§2. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) 2-го порядка имеет следующий вид:

, (2.1)

где , , и – заданные функции, непрерывные на том промежутке, на котором ищется решение. Предполагая, что a₀(x) ≠ 0, поделим (2.1) на и, после введения новых обозначений для коэффициентов, запишем уравнение в виде:

(2.2)

Примем без доказательства, что (2.2) имеет на некотором промежутке единственное решение, удовлетворяющее любым начальным условиям , , если на рассматриваемом промежутке функции , и непрерывны. Если , то уравнение (2.2) называется однородным, и уравнение (2.2) называется неоднородным в противном случае.

Рассмотрим свойства решений лоду 2-го порядка.

Определение. Линейной комбинацией функций называется выражение , где – произвольные числа.

Теорема. Если и – решение лоду

, (2.3)

то их линейная комбинация также будет решением этого уравнения.

Доказательство.

Поставим выражение в (2.3) и покажем, что в результате получается тождество:

.

Перегруппируем слагаемые:

.

Поскольку функции и являются решениями уравнения (2.3), то каждая из скобок в последнем уравнении тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Следствие 1. Из доказанной теоремы вытекает при , что если – решение уравнения (2.3), то тоже есть решение этого уравнения.

Следствие 2. Полагая , видим, что сумма двух решений лоду также является решением этого уравнения.

Замечание. Доказанное в теореме свойство решений остается справедливым для лоду любого порядка.

§3. Определитель Вронского.

Определение. Система функций называется линейно независимой на некотором промежутке, если ни одна из этих функций не представляется в виде линейной комбинации всех остальных.

В случае двух функций это означает, что , т.е. . Последнее условие можно переписать в виде или . Стоящий в числителе этого выражения определитель называется определителем Вронского для функций и . Таким образом, определитель Вронского для двух линейно независимых функций не может быть тождественно равен нулю.

Пусть – определитель Вронского для линейно независимых решений и уравнения (2.3). Убедимся подстановкой, что функция удовлетворяет уравнению . (3.1)

Действительно, . Поскольку функции и удовлетворяют уравнению (2.3), то , т.е. – решение уравнения (3.1). Найдем это решение: ; . Откуда , ., ,.

В правой части этой формулы надо взять знак плюс, так как только в этом случае при получается тождество. Таким образом,

(3.2)

Это формула называется формулой Лиувилля. Выше было показано, что определитель Вронского для линейно независимых функций не может быть тождественно равен нулю. Следовательно, существует такая точка , в которой определитель для линейно независимых решений уравнения (2.3) отличен от нуля. Тогда из формулы Лиувилля следует, что функция будет отлична от нуля при всех значениях из рассматриваемого промежутка, поскольку при любом значении оба множителя в правой части формулы (3.2) отличны от нуля.

§4. Структура общего решения лоду 2-го порядка.

Теорема. Если и – линейно независимые решения уравнения (2.3), то их линейная комбинация , где и – произвольные постоянные, будет общим решением этого уравнения.

Доказательство.

То, что есть решение уравнения (2.3), следует из теоремы о свойствах решений лоду 2-го порядка. Надо только еще показать, что решение будет общим, т.е. надо показать, что при любых начальных условиях , можно выбрать произвольные постоянные и так, чтобы удовлетворить этим условиям. Запишем начальные условия в виде:

Постоянные и из этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, так как определитель этой системы есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений лоду при :

,

а такой определитель, как мы видели в предыдущем параграфе, отличен от нуля. Теорема доказана.

Пример. Доказать, что функция , где и – произвольные постоянные, является общим решением лоду .

Решение.

Легко убедиться подстановкой, что функции и удовлетворяют данному уравнению. Эти функции являются линейно независимыми, так как . Поэтому согласно теореме о структуре общего решения лоду 2-го порядка является общим решением данного уравнения.