

x2 , x

6.11. y

3 y

0 x

0 .

6.12. y

sin x, y

cos x, x

0 .

6.13. y

x 2 , y

8 x.

x2 , y

x2 .

6.14. y

6.15. y

x 2 , y

4 x.

6.16. y

x, y

5e x , y

6.17. x2

y 2

36, 3

2 y

0 .

6.18. y

x , y

3 x , x

6.19. y

x2 , y

x2 , x

0 .

6.20. y

x 2 , y

5 2.

6.21. y

x , y

1 x , x

16.

6.22. y

2 x, y

7e x , y

2, y

6.23. x

y 2 , x

6 y.

6.24. x

y2 , 6x

y2 , y

y 0 .

x2 , y

x 2 .

6.25. y

6.26. y

x , y

, x

2 x

6.27. y

sin x, y

cos x, x

0, x

0 .

6.28. y

6e x ,

6.29. y

x , y

x , x

6.30. y

x 2 , y

10 x.

6.31. x2

y 2

12,

0 .

Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

y 2	2 y		x 2	0,
7.1. y 2	4 y		x 2	0,

y	x	3 , y		3x.
y 2	6 y		x 2	0,
7.3. y 2	8 y		x 2	0,

y	x	3 , y		3x.

x 2	4 x	y 2	0,
7.2. x 2	8 x	y 2	0,

y	0, y	x	3 .
x2	2 x	y 2	0,
7.4. x2	4 x	y 2	0,
y	0, y	x.

y 2	8 y			x 2	0,
7.5. y 2	10 y			x 2	0,

y	x		3 , y		3x.
y 2	4 y			x 2	0,
7.7. y 2	6 y			x 2	0,
y	x,	x		0.
y 2	6 y			x 2	0,
7.9. y 2	10 y			x 2	0,
y	x,	x		0.

y 2		2 y		x 2	0,
7.11. y	2	4 y		x 2	0,

y			3x,	x	0.

y 2	4 y			x 2		0,
7.13. y 2	6 y			x 2		0,

y		3x,			x	0.
y 2	2 y			x 2		0,
7.15. y 2	6 y			x 2		0,

y	x		3 , y			0.
y 2	2 y			x 2		0,
7.17. y 2	10 y				x 2	0,

y	x		3 ,		y	3x.
y 2	4 y			x 2		0,
7.19. y 2	10 y				x 2	0,

y	x		3 ,		y	3x.

x2	4 x	y 2	0,
7.6. x2	8 x	y 2	0,
y	0, y	x.

x 2

2 x

y 2

7.8. x 2

10 x

y 2

0, y

3x.

x 2

2 x

y 2

7.10. x 2

4 x

y 2

3 ,

3x.

x 2

2 x

y 2

7.12. x 2

6 x

y 2

3 ,

3x.

x 2

2 x

y 2

7.14. x 2

8 x

y 2

3 ,

3x.

x 2

2 x

y 2

7.16. x 2

4 x

y 2

0, y

3 .

x 2

2 x

y 2

7.18. x 2

6 x

y 2

0, y

3 .

2 x

y 2

7.20. x2

6 x

y 2

0, y

y 2	2 y		x 2	0,
7.21. y 2	4 y		x 2	0,
y	x,	x	0.
y 2	6 y		x 2	0,
7.23. y 2	8 y		x 2	0,
y	x,	x	0.
y 2	4 y		x 2	0,
7.25. y 2	8 y		x 2	0,
y	x,	x	0.


y 2	4 y			x 2		0,
7.27. y 2	8 y			x 2		0,

y		3x,			x	0.
y 2	2 y			x 2		0,
7.29. y 2	10 y				x 2	0,

y	x		3 ,		x	0.
y 2	4 y			x 2		0,
7.31. y 2	8 y			x 2		0,

y	x		3 ,		x	0.

x2	2 x		y 2			0,
7.22. x2	4 x		y 2			0,

y	0,	y			3x.
x2	4 x		y 2			0,
7.24. x2	8x		y 2			0,

y	0,	y			3x.
x 2	4 x		y 2			0,
7.26. x 2	8 x		y 2			0,

y	x	3 ,		y		3x.
x 2	4 x		y 2			0,
7.28. x 2	6 x		y 2			0,

y	x	3 ,		y		3x.
x 2	6 x		y 2			0,
7.30. x 2	10 x			y 2		0,

y	x	3 ,		y		3x.

Задача 8. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми,							- поверхностная
плотность. Найти массу пластинки.
D : x 1, y 0, y 2		4 x y 0 ;	D : x2	y 2	1, x 2		y 2	4,
D : x 1, y 0, y 2		4 x y 0 ;	x	0, y	0	x	0, y	0 ;
8.1.		8.2.	x	0, y	0	x	0, y	0 ;
7 x2	y.					x 2	y 2 .
				x	y	x 2	y 2 .

D : x 1, y 0, y 2 4 x y 0 ;

8.3.

7 x2 2 5 y.

D : x 2, y 0, y 2 2 x y 0 ;

8.5.

