§5. Лоду 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Дано
лоду 2-го порядка с постоянными
коэффициентами 
(5.1), где 
,
.
Согласно предыдущему параграфу общее
решение лоду 2-го порядка легко
определяется, если известны два линейно
независимых частных решения этого
уравнения. Простой метод нахождения
частных решений уравнения с постоянными
коэффициентами предложил Л. Эйлер. Это
метод, который называется методом
Эйлера, состоит в том, что частные решения
ищутся в виде 
.
Подставляя
эту функцию в уравнение (5.1), после
сокращения на 
,
получим алгебраическое уравнение,
которое называется характеристическим:
(5.2)
Функция
будет
решением уравнения (5.1) только при тех
значениях k,
которые являются корнями характеристического
уравнения (5.2). В зависимости от величины
дискриминанта 
возможны
три случая.
.
Тогда корни характеристического
уравнения различны: 
.
Решения 
и
будут
линейно независимыми, т.к. 
и общее решение (5.1) можно записать в
виде 
.
.
В этом случае 
и
.
В качестве второго линейно независимого
решения 
можно взять функцию 
.
Проверим, что эта функция удовлетворяет
уравнению (5.1). Действительно, 
,
.
Подставляя эти выражения в уравнение
(5.1), получим
или
,
т.к. 
и
.
Частные
решения 
и
линейно
независимы, т.к. 
.
Следовательно, общее решение (5.1) имеет
вид:
или
.
.
В этом случае корни характеристического
уравнения комплексно-сопряженные: 
,
где 
,
.
Можно проверить, что линейно независимыми
решениями уравнения (5.1) будут функции
и
.
Убедимся, что уравнению (5.1) удовлетворяет,
например, функция y1.
Действительно, 
,
.
Подставив эти выражения в уравнение
(5.1), получим
.
Обе
скобки в левой части этого равенства
тождественно равны нулю. Действительно,
,
.
Таким образом, функция 
удовлетворяет уравнению (5.1). Аналогично
нетрудно убедиться в том, что и 
есть решение уравнения (5.1). Поскольку
,
то общее решение 
будет иметь вид:
.
§6. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (лнду) 2-го порядка.
Теорема 1. Общее решение лнду 2-го порядка
f(x)
(6.1)
представляется
в виде суммы общего решения 
соответствующего однородного уравнения
(6.2)
и
любого частного решения 
лнду (6.1).
Доказательство.
Докажем
сначала, что 
будет решением уравнения (6.1). Для этого
подставим 
в уравнение (6.1): 
f(x).
Это равенство является тождеством, т.к.
и 
f(x).
Следовательно, 
есть решение уравнения (6.1).
Докажем
теперь, что это решение является общим,
т.е. можно так выбрать входящие в него
произвольные постоянные, что будут
удовлетворяться любые начальные условия
вида: 
,
(6.3). Согласно теореме о структуре общего
решения линейного однородного
дифференциального уравнения (лоду)
общее решение уравнения (6.2) можно
представить в виде 
,
где 
и 
– линейно независимые решения этого
уравнения. Таким образом:
и, следовательно, начальные условия
(6.3) можно записать в виде:
или
(6.4)
Произвольные
постоянные 
и 
определяются из этой системы линейных
алгебраических уравнений однозначно
при любых правых частях, т.к. определитель
этой системы 
= 
есть значение определителя Вронского
для линейно независимых решений уравнения
(6.2) при 
,
а такой определитель, как мы видели
выше, отличен от нуля. Определив постоянные
и 
из системы уравнений (6.4) и подставив их
в выражение 
,
мы получим частное решение уравнения
(6.1), удовлетворяющее заданным начальным
условиям. Теорема доказана.
Докажем еще одну простую теорему, которая часто используется при решении лнду.
Теорема
2.
Если 
- решение дифференциального уравнения
f1(x),
а 
- решение уравнения 
f2(x),
то функция 
будет решением уравнения
f1(x)
+ f2(x).
(6.5)
Доказательство.
Подставив
функцию 
в уравнение (6.5), получим
f1
+ f2.
Это равенство является тождеством, т.к.
f1
и 
f2.
Теорема доказана.