7 x2 8 2 y.

D : x 2, y 0, y 2 x 2 y 0 ;

8.7.

7 x2 2 6 y.

D : x 1, y 0, y 2

4 x y 0 ;

8.9.

x 3 y 2 .

D : x 1, y 0, y 2 x y 0 ;

8.11.

3x 6 y 2 .

D : x 2, y 0, y 2 x 2 y 0 ;

8.13.

2 x 3 y 2 .

D : x	1	, y 0, y 2	8 x y 0 ;

8.15.	2
	7 x 3 y 2 .

D : x 1, y 0, y 2		4 x y 0 ;
8.17.
7 x2	2 y.

D :	x2	y 2	9,	x 2	y 2		16,
8.4.	x	0, y	0	x	0, y		0	;
		2 x	5 y	x 2		y 2 .
D : x2		y 2	1,	x 2	y 2		16,
8.6.	x	0, y	0	x	0, y		0	;
		x	y	x 2	y 2 .
D : x2		y 2	4,	x 2	y 2		25,
8.8.	x	0, y	0	x	0, y		0	;
		2 x	3 y	x2		y 2 .
D : x2		y 2	1, x 2			y 2	9,
8.10.	x	0, y	0	x	0, y		0	;
		x	y	x2		y 2 .
D : x2		y 2	9,	x 2		y 2	25,
8.12.	x	0, y	0	x	0, y		0	;
		2 y	x	x 2		y 2 .
D : x2		y 2	4,	x 2		y 2	16,
8.14.	x	0, y	0	x	0, y		0	;
		2 y	3x		x 2	y 2 .
D : x2		y 2	9,	x 2		y 2	16,
8.16.	x	0, y	0	x	0, y		0	;
		2 y	5 x		x 2	y 2 .
D : x2		y 2	1,	x 2		y 2	16,
8.18.	x	0, y	0	x	0, y		0	;
		x	3 y	x 2		y 2 .

D : x 2, y 2

2 x, y 0

y 0 ;

D : x2

y 2

1, x 2

y 2

0, y

;

8.19.

7 x2

8.20.

y 2.

y 2 .

2 y

D : x 2, y 0, y 2

2 x y 0 ;

D : x2

y 2

1, x 2

y 2

0, y

;

8.21.

7 x2

8.22.

y 2 .

2 x

D : x 2, y 0, y 2

x 2

y 0 ;

D : x2

y 2

x 2

y 2

25,

0, y

;

8.23.

7 x2

8.24.

8 y.

x 2

y 2 .

4 y

D : x 1, y 0, y 2

4 x y 0 ;

D : x2

y 2

x 2

y 2

16,

0, y

;

8.25.

3 y 2 .

8.26.

6 x

y 2 .

D : x 2, y 0, y 2

x 2

y 0 ;

D : x2

y 2

4, x 2

y 2

0, y

;

8.27.

6 y 2 .

8.28.

4 x

x 2

y 2 .

4 x

D : x

, y 0, y 2

2 x y 0 ;

D : x2

y 2

4, x 2

y 2

0, y

;

8.29.

8.30.

4 x

9 y 2 .

2 x

D : x

, y 0, y 2

16 x y 0 ;

8.31.

16 x

9 y 2 2.

Задача 9. Пластинка D задана неравенствами, - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

D : x 2	y 2 4 1;
9.1.	y 2 .
	y 2 .

D : x 2 9			y 2	25	1;
9.3.	y	0;
		x 2 y.
D :	1	x 2	9	y 2	4	4;
9.5.	y	0,	y	x 2;
		8 y	x3 .
D :	x 2	4	y 2	1;
9.7.			4 .
		4 y	4 .
D : 1		x2	16	y 2	4	4;
9.9.	x	0,	y	x 2;

x y .

D : x 2 4 y 2

9.11. x 0, y 0; 6 x3 y 3 .

D : x 2	9 y 2	4 1;
9.13.	x 2 y 2 .
	x 2 y 2 .

D : x 2 4 y 2

9.15. x 0, y 0; 30 x3 y 7 .

D :	1		x 2	9	y 2				4	2;
9.2.	y		0,	y	2		x;
9.2.	y		0,	y	3		x;
					3
			y x .
D : x 2 9				y 2	25					1;
9.4.	y		0;
			7 x 2 y 18.
		D : x 2 9					y 2			1;
9.6.			x	0;
				7 xy 6 .
D :	1		x2	4	y 2				9	4;
9.8.	x		0,	y	3x 2;
			x y .
D : x 2 4				y 2 9						1;
9.10.		x	0,	y	0;
			x3 y.
D :		1	x 2	4		y 2				25;
9.12.		x	0,	y		x 2 ;
			x	y 3 .
D :		x 2 16 y 2							1;
9.14.		x	0,	y	0;
			5 xy 7 .
D :		1	x 2	9		y 2				4 3;
9.16.		y	0,	y		2		x;
9.16.		y	0,	y	3			x;
					3
			y	x .

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